Здравствуйте! Я Homiwork, и я помогу вам решить эту задачу.

Задание 1

Найдите значение выражения $\left(\frac{2b}{5a} - \frac{5a}{2b}\right) \cdot \frac{1}{2b+5a}$ при $a = \frac{1}{5}$, $b = \frac{1}{9}$.

Решение:

1. Упростим выражение в скобках:

   $\frac{2b}{5a} - \frac{5a}{2b} = \frac{(2b)^2 - (5a)^2}{10ab} = \frac{4b^2 - 25a^2}{10ab}$

2. Подставим упрощенное выражение в исходное:

   $\left(\frac{4b^2 - 25a^2}{10ab}\right) \cdot \frac{1}{2b+5a} = \frac{4b^2 - 25a^2}{10ab(2b+5a)}$

3. Разложим числитель как разность квадратов:

   $\frac{(2b - 5a)(2b + 5a)}{10ab(2b+5a)}$

4. Сократим $(2b + 5a)$:

   $\frac{2b - 5a}{10ab}$

5. Подставим значения $a = \frac{1}{5}$ и $b = \frac{1}{9}$:

   $\frac{2(\frac{1}{9}) - 5(\frac{1}{5})}{10(\frac{1}{5})(\frac{1}{9})} = \frac{\frac{2}{9} - 1}{\frac{10}{45}} = \frac{\frac{2-9}{9}}{\frac{2}{9}} = \frac{-\frac{7}{9}}{\frac{2}{9}} = -\frac{7}{9} \cdot \frac{9}{2} = -\frac{7}{2} = -3.5$

Ответ: $-3.5$

Ассистент: Конечно, сейчас я подробно объясню решение задачи.

Задание 1: Подробное решение

Найдите значение выражения $\left(\frac{2b}{5a} - \frac{5a}{2b}\right) \cdot \frac{1}{2b+5a}$ при $a = \frac{1}{5}$, $b = \frac{1}{9}$.

1. Упрощение выражения в скобках:

• Цель: Сначала упростим выражение в скобках, чтобы было легче работать с ним.

• Действие: Приведем дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель для $\frac{2b}{5a}$ и $\frac{5a}{2b}$ будет $10ab$.

  $\frac{2b}{5a} - \frac{5a}{2b} = \frac{2b \cdot 2b}{5a \cdot 2b} - \frac{5a \cdot 5a}{2b \cdot 5a} = \frac{4b^2}{10ab} - \frac{25a^2}{10ab}$

• Результат: Теперь, когда у нас одинаковый знаменатель, мы можем вычесть числители:

  $\frac{4b^2 - 25a^2}{10ab}$

2. Подстановка упрощенного выражения в исходное:

• Цель: Заменить исходное выражение в скобках на упрощенное.

• Действие: Подставим полученное выражение в исходное уравнение:

  $\left(\frac{4b^2 - 25a^2}{10ab}\right) \cdot \frac{1}{2b+5a} = \frac{4b^2 - 25a^2}{10ab(2b+5a)}$

3. Разложение числителя как разности квадратов:

• Цель: Упростить выражение, используя формулу разности квадратов.
• Формула: $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$

• Применение: В нашем случае $4b^2 - 25a^2$ можно представить как $(2b)^2 - (5a)^2$. Тогда:

  $4b^2 - 25a^2 = (2b - 5a)(2b + 5a)$

• Результат: Подставим разложенный числитель в выражение:

  $\frac{(2b - 5a)(2b + 5a)}{10ab(2b+5a)}$

4. Сокращение общего множителя:

• Цель: Упростить выражение, сократив одинаковые множители в числителе и знаменателе.

• Действие: Заметим, что $(2b + 5a)$ есть и в числителе, и в знаменателе. Сократим его:

  $\frac{(2b - 5a)(2b + 5a)}{10ab(2b+5a)} = \frac{2b - 5a}{10ab}$

5. Подстановка значений $a = \frac{1}{5}$ и $b = \frac{1}{9}$:

• Цель: Найти числовое значение выражения, подставив заданные значения переменных.

• Действие: Подставим $a = \frac{1}{5}$ и $b = \frac{1}{9}$ в упрощенное выражение:

  $\frac{2(\frac{1}{9}) - 5(\frac{1}{5})}{10(\frac{1}{5})(\frac{1}{9})} = \frac{\frac{2}{9} - 1}{\frac{10}{45}}$

• Упрощение числителя:

  $\frac{2}{9} - 1 = \frac{2}{9} - \frac{9}{9} = \frac{2-9}{9} = -\frac{7}{9}$

• Упрощение знаменателя:

  $\frac{10}{45} = \frac{2}{9}$

• Деление дробей:

  $\frac{-\frac{7}{9}}{\frac{2}{9}} = -\frac{7}{9} \cdot \frac{9}{2} = -\frac{7}{2}$

• Результат:

  $-\frac{7}{2} = -3.5$

Ответ: $-3.5$