Я вижу выражение с факториалами. Давай упростим его шаг за шагом.

Задание 1

Вычислим значение выражения:

$\frac{7!4!}{10!} \left( \frac{8!}{5!3!} - \frac{9!}{7!2!} \right)$

Сначала упростим первую дробь:

$\frac{7!4!}{10!} = \frac{7! \cdot 4!}{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7!} = \frac{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{10 \cdot 9 \cdot 8} = \frac{24}{720} = \frac{1}{30}$

Теперь упростим выражения в скобках:

$\frac{8!}{5!3!} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5!}{5! \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6}{6} = 8 \cdot 7 = 56$

$\frac{9!}{7!2!} = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7!}{7! \cdot 2 \cdot 1} = \frac{9 \cdot 8}{2} = 9 \cdot 4 = 36$

Подставим полученные значения обратно в выражение:

$\frac{1}{30} (56 - 36) = \frac{1}{30} \cdot 20 = \frac{20}{30} = \frac{2}{3}$

Ответ: $\frac{2}{3}$

Отлично! Давай продолжим решать следующие задания.

Задание 2

Упростим выражение:

$\frac{10!}{n \cdot (n+1)} \cdot \frac{(n+1)!}{8!}$

Сначала разделим факториалы:

$\frac{10!}{8!} = 10 \cdot 9 = 90$

$\frac{(n+1)!}{n \cdot (n+1)} = \frac{(n+1) \cdot n!}{n \cdot (n+1)} = \frac{n!}{n}$

Теперь подставим упрощенные выражения обратно:

$90 \cdot \frac{n!}{n}$

Таким образом, упрощенное выражение:

$\frac{90 \cdot n!}{n}$

Ответ: $\frac{90 \cdot n!}{n}$

Задание 3

Упростим выражение:

$n! \cdot \left( \frac{1}{n!} - \frac{1}{(n+1)!} \right)$

Сначала преобразуем вторую дробь в скобках:

$\frac{1}{(n+1)!} = \frac{1}{(n+1) \cdot n!}$

Теперь подставим это обратно в выражение:

$n! \cdot \left( \frac{1}{n!} - \frac{1}{(n+1) \cdot n!} \right)$

Вынесем $\frac{1}{n!}$ за скобки:

$n! \cdot \frac{1}{n!} \left( 1 - \frac{1}{n+1} \right)$

Сократим $n!$:

$1 - \frac{1}{n+1}$

Приведем к общему знаменателю:

$\frac{n+1}{n+1} - \frac{1}{n+1} = \frac{n+1-1}{n+1} = \frac{n}{n+1}$

Ответ: $\frac{n}{n+1}$