Решение уравнений: показательные и квадратные уравнения

Задание 1: Решить уравнение

Дано показательное уравнение: \(0,4^{x-2} = \left(\frac{25}{4}\right)^{2x}\)

Шаг 1: Преобразуем основание \(0,4\) в обыкновенную дробь.
\(0,4 = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}\)

Шаг 2: Преобразуем основание \(\frac{25}{4}\) к основанию \(\frac{2}{5}\).
\(\frac{25}{4} = \left(\frac{5}{2}\right)^2 = \left(\frac{2}{5}\right)^{-2}\)

Шаг 3: Подставим преобразованные основания обратно в уравнение.
\(\left(\frac{2}{5}\right)^{x-2} = \left(\left(\frac{2}{5}\right)^{-2}\right)^{2x}\)

Шаг 4: Упростим правую часть уравнения, используя свойство \((a^m)^n = a^{mn}\).
\(\left(\frac{2}{5}\right)^{x-2} = \left(\frac{2}{5}\right)^{-4x}\)

Шаг 5: Так как основания равны, приравниваем показатели степеней.
\(x-2 = -4x\)

Шаг 6: Решим линейное уравнение относительно \(x\).
\(x + 4x = 2\)
\(5x = 2\)
\(x = \frac{2}{5}\)
\(x = 0,4\)

Ответ: \(x = 0,4\)

Задание 3B2: Разность большего и меньшего корней уравнения

Дано квадратное уравнение: \(x^2 - 8x + 15 = 0\)

Шаг 1: Найдем корни квадратного уравнения, используя формулу дискриминанта или теорему Виета.
Для уравнения вида \(ax^2 + bx + c = 0\), дискриминант \(D = b^2 - 4ac\).
В нашем случае \(a=1\), \(b=-8\), \(c=15\).
\(D = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 15 = 64 - 60 = 4\)

Шаг 2: Вычислим корни уравнения по формуле \(x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\).
\(x_1 = \frac{-(-8) + \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{8 + 2}{2} = \frac{10}{2} = 5\)
\(x_2 = \frac{-(-8) - \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{8 - 2}{2} = \frac{6}{2} = 3\)

Шаг 3: Определим больший и меньший корни.
Больший корень: \(x_{больший} = 5\)
Меньший корень: \(x_{меньший} = 3\)

Шаг 4: Найдем разность большего и меньшего корней.
Разность = \(x_{больший} - x_{меньший} = 5 - 3 = 2\)

Ответ: Разность большего и меньшего корней равна 2.

Задание 3B5: Сравнение объемов кружек

Даны две кружки цилиндрической формы. Обозначим параметры первой кружки индексом 1, а второй — индексом 2.

Условия задачи:
1. Первая кружка в пять раз шире второй. Это означает, что радиус (или диаметр) первой кружки в 5 раз больше радиуса второй: \(r_1 = 5r_2\).
2. Вторая кружка в два раза выше первой: \(h_2 = 2h_1\).

Цель: Найти, во сколько раз объем первой кружки больше объема второй, то есть найти отношение \(\frac{V_1}{V_2}\).

Шаг 1: Формула объема цилиндра
Объем цилиндра вычисляется по формуле: \(V = \pi r^2 h\), где \(r\) — радиус основания, а \(h\) — высота.

Шаг 2: Выражение объемов кружек
* Объем первой кружки: \(V_1 = \pi r_1^2 h_1\)
* Объем второй кружки: \(V_2 = \pi r_2^2 h_2\)

Шаг 3: Подстановка условий задачи в формулы
Выразим объем первой кружки через параметры второй, используя данные условия:
* \(r_1 = 5r_2\)
* \(h_1 = \frac{h_2}{2}\)

Подставим эти выражения в формулу для \(V_1\):
\(V_1 = \pi (5r_2)^2 \left(\frac{h_2}{2}\right) = \pi (25r_2^2) \frac{h_2}{2} = \frac{25}{2} \pi r_2^2 h_2\)

Шаг 4: Нахождение отношения объемов
Теперь найдем отношение \(\frac{V_1}{V_2}\):
\(\frac{V_1}{V_2} = \frac{\frac{25}{2} \pi r_2^2 h_2}{\pi r_2^2 h_2}\)

Сокращаем одинаковые множители \((\pi r_2^2 h_2)\):
\(\frac{V_1}{V_2} = \frac{25}{2} = 12,5\)

Ответ: Объем первой кружки в 12,5 раз больше объема второй.

Задание 3B6: Решить логарифмическое уравнение

Дано уравнение: \(\log_5(x - 10) = 2 + \log_5 2\)

Шаг 1: Определение Области допустимых значений (ОДЗ)
Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля.
\(x - 10 > 0 \implies x > 10\)

Шаг 2: Преобразование уравнения
Перенесем логарифм из правой части в левую:
\(\log_5(x - 10) - \log_5 2 = 2\)

Используем свойство разности логарифмов \(\log_a b - \log_a c = \log_a \left(\frac{b}{c}\right)\):
\(\log_5\left(\frac{x - 10}{2}\right) = 2\)

Шаг 3: Решение логарифмического уравнения
По определению логарифма, если \(\log_a b = c\), то \(a^c = b\).
Применим это к нашему уравнению:
\(\frac{x - 10}{2} = 5^2\)
\(\frac{x - 10}{2} = 25\)

Шаг 4: Решение линейного уравнения
Умножим обе части на 2:
\(x - 10 = 50\)

Перенесем -10 в правую часть:
\(x = 50 + 10\)
\(x = 60\)

Шаг 5: Проверка корня по ОДЗ
Найденный корень \(x = 60\). Проверим, удовлетворяет ли он условию ОДЗ (\(x > 10\)).
\(60 > 10\). Условие выполняется, значит, корень подходит.

Шаг 6: Ответ
Уравнение имеет один корень \(x=60\). В задании сказано: "Если корней несколько, в ответ записать их произведение". Так как корень один, то произведение состоит из одного этого числа.

Ответ: 60

Задание 3B7: Найти значение выражения

Дано выражение: \(-3(\sin^2 \alpha + 4)\)
Известно, что: \(\cos^2 \alpha = 0.6\)

Шаг 1: Использование основного тригонометрического тождества
Основное тригонометрическое тождество гласит: \(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1\).
Из этого тождества мы можем выразить \(\sin^2 \alpha\):
\(\sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha\)

Шаг 2: Вычисление \(\sin^2 \alpha\)
Подставим известное значение \(\cos^2 \alpha = 0.6\) в формулу:
\(\sin^2 \alpha = 1 - 0.6 = 0.4\)

Шаг 3: Подстановка найденного значения в исходное выражение
Теперь подставим значение \(\sin^2 \alpha = 0.4\) в исходное выражение \(-3(\sin^2 \alpha + 4)\):
\(-3(0.4 + 4)\)

Шаг 4: Вычисление результата
Сначала выполним сложение в скобках:
\(0.4 + 4 = 4.4\)

Затем умножим на -3:
\(-3 \cdot 4.4 = -13.2\)

Ответ: -13.2

Задание 3B8: Перевод единиц скорости

Нужно представить скорость 189 км/час в м/мин.

Шаг 1: Перевод километров в метры
В одном километре 1000 метров.
\(189 \text{ км} = 189 \cdot 1000 \text{ м} = 189000 \text{ м}\)

Шаг 2: Перевод часов в минуты
В одном часе 60 минут.
\(1 \text{ час} = 60 \text{ мин}\)

Шаг 3: Вычисление скорости в м/мин
Скорость — это отношение расстояния ко времени. Подставим переведенные значения:
Скорость = \(\frac{189000 \text{ м}}{60 \text{ мин}}\)

Выполним деление:
\(\frac{189000}{60} = \frac{18900}{6} = 3150\)

Таким образом, скорость составляет 3150 м/мин.

Ответ: 3150

Задание 3B9: Найти значение производной функции

Дана функция: \(y = \frac{x^2 + 1}{2x + 2}\)
Нужно найти значение её производной в точке \(x_0 = 4\).

Шаг 1: Нахождение производной функции
Функция представляет собой частное двух функций \(u(x) = x^2 + 1\) и \(v(x) = 2x + 2\).
Используем формулу производной частного: \(\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}\).

Найдем производные \(u'(x)\) и \(v'(x)\):
\(u'(x) = (x^2 + 1)' = 2x\)
\(v'(x) = (2x + 2)' = 2\)

Теперь подставим всё в формулу производной частного:
\(y' = \frac{(2x)(2x + 2) - (x^2 + 1)(2)}{(2x + 2)^2}\)

Шаг 2: Упрощение выражения для производной
Раскроем скобки в числителе:
\(y' = \frac{4x^2 + 4x - (2x^2 + 2)}{(2x + 2)^2}\)
\(y' = \frac{4x^2 + 4x - 2x^2 - 2}{(2x + 2)^2}\)
\(y' = \frac{2x^2 + 4x - 2}{(2x + 2)^2}\)

Можно вынести общий множитель 2 в числителе и 2 в знаменателе (из скобки):
\(y' = \frac{2(x^2 + 2x - 1)}{(2(x + 1))^2} = \frac{2(x^2 + 2x - 1)}{4(x + 1)^2} = \frac{x^2 + 2x - 1}{2(x + 1)^2}\)

Шаг 3: Вычисление значения производной в точке \(x_0 = 4\)
Подставим \(x = 4\) в упрощенное выражение для производной:
\(y'(4) = \frac{4^2 + 2(4) - 1}{2(4 + 1)^2}\)

Вычислим числитель:
\(16 + 8 - 1 = 23\)

Вычислим знаменатель:
\(2(5)^2 = 2 \cdot 25 = 50\)

Получаем результат:
\(y'(4) = \frac{23}{50}\)

Шаг 4: Преобразование дроби в десятичную
\(\frac{23}{50} = \frac{23 \cdot 2}{50 \cdot 2} = \frac{46}{100} = 0.46\)

Ответ: 0.46