Привет! Я ИИ-ассистент платформы Homiwork. Сейчас помогу решить эти задания.

Задание 40.26 (a)

Уравнение: $\frac{1}{3^{x}+2} = \frac{1}{3^{x+1}}$

1. Избавляемся от дробей, приравнивая знаменатели:
   $3^x + 2 = 3^{x+1}$
2. Преобразуем правую часть, используя свойство степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$:
   $3^x + 2 = 3^x \cdot 3^1$
   $3^x + 2 = 3 \cdot 3^x$
3. Переносим все члены с $3^x$ в одну сторону:
   $2 = 3 \cdot 3^x - 3^x$
   $2 = 2 \cdot 3^x$
4. Делим обе части на 2:
   $1 = 3^x$
5. Представляем 1 как степень числа 3:
   $3^0 = 3^x$
6. Приравниваем показатели степеней:
   $x = 0$

Ответ: $x = 0$

Задание 40.26 (б)

Уравнение: $\frac{5}{12^x + 143} = \frac{5}{12^{x+2}}$

1. Избавляемся от дробей, приравнивая знаменатели:
   $12^x + 143 = 12^{x+2}$
2. Преобразуем правую часть, используя свойство степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$:
   $12^x + 143 = 12^x \cdot 12^2$
   $12^x + 143 = 12^x \cdot 144$
3. Переносим все члены с $12^x$ в одну сторону:
   $143 = 144 \cdot 12^x - 12^x$
   $143 = 143 \cdot 12^x$
4. Делим обе части на 143:
   $1 = 12^x$
5. Представляем 1 как степень числа 12:
   $12^0 = 12^x$
6. Приравниваем показатели степеней:
   $x = 0$

Ответ: $x = 0$

Задание 40.26 (г)

Уравнение: $\frac{8}{11^{x}-120} = \frac{8}{11^{x+2}}$

1. Избавляемся от дробей, приравнивая знаменатели:
   $11^x - 120 = 11^{x+2}$
2. Преобразуем правую часть, используя свойство степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$:
   $11^x - 120 = 11^x \cdot 11^2$
   $11^x - 120 = 11^x \cdot 121$
3. Переносим все члены с $11^x$ в одну сторону:
   $-120 = 121 \cdot 11^x - 11^x$
   $-120 = 120 \cdot 11^x$
4. Делим обе части на 120:
   $-1 = 11^x$

Поскольку $11^x$ всегда положительно, уравнение не имеет решений.

Ответ: Решений нет.

Привет! Я ИИ-ассистент платформы Homiwork. Сейчас объясню решение этих задач максимально подробно.

Задание 40.26 (a)

Уравнение: $\frac{1}{3^{x}+2} = \frac{1}{3^{x+1}}$

1. Избавляемся от дробей: Поскольку у нас две дроби равны и числители у них одинаковые (равны 1), то мы можем приравнять их знаменатели. Это основано на свойстве равенства дробей: если $\frac{a}{b} = \frac{a}{c}$, то $b = c$.
   $3^x + 2 = 3^{x+1}$

2. Преобразуем правую часть: Используем свойство степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$. Это свойство позволяет нам разделить степень с суммой в показателе на произведение степеней с теми же основаниями.
   $3^x + 2 = 3^x \cdot 3^1$
   $3^x + 2 = 3 \cdot 3^x$

3. Переносим все члены с $3^x$ в одну сторону: Наша цель - собрать все члены, содержащие переменную $x$, в одной стороне уравнения, чтобы упростить его.
   $2 = 3 \cdot 3^x - 3^x$
   $2 = 2 \cdot 3^x$

4. Делим обе части на 2: Чтобы изолировать член с переменной, делим обе части уравнения на 2.
   $1 = 3^x$

5. Представляем 1 как степень числа 3: Любое число в степени 0 равно 1. Это ключевой момент, чтобы решить уравнение.
   $3^0 = 3^x$

6. Приравниваем показатели степеней: Если основания степеней равны, то и показатели должны быть равны.
   $x = 0$

Ответ: $x = 0$

Задание 40.26 (б)

Уравнение: $\frac{5}{12^x + 143} = \frac{5}{12^{x+2}}$

1. Избавляемся от дробей: Аналогично предыдущему примеру, приравниваем знаменатели, так как числители дробей равны.
   $12^x + 143 = 12^{x+2}$

2. Преобразуем правую часть: Используем свойство степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$.
   $12^x + 143 = 12^x \cdot 12^2$
   $12^x + 143 = 12^x \cdot 144$

3. Переносим все члены с $12^x$ в одну сторону:
   $143 = 144 \cdot 12^x - 12^x$
   $143 = 143 \cdot 12^x$

4. Делим обе части на 143:
   $1 = 12^x$

5. Представляем 1 как степень числа 12:
   $12^0 = 12^x$

6. Приравниваем показатели степеней:
   $x = 0$

Ответ: $x = 0$

Задание 40.26 (г)

Уравнение: $\frac{8}{11^{x}-120} = \frac{8}{11^{x+2}}$

1. Избавляемся от дробей: Приравниваем знаменатели.
   $11^x - 120 = 11^{x+2}$

2. Преобразуем правую часть: Используем свойство степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$.
   $11^x - 120 = 11^x \cdot 11^2$
   $11^x - 120 = 11^x \cdot 121$

3. Переносим все члены с $11^x$ в одну сторону:
   $-120 = 121 \cdot 11^x - 11^x$
   $-120 = 120 \cdot 11^x$

4. Делим обе части на 120:
   $-1 = 11^x$

Поскольку $11^x$ всегда положительно, уравнение не имеет решений. Экспоненциальная функция всегда возвращает положительное значение для любого действительного $x$.

Ответ: Решений нет.

Ассистент: Привет! Я ИИ-ассистент платформы Homiwork. Сейчас помогу решить эти задания.

Задание 40.27 (a)

Уравнение: $3 \cdot 2^{2x} + 6^x - 2 \cdot 3^{2x} = 0$

1. Преобразуем $6^x$ как $(2 \cdot 3)^x = 2^x \cdot 3^x$:
   $3 \cdot 2^{2x} + 2^x \cdot 3^x - 2 \cdot 3^{2x} = 0$
2. Разделим обе части уравнения на $3^{2x}$:
   $3 \cdot \frac{2^{2x}}{3^{2x}} + \frac{2^x \cdot 3^x}{3^{2x}} - 2 = 0$
   $3 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^{2x} + \left(\frac{2}{3}\right)^x - 2 = 0$
3. Сделаем замену $t = \left(\frac{2}{3}\right)^x$. Тогда уравнение примет вид:
   $3t^2 + t - 2 = 0$
4. Решим квадратное уравнение относительно $t$:
   $D = 1^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 1 + 24 = 25$
   $t_1 = \frac{-1 + \sqrt{25}}{2 \cdot 3} = \frac{-1 + 5}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$
   $t_2 = \frac{-1 - \sqrt{25}}{2 \cdot 3} = \frac{-1 - 5}{6} = \frac{-6}{6} = -1$
5. Вернемся к замене:
   • $\left(\frac{2}{3}\right)^x = \frac{2}{3} \Rightarrow x = 1$
   • $\left(\frac{2}{3}\right)^x = -1$ - решений нет, так как показательная функция всегда положительна.

Ответ: $x = 1$

Задание 40.27 (б)

Уравнение: $2 \cdot 2^{2x} - 3 \cdot 10^x - 5 \cdot 5^{2x} = 0$

1. Преобразуем $10^x$ как $(2 \cdot 5)^x = 2^x \cdot 5^x$:
   $2 \cdot 2^{2x} - 3 \cdot 2^x \cdot 5^x - 5 \cdot 5^{2x} = 0$
2. Разделим обе части уравнения на $5^{2x}$:
   $2 \cdot \frac{2^{2x}}{5^{2x}} - 3 \cdot \frac{2^x \cdot 5^x}{5^{2x}} - 5 = 0$
   $2 \cdot \left(\frac{2}{5}\right)^{2x} - 3 \cdot \left(\frac{2}{5}\right)^x - 5 = 0$
3. Сделаем замену $t = \left(\frac{2}{5}\right)^x$. Тогда уравнение примет вид:
   $2t^2 - 3t - 5 = 0$
4. Решим квадратное уравнение относительно $t$:
   $D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 9 + 40 = 49$
   $t_1 = \frac{3 + \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{3 + 7}{4} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2}$
   $t_2 = \frac{3 - \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{3 - 7}{4} = \frac{-4}{4} = -1$
5. Вернемся к замене:
   • $\left(\frac{2}{5}\right)^x = \frac{5}{2} \Rightarrow \left(\frac{2}{5}\right)^x = \left(\frac{2}{5}\right)^{-1} \Rightarrow x = -1$
   • $\left(\frac{2}{5}\right)^x = -1$ - решений нет, так как показательная функция всегда положительна.

Ответ: $x = -1$

Задание 40.27 (в)

Уравнение: $3 \cdot 2^{2x+1} - 4 \cdot 21^x - 7 \cdot 7^{2x} = 0$

1. Преобразуем $2^{2x+1}$ как $2 \cdot 2^{2x}$ и $21^x$ как $(3 \cdot 7)^x = 3^x \cdot 7^x$:
   $3 \cdot 2 \cdot 2^{2x} - 4 \cdot 3^x \cdot 7^x - 7 \cdot 7^{2x} = 0$
   $6 \cdot 2^{2x} - 4 \cdot 3^x \cdot 7^x - 7 \cdot 7^{2x} = 0$
2. Разделим обе части уравнения на $7^{2x}$:
   $6 \cdot \frac{2^{2x}}{7^{2x}} - 4 \cdot \frac{3^x \cdot 7^x}{7^{2x}} - 7 = 0$
   $6 \cdot \left(\frac{2}{7}\right)^{2x} - 4 \cdot \left(\frac{3}{7}\right)^x - 7 = 0$
3. Заметим, что $\left(\frac{3}{7}\right)^x = \left(\frac{2}{7}\right)^x \cdot \left(\frac{3}{2}\right)^x$. Это не упрощает задачу. Попробуем разделить на $2^{2x}$ вместо этого:
   $6 - 4 \cdot \frac{3^x \cdot 7^x}{2^{2x}} - 7 \cdot \frac{7^{2x}}{2^{2x}} = 0$
   $6 - 4 \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^x \cdot \left(\frac{7}{2}\right)^x - 7 \cdot \left(\frac{49}{4}\right)^x = 0$
   Это тоже не упрощает задачу.

Попробуем другой подход. Заметим, что $21^x = (3 \cdot 7)^x = 3^x \cdot 7^x$. Разделим обе части на $7^{2x}$:
$6 \cdot \frac{4^x}{49^x} - 4 \cdot \frac{3^x}{7^x} - 7 = 0$
$6 \cdot \left(\frac{4}{49}\right)^x - 4 \cdot \left(\frac{3}{7}\right)^x - 7 = 0$
Заметим, что $\frac{4}{49} = \left(\frac{2}{7}\right)^2$ и $\frac{3}{7}$ не связаны напрямую.

Попробуем разделить на $4^x$:
$6 - 4 \cdot \left(\frac{21}{4}\right)^x - 7 \cdot \left(\frac{49}{4}\right)^x = 0$
Это тоже не упрощает задачу.

Похоже, что здесь нужна более сложная замена или метод решения.