Квадратное уравнение — это уравнение вида \(ax^2 + bx + c = 0\), где \(a \neq 0\). Число его корней определяет дискриминант \(D = b^2 - 4ac\), а сами корни находят по формуле \(x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\). На этой странице собрано всё по теме: стандартная форма и коэффициенты, три вида неполных уравнений, дискриминант и три случая, формула корней и её «чётный» вариант, приведённое уравнение и теорема Виета, разложение на множители и биквадратные уравнения — с пошаговыми примерами, разбором частых ошибок и интерактивным тренажёром.
Что такое квадратное уравнение
Квадратное уравнение — это уравнение вида
где \(x\) — неизвестное, а \(a\), \(b\), \(c\) — числа (коэффициенты), причём \(a \neq 0\). Такая запись называется стандартной формой квадратного уравнения: слева слагаемые идут по убыванию степени, справа стоит ноль.
Условие \(a \neq 0\) — не формальность. Именно слагаемое \(ax^2\) делает уравнение квадратным: при \(a = 0\) остаётся \(bx + c = 0\), то есть обычное линейное уравнение с одним корнем. Поэтому в задачах с параметром первым делом проверяют, не обращается ли старший коэффициент в ноль.
Привести уравнение к стандартному виду можно почти всегда: раскрыть скобки, перенести все слагаемые в левую часть и привести подобные. Например, \(5x^2 = 3x - 2\) после переноса превращается в \(5x^2 - 3x + 2 = 0\), откуда \(a = 5\), \(b = -3\), \(c = 2\). Слово «квадратичное уравнение» означает ровно то же самое — это просто другой вариант названия.
Полные и неполные квадратные уравнения
Если все три коэффициента отличны от нуля, уравнение называют полным. Если \(b\) или \(c\) (или оба) равны нулю — неполным. Неполных видов ровно три, и ни один из них не требует дискриминанта: каждый решается за одну-две строчки, и это самый быстрый способ сэкономить время на контрольной.
Ключевая идея для \(ax^2 + bx = 0\) — вынесение общего множителя. Произведение \(x(ax + b)\) равно нулю тогда и только тогда, когда нулю равен хотя бы один множитель, отсюда сразу два корня. Для \(ax^2 + c = 0\) идея другая: выразить \(x^2\) и посмотреть на знак получившегося числа — квадрат действительного числа не бывает отрицательным.
| Вид уравнения | Как решать |
|---|---|
| ax2 + c = 02x2 − 50 = 0 | Перенести c вправо и разделить на a: x2 = −c/a. Извлечь корень, не потеряв второй знак.x = 5 и x = −5 |
| ax2 + bx = 0x2 + 7x = 0 | Вынести x за скобки: x(ax + b) = 0. Произведение равно нулю, когда нулю равен один из множителей.x = 0 и x = −7 |
| ax2 = 09x2 = 0 | Разделить на a и извлечь корень из нуля. Корень всегда ровно один.x = 0 |
Дискриминант: как найти и сколько будет корней
Дискриминант — это число, которое считают по коэффициентам полного уравнения:
Само слово означает «различитель»: дискриминант ничего не решает, он лишь различает три ситуации — корней два, корень один или корней нет вовсе. Поэтому вопрос «сколько корней у уравнения» решается без нахождения самих корней.
Считать \(D\) нужно аккуратно: \(b^2\) всегда положительно, даже если сам \(b\) отрицателен, а знаки \(a\) и \(c\) входят в произведение \(4ac\) как есть. Возьмём \(x^2 + 4x - 5 = 0\): здесь \(a = 1\), \(b = 4\), \(c = -5\), значит \(D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36\). Дискриминант положительный, и корней будет два.
Формула корней квадратного уравнения
Когда \(D \ge 0\), корни находят по главной формуле темы:
Знак \(\pm\) означает два вычисления: один раз со сложением, другой — с вычитанием. При \(D = 0\) оба вычисления дают одно и то же число \(x = -\dfrac{b}{2a}\) — этот корень называют двукратным.
Два места, где чаще всего ошибаются: в числителе стоит минус \(b\) (для \(b = -7\) это \(+7\)), а в знаменателе — \(2a\), а не просто \(2\). При \(a = 1\) разницы не видно, поэтому ошибка вылезает именно там, где старший коэффициент отличается от единицы.
Решим \(2x^2 - 9x - 5 = 0\): \(D = (-9)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 81 + 40 = 121\), \(\sqrt{D} = 11\), поэтому \(x_1 = \dfrac{9 + 11}{4} = 5\) и \(x_2 = \dfrac{9 - 11}{4} = -0{,}5\).
Чётный второй коэффициент: формула с D₁
Если \(b\) — чётное число, его удобно записать как \(b = 2k\) и считать «уменьшенный» дискриминант:
Числа в вычислениях становятся в четыре раза меньше (\(D = 4D_1\)), а знак у \(D_1\) тот же, что у \(D\) — значит, вывод о количестве корней не меняется.
Пример: \(3x^2 + 8x - 3 = 0\). Здесь \(b = 8\), то есть \(k = 4\), и \(D_1 = 4^2 - 3 \cdot (-3) = 16 + 9 = 25\), \(\sqrt{D_1} = 5\). Тогда \(x_1 = \dfrac{-4 + 5}{3} = \dfrac{1}{3}\) и \(x_2 = \dfrac{-4 - 5}{3} = -3\). По обычной формуле пришлось бы работать с \(D = 100\) — результат тот же, а арифметики больше.
Приведённое уравнение и теорема Виета
Уравнение с \(a = 1\) называют приведённым и записывают как \(x^2 + px + q = 0\). Любое квадратное уравнение приводится к такому виду делением на \(a\): например, \(4x^2 - 12x + 8 = 0\) после деления на 4 становится \(x^2 - 3x + 2 = 0\).
Приведённая форма ценна тем, что для неё работает теорема Виета: сумма корней равна \(-p\), а произведение равно \(q\). Для \(x^2 - 7x + 10 = 0\) нужны два числа с суммой 7 и произведением 10 — это 2 и 5, и дискриминант считать не пришлось.
Подбор по Виета выручает, когда корни целые и небольшие, а ещё он бесплатно проверяет ответ, найденный через дискриминант: сумма должна дать \(-p\), произведение — \(q\). Формулы для общего вида, обратная теорема и алгоритм подбора разобраны в отдельном материале — теорема Виета.
Разложение квадратного трёхчлена на множители
Если корни \(x_1\) и \(x_2\) найдены, квадратный трёхчлен раскладывается на множители:
Множитель \(a\) забывать нельзя — без него равенство перестаёт быть верным. Проверить разложение всегда легко: раскрыть скобки и сравнить с исходным трёхчленом. Скажем, у \(x^2 + 2x - 8\) корни равны 2 и \(-4\), поэтому \(x^2 + 2x - 8 = (x - 2)(x + 4)\).
Работает и обратный ход: если трёхчлен удалось разложить устно, корни видны сразу и дискриминант не нужен. Здесь помогают формулы сокращённого умножения — например, \(x^2 - 16 = (x - 4)(x + 4)\) даёт корни \(4\) и \(-4\) мгновенно.
Третий способ обойтись без формулы корней — выделение полного квадрата. В \(x^2 + 6x + 5 = 0\) первые два слагаемых дополняют до квадрата суммы: \((x + 3)^2 - 9 + 5 = 0\), то есть \((x + 3)^2 = 4\), откуда \(x + 3 = \pm 2\) и \(x = -1\) или \(x = -5\). Именно этим приёмом формула корней и выводится в общем виде.
Уравнения, сводимые к квадратным: биквадратные
Биквадратное уравнение имеет вид \(ax^4 + bx^2 + c = 0\): степени только чётные. Оно решается заменой \(t = x^2\), причём обязательно с условием \(t \ge 0\) — квадрат действительного числа отрицательным не бывает.
После замены получается обычное квадратное уравнение \(at^2 + bt + c = 0\). Его решают дискриминантом, а затем для каждого неотрицательного корня \(t\) возвращаются к \(x = \pm\sqrt{t}\). Отсюда и число корней: до четырёх.
Например, \(x^4 - 5x^2 + 4 = 0\) после замены даёт \(t^2 - 5t + 4 = 0\) с корнями \(t = 1\) и \(t = 4\). Оба положительные, поэтому \(x = \pm 1\) и \(x = \pm 2\) — всего четыре корня. Если бы один из \(t\) оказался отрицательным, его просто отбросили бы.
Тем же приёмом решают дробно-рациональные уравнения (после приведения к общему знаменателю и отбрасывания запрещённых значений) и уравнения с заменой вида \(t = x^2 + 3x\).
Примеры решения квадратных уравнений
Пример 1. Полное уравнение, D > 0
Решить \(3x^2 - 7x + 2 = 0\).
Шаг 1. Уравнение уже в стандартном виде: \(a = 3\), \(b = -7\), \(c = 2\).
Шаг 2. \(D = (-7)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 49 - 24 = 25 > 0\) — корней два.
Шаг 3. \(\sqrt{D} = 5\), поэтому \(x_{1,2} = \dfrac{7 \pm 5}{6}\): \(x_1 = \dfrac{12}{6} = 2\), \(x_2 = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}\).
Шаг 4. Проверка подстановкой. \(3 \cdot 2^2 - 7 \cdot 2 + 2 = 12 - 14 + 2 = 0\); \(3 \cdot \left(\tfrac{1}{3}\right)^2 - 7 \cdot \tfrac{1}{3} + 2 = \tfrac{1}{3} - \tfrac{7}{3} + 2 = 0\).
Ответ: \(x_1 = 2\), \(x_2 = \dfrac{1}{3}\).
Пример 2. Дискриминант равен нулю
Решить \(4x^2 - 12x + 9 = 0\).
Шаг 1. \(a = 4\), \(b = -12\), \(c = 9\).
Шаг 2. \(D = (-12)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 9 = 144 - 144 = 0\) — корень один.
Шаг 3. \(x = -\dfrac{b}{2a} = \dfrac{12}{8} = 1{,}5\).
Шаг 4. Проверка. \(4 \cdot 1{,}5^2 - 12 \cdot 1{,}5 + 9 = 9 - 18 + 9 = 0\).
Ответ: \(x = 1{,}5\). Заметь: левая часть — это полный квадрат \((2x - 3)^2\), поэтому корень и получился один.
Пример 3. Дискриминант отрицательный
Решить \(2x^2 + 3x + 5 = 0\).
Шаг 1. \(a = 2\), \(b = 3\), \(c = 5\).
Шаг 2. \(D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot 5 = 9 - 40 = -31 < 0\).
Шаг 3. Дискриминант отрицательный, значит извлечь \(\sqrt{D}\) среди действительных чисел нельзя. Формулу корней применять не нужно — решение на этом закончено.
Ответ: действительных корней нет. Это полноценный ответ, а не признак ошибки: график функции \(y = 2x^2 + 3x + 5\) просто не пересекает ось \(x\).
Пример 4. Неполное уравнение вида ax² + c = 0
Решить \(3x^2 - 27 = 0\).
Шаг 1. Переносим свободный член: \(3x^2 = 27\).
Шаг 2. Делим на 3: \(x^2 = 9\).
Шаг 3. Квадрат равен 9 у двух чисел: \(x = 3\) и \(x = -3\). Второй знак теряют чаще всего.
Шаг 4. Проверка. \(3 \cdot 3^2 - 27 = 0\); \(3 \cdot (-3)^2 - 27 = 27 - 27 = 0\).
Ответ: \(x_1 = 3\), \(x_2 = -3\). Сравни с уравнением \(2x^2 + 8 = 0\): там \(x^2 = -4\), и действительных корней нет.
Пример 5. Неполное уравнение вида ax² + bx = 0
Решить \(5x^2 - 15x = 0\).
Шаг 1. Выносим общий множитель: \(5x(x - 3) = 0\).
Шаг 2. Произведение равно нулю, когда нулю равен один из множителей: \(5x = 0\) или \(x - 3 = 0\).
Шаг 3. Отсюда \(x_1 = 0\), \(x_2 = 3\).
Шаг 4. Проверка. \(5 \cdot 0^2 - 15 \cdot 0 = 0\); \(5 \cdot 3^2 - 15 \cdot 3 = 45 - 45 = 0\).
Ответ: \(x_1 = 0\), \(x_2 = 3\). Если сократить исходное уравнение на \(x\), останется только \(x = 3\) — корень \(x = 0\) пропадёт. Делить на выражение с неизвестным нельзя.
Пример 6. Чётный второй коэффициент
Решить \(5x^2 - 22x + 8 = 0\).
Шаг 1. \(b = -22\) — чётное, поэтому \(k = -11\), а \(a = 5\), \(c = 8\).
Шаг 2. \(D_1 = k^2 - ac = (-11)^2 - 5 \cdot 8 = 121 - 40 = 81\), \(\sqrt{D_1} = 9\).
Шаг 3. \(x_{1,2} = \dfrac{-k \pm \sqrt{D_1}}{a} = \dfrac{11 \pm 9}{5}\): \(x_1 = 4\), \(x_2 = \dfrac{2}{5} = 0{,}4\).
Шаг 4. Проверка. \(5 \cdot 4^2 - 22 \cdot 4 + 8 = 80 - 88 + 8 = 0\); \(5 \cdot 0{,}4^2 - 22 \cdot 0{,}4 + 8 = 0{,}8 - 8{,}8 + 8 = 0\).
Ответ: \(x_1 = 4\), \(x_2 = 0{,}4\). Обычный дискриминант дал бы \(D = 324\) — тот же ответ, но считать пришлось бы дольше.
Пример 7. Сначала привести к стандартному виду
Решить \((x - 3)(x + 5) = 9\).
Шаг 1. Раскрываем скобки: \(x^2 + 5x - 3x - 15 = 9\), то есть \(x^2 + 2x - 15 = 9\).
Шаг 2. Переносим девятку влево: \(x^2 + 2x - 24 = 0\). Только теперь можно выписывать коэффициенты: \(a = 1\), \(b = 2\), \(c = -24\).
Шаг 3. \(D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 4 + 96 = 100\), \(\sqrt{D} = 10\), \(x_{1,2} = \dfrac{-2 \pm 10}{2}\): \(x_1 = 4\), \(x_2 = -6\).
Шаг 4. Проверка в исходном уравнении. \((4 - 3)(4 + 5) = 1 \cdot 9 = 9\); \((-6 - 3)(-6 + 5) = (-9) \cdot (-1) = 9\).
Ответ: \(x_1 = 4\), \(x_2 = -6\). Частая ошибка здесь — приравнять каждую скобку к 9: правило «произведение равно нулю» работает только для нуля.
Пример 8. Разложение трёхчлена на множители
Разложить \(2x^2 - 5x - 3\) на множители.
Шаг 1. Приравниваем трёхчлен к нулю и находим корни: \(D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49\), \(\sqrt{D} = 7\), \(x_{1,2} = \dfrac{5 \pm 7}{4}\): \(x_1 = 3\), \(x_2 = -\dfrac{1}{2}\).
Шаг 2. Подставляем в формулу \(a(x - x_1)(x - x_2)\): \(2(x - 3)\left(x + \tfrac{1}{2}\right)\).
Шаг 3. Двойку удобно занести во вторую скобку: \((x - 3)(2x + 1)\).
Шаг 4. Проверка раскрытием скобок. \((x - 3)(2x + 1) = 2x^2 + x - 6x - 3 = 2x^2 - 5x - 3\).
Ответ: \(2x^2 - 5x - 3 = (x - 3)(2x + 1)\).
Пример 9. Биквадратное уравнение
Решить \(x^4 - 13x^2 + 36 = 0\).
Шаг 1. Замена \(t = x^2\), где \(t \ge 0\). Уравнение превращается в \(t^2 - 13t + 36 = 0\).
Шаг 2. \(D = (-13)^2 - 4 \cdot 36 = 169 - 144 = 25\), \(\sqrt{D} = 5\), \(t_{1,2} = \dfrac{13 \pm 5}{2}\): \(t_1 = 9\), \(t_2 = 4\).
Шаг 3. Оба значения неотрицательны, поэтому возвращаемся к \(x\): из \(x^2 = 9\) получаем \(x = \pm 3\), из \(x^2 = 4\) — \(x = \pm 2\).
Шаг 4. Проверка. \(3^4 - 13 \cdot 3^2 + 36 = 81 - 117 + 36 = 0\); \(2^4 - 13 \cdot 2^2 + 36 = 16 - 52 + 36 = 0\). Для отрицательных значений чётные степени дают те же числа.
Ответ: \(x = \pm 2\) и \(x = \pm 3\) — четыре корня.
Частые ошибки при решении квадратных уравнений
-
Считают дискриминант, не приведя уравнение к стандартному виду: для $2x^2 + 3x = x^2 + 5$ сразу берут $a = 2$, $b = 3$, $c = 0$.
Сначала переносим всё влево и приводим подобные: \(2x^2 + 3x - x^2 - 5 = 0\), то есть \(x^2 + 3x - 5 = 0\). Только отсюда \(a = 1\), \(b = 3\), \(c = -5\). Формула корней работает исключительно со стандартным видом.
-
Теряют знак при возведении $b$ в квадрат: для $x^2 - 9x + 14 = 0$ пишут $D = -81 - 56$.
Квадрат любого числа неотрицателен: \((-9)^2 = 81\), а не \(-81\). Верно \(D = 81 - 56 = 25\), корни \(x = \dfrac{9 \pm 5}{2}\), то есть 7 и 2. Проверка: \(49 - 63 + 14 = 0\) и \(4 - 18 + 14 = 0\).
-
В числителе оставляют $b$ вместо $-b$: для $x^2 + 5x - 6 = 0$ считают $x = \dfrac{5 \pm 7}{2}$.
В формуле стоит \(-b\), поэтому при \(b = 5\) в числителе будет \(-5\): \(x = \dfrac{-5 \pm 7}{2}\), откуда \(x_1 = 1\), \(x_2 = -6\). Подстановка подтверждает: \(1 + 5 - 6 = 0\) и \(36 - 30 - 6 = 0\).
-
При $D = 0$ пишут «корней нет»: у $x^2 + 14x + 49 = 0$ дискриминант нулевой, и решение обрывают.
Корней нет только при \(D < 0\). При \(D = 0\) корень ровно один: \(x = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{14}{2} = -7\). Проверка: \(49 - 98 + 49 = 0\).
-
Сокращают уравнение $4x^2 - 9x = 0$ на $x$ и получают единственный корень $x = 2{,}25$.
Делить на выражение с неизвестным нельзя: \(x\) может быть нулём, и корень \(x = 0\) теряется. Правильно вынести множитель: \(x(4x - 9) = 0\), откуда \(x_1 = 0\) и \(x_2 = 2{,}25\). Проверка: \(4 \cdot 2{,}25^2 - 9 \cdot 2{,}25 = 20{,}25 - 20{,}25 = 0\).
-
В уравнении $x^2 = 16$ записывают только $x = 4$.
Квадрат равен 16 и у числа \(-4\). Записывать надо оба корня: \(x = \pm 4\). Надёжнее решать через стандартный вид \(x^2 - 16 = 0\), то есть \((x - 4)(x + 4) = 0\) — тогда оба множителя видны сразу.
-
Не проверяют условие $a \neq 0$ в уравнении с параметром: в $(m - 2)x^2 + 3x - 1 = 0$ сразу считают дискриминант.
При \(m = 2\) старший коэффициент обращается в ноль, и уравнение становится линейным \(3x - 1 = 0\) с единственным корнем \(x = \dfrac{1}{3}\). Случай \(m = 2\) разбирают отдельно, а формулу корней применяют только при \(m \neq 2\).
Вопросы и ответы
Что такое квадратное уравнение?
Это уравнение вида \(ax^2 + bx + c = 0\), где \(a\), \(b\), \(c\) — числа и \(a \neq 0\). Неизвестное входит в него во второй степени, поэтому корней может быть два, один или ни одного.
Как выглядит стандартная форма квадратного уравнения?
Стандартная (общая) форма — \(ax^2 + bx + c = 0\): все слагаемые собраны слева по убыванию степени, справа ноль. К ней приводят любое квадратное уравнение перед вычислением дискриминанта.
Как найти дискриминант?
По формуле \(D = b^2 - 4ac\), подставляя коэффициенты вместе с их знаками. Например, для \(x^2 + 3x - 10 = 0\) получаем \(D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49\), а корни равны \(\dfrac{-3 \pm 7}{2}\), то есть 2 и \(-5\).
Какая формула корней квадратного уравнения?
\(x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\), или короче \(x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\). Она применяется при \(D \ge 0\); в знаменателе именно \(2a\), а не 2.
Сколько корней может быть у квадратного уравнения?
Не больше двух. При \(D > 0\) корня два, при \(D = 0\) — один (двукратный), при \(D < 0\) действительных корней нет.
Что такое неполное квадратное уравнение?
Это уравнение, у которого \(b = 0\), \(c = 0\) или оба сразу: \(ax^2 + c = 0\), \(ax^2 + bx = 0\), \(ax^2 = 0\). Все три решаются без дискриминанта — переносом слагаемого или вынесением \(x\) за скобки.
Как решать квадратные уравнения без дискриминанта?
Есть три пути: подбор корней по теореме Виета для приведённого уравнения, разложение на множители и выделение полного квадрата. Быстрее всего работает подбор, когда корни — небольшие целые числа.
Что делать, если дискриминант отрицательный?
Записать, что действительных корней нет, и закончить решение. Отрицательный дискриминант — это нормальный ответ: график соответствующей параболы не пересекает ось \(x\). Корни в таком случае существуют только среди комплексных чисел, а их изучают позже.
Как проверить найденные корни?
Подставить каждый корень в исходное уравнение — должно получиться верное равенство. Для приведённого уравнения есть и быстрая проверка по теореме Виета: сумма корней равна \(-p\), произведение равно \(q\).
Квадратное и квадратичное уравнение — это одно и то же?
Да, это два названия одного объекта \(ax^2 + bx + c = 0\). Не путай его с квадратичной функцией \(y = ax^2 + bx + c\): корни уравнения — это как раз абсциссы точек, где график функции пересекает ось \(x\).
В каком классе проходят квадратные уравнения?
В 8 классе на алгебре: сначала неполные уравнения, затем дискриминант, формула корней и теорема Виета. Дальше тема встречается в квадратичной функции, неравенствах, задачах ОГЭ и ЕГЭ.
