Язык задания: Russian.

Задание 4

Вычислить $\log_{\frac{1}{4}} \frac{1}{64}$.

Решение:

1. Вспомним определение логарифма: $\log_a b = x$ означает, что $a^x = b$. В нашем случае, $a = \frac{1}{4}$ и $b = \frac{1}{64}$.
2. Нам нужно найти такое $x$, что $(\frac{1}{4})^x = \frac{1}{64}$.
3. Заметим, что $\frac{1}{64} = (\frac{1}{4})^3$, так как $4^3 = 64$.
4. Следовательно, $x = 3$.

Ответ:

$\log_{\frac{1}{4}} \frac{1}{64} = 3$

Ассистент: Язык задания: Russian.

Задание 6

Вычислить $\log_9 \frac{1}{81}$.

Решение:

1. Вспомним определение логарифма: $\log_a b = x$ означает, что $a^x = b$. В нашем случае, $a = 9$ и $b = \frac{1}{81}$.
2. Нам нужно найти такое $x$, что $9^x = \frac{1}{81}$.
3. Заметим, что $\frac{1}{81} = \frac{1}{9^2} = 9^{-2}$.
4. Следовательно, $x = -2$.

Ответ:

$\log_9 \frac{1}{81} = -2$

Ассистент: Язык задания: Russian.

Задание 8

Вычислить $\log_5 \sqrt{5}$.

Решение:

1. Вспомним определение логарифма: $\log_a b = x$ означает, что $a^x = b$. В нашем случае, $a = 5$ и $b = \sqrt{5}$.
2. Нам нужно найти такое $x$, что $5^x = \sqrt{5}$.
3. Заметим, что $\sqrt{5} = 5^{\frac{1}{2}}$.
4. Следовательно, $x = \frac{1}{2} = 0.5$.

Ответ:

$\log_5 \sqrt{5} = 0.5$

Ассистент: Отлично, вот решение следующих заданий:

Задание 1 (Сопоставление чисел и логарифмов)

Здесь нужно сопоставить числа из верхнего списка с логарифмами из нижнего списка.

1. $\log_3 \frac{1}{27}$:

   • $\frac{1}{27} = 3^{-3}$, следовательно, $\log_3 \frac{1}{27} = -3$.
   • Сопоставляем с числом -3.

2. $\lg 10$:

   • $\lg$ - это логарифм по основанию 10, то есть $\log_{10} 10$.
   • $\log_{10} 10 = 1$, следовательно, $\lg 10 = 1$.
   • Сопоставляем с числом 1.

3. $\log_a (a^m)$:

   • По свойству логарифмов, $\log_a (a^m) = m$.
   • Сопоставляем с числом m.

4. $\log_a 1$:

   • Логарифм единицы по любому основанию равен 0, то есть $\log_a 1 = 0$.
   • Сопоставляем с числом 0.

5. $\log_{81} 9$:

   • Заметим, что $81 = 9^2$, следовательно, $9 = 81^{\frac{1}{2}}$.
   • $\log_{81} 9 = \log_{81} 81^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2}$.
   • Сопоставляем с числом 1/2.

6. $\log_{\frac{1}{4}} 256$:

   • Заметим, что $256 = 4^4 = (\frac{1}{4})^{-4}$.
   • $\log_{\frac{1}{4}} 256 = \log_{\frac{1}{4}} (\frac{1}{4})^{-4} = -4$.
   • Сопоставляем с числом 4.

Ответ:

• 1 соответствует -3
• 2 соответствует 1
• 3 соответствует m
• 4 соответствует 0
• 5 соответствует 1/2
• 6 соответствует -4

Ассистент: Язык задания: Russian.

Задание 10

Выбрать верные свойства логарифмов, учитывая, что $x, y, a > 0$ и $a \neq 1$.

Решение:

Вспомним основные свойства логарифмов:

1. $\log_a (x) + \log_a (y) = \log_a (x \cdot y)$
2. $\log_a (x) - \log_a (y) = \log_a (\frac{x}{y})$
3. $\log_a (x^n) = n \cdot \log_a (x)$
4. $a^{\log_a (x)} = x$

Теперь проверим предложенные варианты:

• $\log_a (x) + \log_a (y) = \log_a (x + y)$ - Неверно. Правильно: $\log_a (x) + \log_a (y) = \log_a (x \cdot y)$.
• $\log_a (x) + \log_a (y) = \log_a (x \cdot y)$ - Верно.
• $\log_a (x) - \log_a (y) = \log_a (x - y)$ - Неверно. Правильно: $\log_a (x) - \log_a (y) = \log_a (\frac{x}{y})$.
• $\log_a (x) - \log_a (y) = \log_a (\frac{x}{y})$ - Верно.
• $\log_a (x^n) = n \cdot \log_a (x)$ - Верно.
• $\log_{a^n} (x) = n \cdot \log_a (x)$ - Неверно. Правильно: $\log_{a^n} (x) = \frac{1}{n} \cdot \log_a (x)$.
• $a^{\log_a (x)} = x$ - Верно.
• $x^{\log_a (x)} = a$ - Неверно.

Ответ:

Верные свойства логарифмов:

• $\log_a (x) + \log_a (y) = \log_a (x \cdot y)$
• $\log_a (x) - \log_a (y) = \log_a (\frac{x}{y})$
• $\log_a (x^n) = n \cdot \log_a (x)$
• $a^{\log_a (x)} = x$

Ассистент: Язык задания: Russian.

Задание 11

Вычислить $\log_a a^3$ при $a > 0, a \neq 1$.

Решение:

1. Вспомним свойство логарифмов: $\log_a (a^n) = n$.
2. В нашем случае, $n = 3$.
3. Следовательно, $\log_a a^3 = 3$.

Ответ:

$\log_a a^3 = 3$