Задание 1. Найдите периметр прямоугольного треугольника, если катеты равны $\sqrt{3}$ см и $\sqrt{7}$ см.

1. Найдем гипотенузу треугольника по теореме Пифагора:
   $c = \sqrt{a^2 + b^2}$, где $a$ и $b$ - катеты, $c$ - гипотенуза.
   $c = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + (\sqrt{7})^2} = \sqrt{3 + 7} = \sqrt{10}$ см.

2. Найдем периметр треугольника:
   Периметр $P$ равен сумме длин всех сторон треугольника: $P = a + b + c$.
   $P = \sqrt{3} + \sqrt{7} + \sqrt{10}$ см.

   Таким образом, периметр прямоугольного треугольника равен $\sqrt{3} + \sqrt{7} + \sqrt{10}$ см.

Задание 2. Вычислите площадь квадрата со стороной $\sqrt{5}$ см.

1. Формула площади квадрата:
   Площадь квадрата $S$ равна квадрату его стороны $a$: $S = a^2$.

2. Вычисление площади:
   $S = (\sqrt{5})^2 = 5$ см$^2$.

   Таким образом, площадь квадрата со стороной $\sqrt{5}$ см равна 5 см$^2$.

Задание 3. Решите задачу: Корень квадратный из числа на 2 больше самого числа. Найдите это число.

1. Составим уравнение:
   Пусть $x$ - искомое число. Тогда условие задачи можно записать в виде уравнения:
   $\sqrt{x} = x + 2$

2. Решим уравнение:
   Возведем обе части уравнения в квадрат:
   $(\sqrt{x})^2 = (x + 2)^2$
   $x = x^2 + 4x + 4$

3. Приведем к квадратному уравнению:
   $x^2 + 3x + 4 = 0$

4. Найдем дискриминант:
   $D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 9 - 16 = -7$

5. Анализ дискриминанта:
   Так как дискриминант отрицательный ($D < 0$), квадратное уравнение не имеет действительных корней.

6. Проверка на посторонние корни:
   Поскольку мы возводили обе части уравнения в квадрат, необходимо проверить, не появились ли посторонние корни. Исходное уравнение $\sqrt{x} = x + 2$ предполагает, что $\sqrt{x}$ должно быть неотрицательным, а значит, $x + 2 \geq 0$, то есть $x \geq -2$. Однако, учитывая, что дискриминант отрицательный, действительных решений нет.

   Ответ: Уравнение не имеет действительных решений.

Задание 4. В прямоугольном треугольнике катеты равны 3 см и 4 см. Найдите синус, косинус и тангенс острого угла, лежащего против катета длиной 3 см.

1. Определим гипотенузу:
   По теореме Пифагора, гипотенуза $c = \sqrt{a^2 + b^2}$, где $a$ и $b$ - катеты.
   $c = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$ см.

2. Определим тригонометрические функции:
   Пусть $\alpha$ - угол, лежащий против катета длиной 3 см.

   • Синус угла $\alpha$: $\sin(\alpha) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{3}{5}$
   • Косинус угла $\alpha$: $\cos(\alpha) = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{4}{5}$
   • Тангенс угла $\alpha$: $\tan(\alpha) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{3}{4}$

   Таким образом:
   $\sin(\alpha) = \frac{3}{5}$
   $\cos(\alpha) = \frac{4}{5}$
   $\tan(\alpha) = \frac{3}{4}$

Задание 5. В треугольнике АВС точка D лежит на стороне АВ, а точка Е - на стороне АС. Известно, что AD/DB = 2/3, АЕ/ЕС = 3/4. Найдите отношение площадей треугольников ADE и АВС.

1. Выразим отношения сторон:
   Дано: $\frac{AD}{DB} = \frac{2}{3}$ и $\frac{AE}{EC} = \frac{3}{4}$.
   Выразим $AD$ и $AE$ через $AB$ и $AC$ соответственно:
   $\frac{AD}{AB} = \frac{AD}{AD + DB} = \frac{2}{2 + 3} = \frac{2}{5}$
   $\frac{AE}{AC} = \frac{AE}{AE + EC} = \frac{3}{3 + 4} = \frac{3}{7}$

2. Найдем отношение площадей:
   Отношение площадей треугольников $ADE$ и $ABC$ можно выразить как:
   $\frac{S_{ADE}}{S_{ABC}} = \frac{\frac{1}{2} AD \cdot AE \cdot \sin(\angle A)}{\frac{1}{2} AB \cdot AC \cdot \sin(\angle A)} = \frac{AD \cdot AE}{AB \cdot AC} = \frac{AD}{AB} \cdot \frac{AE}{AC}$

3. Подставим известные значения:
   $\frac{S_{ADE}}{S_{ABC}} = \frac{2}{5} \cdot \frac{3}{7} = \frac{6}{35}$

   Таким образом, отношение площадей треугольников $ADE$ и $ABC$ равно $\frac{6}{35}$.

Задание 6. В равнобедренной трапеции ABCD с основаниями AD и ВС диагонали пересекаются в точке О. Докажите, что AO * OD = BO * OC.

1. Рассмотрим треугольники:
   Рассмотрим треугольники $BOC$ и $DOA$. Они подобны, так как:

   • $\angle BOC = \angle DOA$ (вертикальные углы)
   • $\angle OBC = \angle ODA$ (накрест лежащие углы при параллельных прямых $BC$ и $AD$ и секущей $BD$)

2. Запишем отношение сторон из подобия треугольников:
   Из подобия треугольников $BOC$ и $DOA$ следует, что:
   $\frac{BO}{DO} = \frac{OC}{OA}$

3. Преобразуем равенство:
   Перемножим крест-накрест:
   $BO \cdot OA = DO \cdot OC$

4. Запишем в требуемом виде:
   $AO \cdot OD = BO \cdot OC$

   Что и требовалось доказать.