Здравствуйте! Сейчас помогу вам решить эти задания.

Задание 1

Решим уравнения:

a) $3x^2 - 5x - 8 = 0$

Для решения квадратного уравнения используем формулу дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac$

В нашем случае: $a = 3$, $b = -5$, $c = -8$.

$D = (-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-8) = 25 + 96 = 121$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + \sqrt{121}}{2 \cdot 3} = \frac{5 + 11}{6} = \frac{16}{6} = \frac{8}{3}$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - \sqrt{121}}{2 \cdot 3} = \frac{5 - 11}{6} = \frac{-6}{6} = -1$

Ответ: $x_1 = \frac{8}{3}$, $x_2 = -1$

б) $49x^2 - 4 = 0$

Перенесем константу в правую часть:

$49x^2 = 4$

Разделим обе части на 49:

$x^2 = \frac{4}{49}$

Извлечем квадратный корень:

$x = \pm \sqrt{\frac{4}{49}} = \pm \frac{2}{7}$

Ответ: $x_1 = \frac{2}{7}$, $x_2 = -\frac{2}{7}$

в) $7x^2 = 21x$

Перенесем все в левую часть:

$7x^2 - 21x = 0$

Вынесем общий множитель $7x$:

$7x(x - 3) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

$7x = 0$ или $x - 3 = 0$

$x_1 = 0$ или $x_2 = 3$

Ответ: $x_1 = 0$, $x_2 = 3$

г) $(x - 1)^2 + 3(x - 1) - 4 = 0$

Введем замену $y = x - 1$. Тогда уравнение примет вид:

$y^2 + 3y - 4 = 0$

Найдем дискриминант:

$D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25$

Найдем корни:

$y_1 = \frac{-3 + \sqrt{25}}{2} = \frac{-3 + 5}{2} = \frac{2}{2} = 1$

$y_2 = \frac{-3 - \sqrt{25}}{2} = \frac{-3 - 5}{2} = \frac{-8}{2} = -4$

Теперь вернемся к замене $y = x - 1$:

$x - 1 = 1$ или $x - 1 = -4$

$x_1 = 1 + 1 = 2$

$x_2 = -4 + 1 = -3$

Ответ: $x_1 = 2$, $x_2 = -3$

Задание 2

Пусть первое четное число будет $2n$, тогда следующее четное число будет $2n + 2$. Их произведение равно 168:

$2n(2n + 2) = 168$

Разделим обе части на 2:

$n(2n + 2) = 84$

$2n^2 + 2n = 84$

Разделим обе части на 2:

$n^2 + n = 42$

Перенесем все в левую часть:

$n^2 + n - 42 = 0$

Решим квадратное уравнение:

$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-42) = 1 + 168 = 169$

$n_1 = \frac{-1 + \sqrt{169}}{2} = \frac{-1 + 13}{2} = \frac{12}{2} = 6$

$n_2 = \frac{-1 - \sqrt{169}}{2} = \frac{-1 - 13}{2} = \frac{-14}{2} = -7$

Так как мы ищем натуральные числа, то $n = 6$.

Тогда первое число $2n = 2 \cdot 6 = 12$, а второе число $2n + 2 = 12 + 2 = 14$.

Ответ: 12 и 14.

Ассистент: Отлично, давайте продолжим решать задания!

Задание 3

Дано квадратное уравнение $x^2 - 6x + q = 0$, и один из его корней равен $3 + \sqrt{5}$. Нужно найти другой корень и коэффициент $q$.

По теореме Виета, сумма корней квадратного уравнения $x^2 + bx + c = 0$ равна $-b$, а произведение корней равно $c$. В нашем случае, $b = -6$ и $c = q$.

Пусть $x_1 = 3 + \sqrt{5}$ и $x_2$ - второй корень. Тогда:

$x_1 + x_2 = 6$

$3 + \sqrt{5} + x_2 = 6$

$x_2 = 6 - (3 + \sqrt{5}) = 6 - 3 - \sqrt{5} = 3 - \sqrt{5}$

Теперь найдем коэффициент $q$, который равен произведению корней:

$q = x_1 \cdot x_2 = (3 + \sqrt{5})(3 - \sqrt{5})$

Используем формулу разности квадратов: $(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$

$q = 3^2 - (\sqrt{5})^2 = 9 - 5 = 4$

Ответ: Второй корень $x_2 = 3 - \sqrt{5}$, коэффициент $q = 4$.