Замена переменной:

Пусть $t = \sqrt[10]{x^2-3}$. Тогда $t^2 = \sqrt[5]{x^2-3}$. Уравнение примет вид:

$3t + t^2 = 4$
2. Решение квадратного уравнения:

Перепишем уравнение в стандартном виде:

$t^2 + 3t - 4 = 0$

Решим квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета или дискриминант. В данном случае, легко подобрать корни:

$t_1 = 1$
$t_2 = -4$
3. Возврат к исходной переменной:

• Случай 1: $t = 1$

  $\sqrt[10]{x^2-3} = 1$

  Возведем обе части в степень 10:

  $x^2 - 3 = 1^{10}$

  $x^2 - 3 = 1$

  $x^2 = 4$

  $x = \pm 2$
  * Случай 2: $t = -4$

  $\sqrt[10]{x^2-3} = -4$

  Так как корень четной степени не может быть отрицательным, то это уравнение не имеет решений.
  4. Проверка решений:

Проверим найденные значения $x = \pm 2$ в исходном уравнении:

$x = 2$:

$3\cdot\sqrt[10]{2^2-3} + \sqrt[5]{2^2-3} = 3\cdot\sqrt[10]{1} + \sqrt[5]{1} = 3\cdot 1 + 1 = 4$ - верно.

$x = -2$:

$3\cdot\sqrt[10]{(-2)^2-3} + \sqrt[5]{(-2)^2-3} = 3\cdot\sqrt[10]{1} + \sqrt[5]{1} = 3\cdot 1 + 1 = 4$ - верно.

Определение области допустимых значений (ОДЗ):

• Подкоренное выражение должно быть неотрицательным, так как корень четной степени определен только для неотрицательных чисел:

  $x^2 - 3 \geq 0$
  $x^2 \geq 3$
  $x \leq -\sqrt{3}$ или $x \geq \sqrt{3}$
  2. Замена переменной:

• Введем новую переменную, чтобы упростить уравнение. Заметим, что $\sqrt[5]{x^2-3}$ можно представить как $(\sqrt[10]{x^2-3})^2$.

• Пусть $t = \sqrt[10]{x^2-3}$. Тогда $t^2 = (\sqrt[10]{x^2-3})^2 = \sqrt[5]{x^2-3}$.

• Уравнение примет вид:

  $3t + t^2 = 4$
  3. Решение квадратного уравнения:

• Перепишем уравнение в стандартном виде:

  $t^2 + 3t - 4 = 0$
  * Решим квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета или дискриминант.

  • Теорема Виета:
    • Сумма корней: $t_1 + t_2 = -3$
    • Произведение корней: $t_1 \cdot t_2 = -4$
    • Подбираем корни: $t_1 = 1$ и $t_2 = -4$
    • Корни квадратного уравнения:

  $t_1 = 1$
  $t_2 = -4$
  4. Возврат к исходной переменной:

• Случай 1: $t = 1$

  $\sqrt[10]{x^2-3} = 1$

  Возведем обе части в степень 10:

  $(\sqrt[10]{x^2-3})^{10} = 1^{10}$

  $x^2 - 3 = 1$

  $x^2 = 4$

  $x = \pm 2$
  * Случай 2: $t = -4$

  $\sqrt[10]{x^2-3} = -4$

  Так как корень четной степени не может быть отрицательным (по определению арифметического корня), то это уравнение не имеет решений.
  5. Проверка решений:

Проверим найденные значения $x = \pm 2$ в исходном уравнении:

• $x = 2$:

  $3\cdot\sqrt[10]{2^2-3} + \sqrt[5]{2^2-3} = 3\cdot\sqrt[10]{1} + \sqrt[5]{1} = 3\cdot 1 + 1 = 4$ - верно.
  * $x = -2$:

  $3\cdot\sqrt[10]{(-2)^2-3} + \sqrt[5]{(-2)^2-3} = 3\cdot\sqrt[10]{1} + \sqrt[5]{1} = 3\cdot 1 + 1 = 4$ - верно.
  6. Проверка ОДЗ:

• $x = 2$: $2 \geq \sqrt{3}$ (примерно 1.73) - верно.

• $x = -2$: $-2 \leq -\sqrt{3}$ (примерно -1.73) - верно.