Задание 1: Решить уравнение

Дано показательное уравнение: $0,4^{x-2} = \left(\frac{25}{4}\right)^{2x}$

Шаг 1: Преобразуем основание $0,4$ в обыкновенную дробь.
$0,4 = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$

Шаг 2: Преобразуем основание $\frac{25}{4}$ к основанию $\frac{2}{5}$.
$\frac{25}{4} = \left(\frac{5}{2}\right)^2 = \left(\frac{2}{5}\right)^{-2}$

Шаг 3: Подставим преобразованные основания обратно в уравнение.
$\left(\frac{2}{5}\right)^{x-2} = \left(\left(\frac{2}{5}\right)^{-2}\right)^{2x}$

Шаг 4: Упростим правую часть уравнения, используя свойство $(a^m)^n = a^{mn}$.
$\left(\frac{2}{5}\right)^{x-2} = \left(\frac{2}{5}\right)^{-4x}$

Шаг 5: Так как основания равны, приравниваем показатели степеней.
$x-2 = -4x$

Шаг 6: Решим линейное уравнение относительно $x$.
$x + 4x = 2$
$5x = 2$
$x = \frac{2}{5}$
$x = 0,4$

Ответ: $x = 0,4$

Задание 3B2: Разность большего и меньшего корней уравнения

Дано квадратное уравнение: $x^2 - 8x + 15 = 0$

Шаг 1: Найдем корни квадратного уравнения, используя формулу дискриминанта или теорему Виета.
Для уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$, дискриминант $D = b^2 - 4ac$.
В нашем случае $a=1$, $b=-8$, $c=15$.
$D = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 15 = 64 - 60 = 4$

Шаг 2: Вычислим корни уравнения по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.
$x_1 = \frac{-(-8) + \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{8 + 2}{2} = \frac{10}{2} = 5$
$x_2 = \frac{-(-8) - \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{8 - 2}{2} = \frac{6}{2} = 3$

Шаг 3: Определим больший и меньший корни.
Больший корень: $x_{больший} = 5$
Меньший корень: $x_{меньший} = 3$

Шаг 4: Найдем разность большего и меньшего корней.
Разность = $x_{больший} - x_{меньший} = 5 - 3 = 2$

Ответ: Разность большего и меньшего корней равна 2.

Задание 3B5: Сравнение объемов кружек

Даны две кружки цилиндрической формы. Обозначим параметры первой кружки индексом 1, а второй — индексом 2.

Условия задачи:
1. Первая кружка в пять раз шире второй. Это означает, что радиус (или диаметр) первой кружки в 5 раз больше радиуса второй: $r_1 = 5r_2$.
2. Вторая кружка в два раза выше первой: $h_2 = 2h_1$.

Цель: Найти, во сколько раз объем первой кружки больше объема второй, то есть найти отношение $\frac{V_1}{V_2}$.

Шаг 1: Формула объема цилиндра
Объем цилиндра вычисляется по формуле: $V = \pi r^2 h$, где $r$ — радиус основания, а $h$ — высота.

Шаг 2: Выражение объемов кружек
* Объем первой кружки: $V_1 = \pi r_1^2 h_1$
* Объем второй кружки: $V_2 = \pi r_2^2 h_2$

Шаг 3: Подстановка условий задачи в формулы
Выразим объем первой кружки через параметры второй, используя данные условия:
* $r_1 = 5r_2$
* $h_1 = \frac{h_2}{2}$

Подставим эти выражения в формулу для $V_1$:
$V_1 = \pi (5r_2)^2 \left(\frac{h_2}{2}\right) = \pi (25r_2^2) \frac{h_2}{2} = \frac{25}{2} \pi r_2^2 h_2$

Шаг 4: Нахождение отношения объемов
Теперь найдем отношение $\frac{V_1}{V_2}$:
$\frac{V_1}{V_2} = \frac{\frac{25}{2} \pi r_2^2 h_2}{\pi r_2^2 h_2}$

Сокращаем одинаковые множители $(\pi r_2^2 h_2)$:
$\frac{V_1}{V_2} = \frac{25}{2} = 12,5$

Ответ: Объем первой кружки в 12,5 раз больше объема второй.

Задание 3B6: Решить логарифмическое уравнение

Дано уравнение: $\log_5(x - 10) = 2 + \log_5 2$

Шаг 1: Определение Области допустимых значений (ОДЗ)
Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля.
$x - 10 > 0 \implies x > 10$

Шаг 2: Преобразование уравнения
Перенесем логарифм из правой части в левую:
$\log_5(x - 10) - \log_5 2 = 2$

Используем свойство разности логарифмов $\log_a b - \log_a c = \log_a \left(\frac{b}{c}\right)$:
$\log_5\left(\frac{x - 10}{2}\right) = 2$

Шаг 3: Решение логарифмического уравнения
По определению логарифма, если $\log_a b = c$, то $a^c = b$.
Применим это к нашему уравнению:
$\frac{x - 10}{2} = 5^2$
$\frac{x - 10}{2} = 25$

Шаг 4: Решение линейного уравнения
Умножим обе части на 2:
$x - 10 = 50$

Перенесем -10 в правую часть:
$x = 50 + 10$
$x = 60$

Шаг 5: Проверка корня по ОДЗ
Найденный корень $x = 60$. Проверим, удовлетворяет ли он условию ОДЗ ($x > 10$).
$60 > 10$. Условие выполняется, значит, корень подходит.

Шаг 6: Ответ
Уравнение имеет один корень $x=60$. В задании сказано: "Если корней несколько, в ответ записать их произведение". Так как корень один, то произведение состоит из одного этого числа.

Ответ: 60

Задание 3B7: Найти значение выражения

Дано выражение: $-3(\sin^2 \alpha + 4)$
Известно, что: $\cos^2 \alpha = 0.6$

Шаг 1: Использование основного тригонометрического тождества
Основное тригонометрическое тождество гласит: $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$.
Из этого тождества мы можем выразить $\sin^2 \alpha$:
$\sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha$

Шаг 2: Вычисление $\sin^2 \alpha$
Подставим известное значение $\cos^2 \alpha = 0.6$ в формулу:
$\sin^2 \alpha = 1 - 0.6 = 0.4$

Шаг 3: Подстановка найденного значения в исходное выражение
Теперь подставим значение $\sin^2 \alpha = 0.4$ в исходное выражение $-3(\sin^2 \alpha + 4)$:
$-3(0.4 + 4)$

Шаг 4: Вычисление результата
Сначала выполним сложение в скобках:
$0.4 + 4 = 4.4$

Затем умножим на -3:
$-3 \cdot 4.4 = -13.2$

Ответ: -13.2

Задание 3B8: Перевод единиц скорости

Нужно представить скорость 189 км/час в м/мин.

Шаг 1: Перевод километров в метры
В одном километре 1000 метров.
$189 \text{ км} = 189 \cdot 1000 \text{ м} = 189000 \text{ м}$

Шаг 2: Перевод часов в минуты
В одном часе 60 минут.
$1 \text{ час} = 60 \text{ мин}$

Шаг 3: Вычисление скорости в м/мин
Скорость — это отношение расстояния ко времени. Подставим переведенные значения:
Скорость = $\frac{189000 \text{ м}}{60 \text{ мин}}$

Выполним деление:
$\frac{189000}{60} = \frac{18900}{6} = 3150$

Таким образом, скорость составляет 3150 м/мин.

Ответ: 3150

Задание 3B9: Найти значение производной функции

Дана функция: $y = \frac{x^2 + 1}{2x + 2}$
Нужно найти значение её производной в точке $x_0 = 4$.

Шаг 1: Нахождение производной функции
Функция представляет собой частное двух функций $u(x) = x^2 + 1$ и $v(x) = 2x + 2$.
Используем формулу производной частного: $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

Найдем производные $u'(x)$ и $v'(x)$:
$u'(x) = (x^2 + 1)' = 2x$
$v'(x) = (2x + 2)' = 2$

Теперь подставим всё в формулу производной частного:
$y' = \frac{(2x)(2x + 2) - (x^2 + 1)(2)}{(2x + 2)^2}$

Шаг 2: Упрощение выражения для производной
Раскроем скобки в числителе:
$y' = \frac{4x^2 + 4x - (2x^2 + 2)}{(2x + 2)^2}$
$y' = \frac{4x^2 + 4x - 2x^2 - 2}{(2x + 2)^2}$
$y' = \frac{2x^2 + 4x - 2}{(2x + 2)^2}$

Можно вынести общий множитель 2 в числителе и 2 в знаменателе (из скобки):
$y' = \frac{2(x^2 + 2x - 1)}{(2(x + 1))^2} = \frac{2(x^2 + 2x - 1)}{4(x + 1)^2} = \frac{x^2 + 2x - 1}{2(x + 1)^2}$

Шаг 3: Вычисление значения производной в точке $x_0 = 4$
Подставим $x = 4$ в упрощенное выражение для производной:
$y'(4) = \frac{4^2 + 2(4) - 1}{2(4 + 1)^2}$

Вычислим числитель:
$16 + 8 - 1 = 23$

Вычислим знаменатель:
$2(5)^2 = 2 \cdot 25 = 50$

Получаем результат:
$y'(4) = \frac{23}{50}$

Шаг 4: Преобразование дроби в десятичную
$\frac{23}{50} = \frac{23 \cdot 2}{50 \cdot 2} = \frac{46}{100} = 0.46$

Ответ: 0.46