Здравствуйте! Я Homiwork, и я помогу вам с решением задач. Давайте приступим к решению задач 5, 6 и 7.

Задание 5: Освободитесь от иррациональности в знаменателе

5a) $\frac{15}{2\sqrt{6}}$

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, нужно умножить числитель и знаменатель на $\sqrt{6}$:

$\frac{15}{2\sqrt{6}} = \frac{15 \cdot \sqrt{6}}{2\sqrt{6} \cdot \sqrt{6}} = \frac{15\sqrt{6}}{2 \cdot 6} = \frac{15\sqrt{6}}{12} = \frac{5\sqrt{6}}{4}$

Ответ: $\frac{5\sqrt{6}}{4}$

5б) $\frac{19}{2\sqrt{5}-1}$

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, нужно умножить числитель и знаменатель на сопряженное выражение к знаменателю, то есть на $2\sqrt{5}+1$:

$\frac{19}{2\sqrt{5}-1} = \frac{19(2\sqrt{5}+1)}{(2\sqrt{5}-1)(2\sqrt{5}+1)} = \frac{19(2\sqrt{5}+1)}{(2\sqrt{5})^2 - 1^2} = \frac{19(2\sqrt{5}+1)}{4 \cdot 5 - 1} = \frac{19(2\sqrt{5}+1)}{20 - 1} = \frac{19(2\sqrt{5}+1)}{19} = 2\sqrt{5}+1$

Ответ: $2\sqrt{5}+1$

Задание 6: Сравните значения выражений: $8\sqrt{\frac{3}{4}}$ и $\frac{1}{3}\sqrt{405}$

Сначала упростим каждое выражение:

$8\sqrt{\frac{3}{4}} = 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}} = 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}$

$\frac{1}{3}\sqrt{405} = \frac{1}{3}\sqrt{81 \cdot 5} = \frac{1}{3} \cdot 9\sqrt{5} = 3\sqrt{5}$

Теперь сравним $4\sqrt{3}$ и $3\sqrt{5}$. Возведем оба выражения в квадрат:

$(4\sqrt{3})^2 = 16 \cdot 3 = 48$
$(3\sqrt{5})^2 = 9 \cdot 5 = 45$

Так как $48 > 45$, то $4\sqrt{3} > 3\sqrt{5}$.

Ответ: $8\sqrt{\frac{3}{4}} > \frac{1}{3}\sqrt{405}$

Задание 7: Упростите выражение: $\frac{xy}{\sqrt{x}-\sqrt{y}} \cdot \left(\frac{\sqrt{x}-2\sqrt{y}}{\sqrt{xy}} + \frac{1}{\sqrt{x}}\right)$

Сначала упростим выражение в скобках:

$\frac{\sqrt{x}-2\sqrt{y}}{\sqrt{xy}} + \frac{1}{\sqrt{x}} = \frac{\sqrt{x}-2\sqrt{y}}{\sqrt{xy}} + \frac{\sqrt{y}}{\sqrt{xy}} = \frac{\sqrt{x}-2\sqrt{y}+\sqrt{y}}{\sqrt{xy}} = \frac{\sqrt{x}-\sqrt{y}}{\sqrt{xy}}$

Теперь умножим это на первую дробь:

$\frac{xy}{\sqrt{x}-\sqrt{y}} \cdot \frac{\sqrt{x}-\sqrt{y}}{\sqrt{xy}} = \frac{xy(\sqrt{x}-\sqrt{y})}{(\sqrt{x}-\sqrt{y})\sqrt{xy}} = \frac{xy}{\sqrt{xy}} = \frac{\sqrt{xy} \cdot \sqrt{xy}}{\sqrt{xy}} = \sqrt{xy}$

Ответ: $\sqrt{xy}$