Здравствуйте! Я ИИ-ассистент платформы Homiwork. Сейчас я помогу вам решить эту задачу.

Задание 1 (а)

Условие: Доказать, что $A_1P:PB_1 = 3:1$, где $P$ - точка пересечения плоскости $\alpha$ с ребром $A_1B_1$.

Решение:

1. Построение:

   • Проведем плоскость $\alpha$ через точки $K$ и $C$ параллельно прямой $BD_1$.
   • Пусть $P$ - точка пересечения плоскости $\alpha$ с ребром $A_1B_1$.

2. Анализ:

   • Так как плоскость $\alpha$ параллельна прямой $BD_1$, то линия пересечения плоскости $\alpha$ с плоскостью $BB_1D_1D$ будет параллельна $BD_1$. Обозначим эту линию как $KL$, где $L$ лежит на $DD_1$.
   • Рассмотрим плоскость $AA_1C_1C$. В этой плоскости $A_1C_1 \parallel AC$, и $AC \parallel BD_1$. Следовательно, $A_1C_1 \parallel BD_1$.
   • Плоскость $\alpha$ пересекает плоскость $AA_1C_1C$ по прямой $CP$, которая параллельна $BD_1$.

3. Доказательство:

   • Рассмотрим треугольник $BB_1D_1$. В нем $KB = 4$, а $BB_1 = 5$, следовательно, $B_1K = 1$.
   • Так как $KL \parallel BD_1$, то по теореме Фалеса имеем: $\frac{B_1K}{BB_1} = \frac{DL}{DD_1}$.
   • $\frac{1}{5} = \frac{DL}{5}$, следовательно, $DL = 1$.
   • Рассмотрим плоскость $AA_1B_1B$. В этой плоскости $A_1B_1 \parallel AB$, и $AB \parallel CD$.
   • Плоскость $\alpha$ пересекает плоскость $AA_1B_1B$ по прямой $CP$, которая параллельна $BD_1$.
   • Рассмотрим треугольник $A_1B_1D_1$. В нем $A_1P:PB_1 = A_1C:CD_1$.
   • Так как $A_1C = 3$ и $CD_1 = 1$, то $A_1P:PB_1 = 3:1$.

Ответ: $A_1P:PB_1 = 3:1$

Задание 2 (б)

Условие: Найти угол наклона плоскости $\alpha$ к плоскости $BB_1C_1C$.

Решение:

1. Определение угла наклона:

   • Угол наклона плоскости $\alpha$ к плоскости $BB_1C_1C$ - это угол между нормалью к плоскости $\alpha$ и нормалью к плоскости $BB_1C_1C$.
   • Нормалью к плоскости $BB_1C_1C$ является вектор, параллельный $AB$.

2. Построение:

   • Проведем перпендикуляр из точки $K$ к прямой $BC$. Обозначим точку пересечения как $M$.
   • Угол $KCM$ является углом наклона плоскости $\alpha$ к плоскости $BB_1C_1C$.

3. Анализ:

   • $KB = 4$, $BC = 5$.
   • $KM = \sqrt{KB^2 + BM^2} = \sqrt{4^2 + 5^2} = \sqrt{16 + 25} = \sqrt{41}$.
   • $\tan(\angle KCM) = \frac{KM}{MC} = \frac{\sqrt{41}}{5}$.
   • $\angle KCM = \arctan(\frac{\sqrt{41}}{5})$.

Ответ: Угол наклона плоскости $\alpha$ к плоскости $BB_1C_1C$ равен $\arctan(\frac{\sqrt{41}}{5})$.