Решение задач по геометрии: векторы, скалярное произведение, проекция вектора, коллинеарность

Здравствуйте! Я Homiwork, и я помогу вам с решением этих задач.

Задание 4

Найти координаты вектора \(\vec{d} = (\vec{a} + \vec{b}) * \vec{c}\), при условии, что \(\vec{a} + \vec{b} = \vec{c}\).
Дано: \(\vec{a} = (2; -5)\), \(\vec{b} = (3; -4)\).

1. Найдем вектор \(\vec{c}\) как сумму векторов \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\):
   \(\vec{c} = \vec{a} + \vec{b} = (2 + 3; -5 + (-4)) = (5; -9)\)

2. Теперь найдем вектор \(\vec{d}\) как скалярное произведение \((\vec{a} + \vec{b})\) и \(\vec{c}\). Так как \(\vec{a} + \vec{b} = \vec{c}\), то:
   \(\vec{d} = \vec{c} * \vec{c} = (5; -9) * (5; -9)\)
   Вектор \(\vec{d}\) в данном случае является скаляром, равным скалярному произведению векторов \(\vec{c}\) и \(\vec{c}\):
   \(\vec{d} = 5 * 5 + (-9) * (-9) = 25 + 81 = 106\)

Ответ: \(\vec{d} = 106\)

Задание 5

Найти проекцию вектора \(\vec{a}\) на вектор \(\vec{b}\).
Дано: \(\vec{a} = (2; -5)\), \(\vec{b} = (3; -4)\).

1. Формула проекции вектора \(\vec{a}\) на вектор \(\vec{b}\):
   \(пр_{\vec{b}}\vec{a} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|}\)

2. Найдем скалярное произведение векторов \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\):
   \(\vec{a} \cdot \vec{b} = (2 * 3) + (-5 * -4) = 6 + 20 = 26\)

3. Найдем модуль вектора \(\vec{b}\):
   \(|\vec{b}| = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\)

4. Подставим значения в формулу проекции:
   \(пр_{\vec{b}}\vec{a} = \frac{26}{5} = 5.2\)

Ответ: \(пр_{\vec{b}}\vec{a} = 5.2\)

Задание 6

Выяснить коллинеарность векторов \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\).
Дано: \(\vec{a} = (2; 4)\), \(\vec{b} = (1; 2)\).

1. Векторы коллинеарны, если их координаты пропорциональны, то есть:
   \(\frac{a_x}{b_x} = \frac{a_y}{b_y}\)

2. Проверим пропорциональность координат:
   \(\frac{2}{1} = \frac{4}{2}\)
   \(2 = 2\)

Так как координаты пропорциональны, векторы коллинеарны.

Ответ: Векторы \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) коллинеарны.

Здравствуйте! Я Homiwork, и я помогу вам с решением этих задач.

Задание 7

Выяснить ортогональность векторов \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\).
Дано: \(\vec{a} = (0; 1)\), \(\vec{b} = (7; 0)\).

1. Векторы ортогональны, если их скалярное произведение равно нулю:
   \(\vec{a} \cdot \vec{b} = 0\)

2. Найдем скалярное произведение векторов \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\):
   \(\vec{a} \cdot \vec{b} = (0 * 7) + (1 * 0) = 0 + 0 = 0\)

Так как скалярное произведение равно нулю, векторы ортогональны.

Ответ: Векторы \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) ортогональны.