Задача: Найти значение угла X в треугольнике

Дано:
- Треугольник ABD с углом X
- Треугольник BCD с углом 60°
- Сторона BD = 8
- $\cos X = \frac{\sqrt{3}}{4}$

Решение:

Чтобы найти угол X, нам нужно использовать значение его косинуса.

Из условия известно, что $\cos X = \frac{\sqrt{3}}{4}$

Найдем угол X, используя арккосинус:

$X = \arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{4}\right)$

Чтобы вычислить это значение, вспомним некоторые стандартные значения косинусов:
- $\cos 30° = \frac{\sqrt{3}}{2}$
- $\cos 60° = \frac{1}{2}$

Заметим, что $\frac{\sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2}$, то есть $\cos X = \cos 30° \cdot \cos 60°$

Используя формулу косинуса суммы углов: $\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta$

Можно показать, что $\cos X = \cos(30° + 60°) = \cos 90° = 0$, что не соответствует нашему значению.

Поэтому нам нужно найти угол напрямую через арккосинус:

$X = \arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{4}\right) \approx 75.5°$

Точное значение можно найти, если вспомнить, что $\cos X = \frac{\sqrt{3}}{4}$ соответствует углу $X = \arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{4}\right)$.

Проверим: $\frac{\sqrt{3}}{4} \approx 0.433$

Таким образом, $X = \arccos(0.433) \approx 75.5°$

Ответ: $X \approx 75.5°$