Здравствуйте! Давайте найдем производные от заданных сложных функций. Начнем с первых трех заданий.

Задание 1

$y = \sin^3{\frac{3x}{4}}$

Чтобы найти производную, воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции:
$(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$.

1. Внешняя функция: $f(u) = u^3$, где $u = \sin{\frac{3x}{4}}$.
   Тогда $f'(u) = 3u^2 = 3\sin^2{\frac{3x}{4}}$.

2. Внутренняя функция: $g(x) = \sin{\frac{3x}{4}}$.
   Тогда $g'(x) = \cos{\frac{3x}{4}} \cdot \left(\frac{3x}{4}\right)' = \cos{\frac{3x}{4}} \cdot \frac{3}{4}$.

3. Собираем все вместе:
   $y' = 3\sin^2{\frac{3x}{4}} \cdot \cos{\frac{3x}{4}} \cdot \frac{3}{4} = \frac{9}{4} \sin^2{\frac{3x}{4}} \cos{\frac{3x}{4}}$.

Ответ: $y' = \frac{9}{4} \sin^2{\frac{3x}{4}} \cos{\frac{3x}{4}}$

Задание 2

$y = \cos^2{5x}$

1. Внешняя функция: $f(u) = u^2$, где $u = \cos{5x}$.
   Тогда $f'(u) = 2u = 2\cos{5x}$.

2. Внутренняя функция: $g(x) = \cos{5x}$.
   Тогда $g'(x) = -\sin{5x} \cdot (5x)' = -\sin{5x} \cdot 5 = -5\sin{5x}$.

3. Собираем все вместе:
   $y' = 2\cos{5x} \cdot (-5\sin{5x}) = -10\cos{5x}\sin{5x} = -5\sin{10x}$.

Ответ: $y' = -5\sin{10x}$

Задание 3

$y = \sin{3x} \cdot \cos{5x}$

Здесь нужно использовать правило произведения: $(uv)' = u'v + uv'$.

1. $u = \sin{3x}$, тогда $u' = \cos{3x} \cdot (3x)' = 3\cos{3x}$.

2. $v = \cos{5x}$, тогда $v' = -\sin{5x} \cdot (5x)' = -5\sin{5x}$.

3. Собираем все вместе:
   $y' = (3\cos{3x}) \cdot \cos{5x} + \sin{3x} \cdot (-5\sin{5x}) = 3\cos{3x}\cos{5x} - 5\sin{3x}\sin{5x}$.

Ответ: $y' = 3\cos{3x}\cos{5x} - 5\sin{3x}\sin{5x}$

Отлично, продолжим вычислять производные.

Задание 4

$y = (\tan{3x} + \cos{2x})^2$

1. Внешняя функция: $f(u) = u^2$, где $u = \tan{3x} + \cos{2x}$.
   Тогда $f'(u) = 2u = 2(\tan{3x} + \cos{2x})$.

2. Внутренняя функция: $g(x) = \tan{3x} + \cos{2x}$.
   Тогда $g'(x) = (\tan{3x})' + (\cos{2x})' = \frac{1}{\cos^2{3x}} \cdot (3x)' - \sin{2x} \cdot (2x)' = \frac{3}{\cos^2{3x}} - 2\sin{2x}$.

3. Собираем все вместе:
   $y' = 2(\tan{3x} + \cos{2x}) \cdot \left(\frac{3}{\cos^2{3x}} - 2\sin{2x}\right)$.

Ответ: $y' = 2(\tan{3x} + \cos{2x}) \left(\frac{3}{\cos^2{3x}} - 2\sin{2x}\right)$

Задание 5

$y = \cot^3{(x - 2x^2)}$

1. Внешняя функция: $f(u) = u^3$, где $u = \cot{(x - 2x^2)}$.
   Тогда $f'(u) = 3u^2 = 3\cot^2{(x - 2x^2)}$.

2. Внутренняя функция: $g(x) = \cot{(x - 2x^2)}$.
   Тогда $g'(x) = -\frac{1}{\sin^2{(x - 2x^2)}} \cdot (x - 2x^2)' = -\frac{1}{\sin^2{(x - 2x^2)}} \cdot (1 - 4x)$.

3. Собираем все вместе:
   $y' = 3\cot^2{(x - 2x^2)} \cdot \left(-\frac{1}{\sin^2{(x - 2x^2)}} \cdot (1 - 4x)\right) = -\frac{3(1 - 4x)\cot^2{(x - 2x^2)}}{\sin^2{(x - 2x^2)}}$.

Ответ: $y' = -\frac{3(1 - 4x)\cot^2{(x - 2x^2)}}{\sin^2{(x - 2x^2)}}$

Задание 6

$y = \sqrt[3]{\sin{3x}}$

1. Перепишем функцию: $y = (\sin{3x})^{\frac{1}{3}}$.

2. Внешняя функция: $f(u) = u^{\frac{1}{3}}$, где $u = \sin{3x}$.
   Тогда $f'(u) = \frac{1}{3}u^{-\frac{2}{3}} = \frac{1}{3}(\sin{3x})^{-\frac{2}{3}}$.

3. Внутренняя функция: $g(x) = \sin{3x}$.
   Тогда $g'(x) = \cos{3x} \cdot (3x)' = 3\cos{3x}$.

4. Собираем все вместе:
   $y' = \frac{1}{3}(\sin{3x})^{-\frac{2}{3}} \cdot 3\cos{3x} = \frac{\cos{3x}}{(\sin{3x})^{\frac{2}{3}}} = \frac{\cos{3x}}{\sqrt[3]{\sin^2{3x}}}$.

Ответ: $y' = \frac{\cos{3x}}{\sqrt[3]{\sin^2{3x}}}$

Ассистент: Конечно! Я учту ваше пожелание и не буду использовать csc, sec, tan, cot в решениях. Продолжаем решать оставшиеся задания.

Задание 7

$y = \sqrt{(x^2 - 3x + 2)}$

1. Перепишем функцию: $y = (x^2 - 3x + 2)^{\frac{1}{2}}$.

2. Внешняя функция: $f(u) = u^{\frac{1}{2}}$, где $u = x^2 - 3x + 2$.
   Тогда $f'(u) = \frac{1}{2}u^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2}(x^2 - 3x + 2)^{-\frac{1}{2}}$.

3. Внутренняя функция: $g(x) = x^2 - 3x + 2$.
   Тогда $g'(x) = 2x - 3$.

4. Собираем все вместе:
   $y' = \frac{1}{2}(x^2 - 3x + 2)^{-\frac{1}{2}} \cdot (2x - 3) = \frac{2x - 3}{2\sqrt{x^2 - 3x + 2}}$.

Ответ: $y' = \frac{2x - 3}{2\sqrt{x^2 - 3x + 2}}$

Задание 8

$y = \frac{\sin{5x}}{\cos{4x}}$

Здесь нужно использовать правило частного: $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

1. $u = \sin{5x}$, тогда $u' = \cos{5x} \cdot (5x)' = 5\cos{5x}$.

2. $v = \cos{4x}$, тогда $v' = -\sin{4x} \cdot (4x)' = -4\sin{4x}$.

3. Собираем все вместе:
   $y' = \frac{(5\cos{5x}) \cdot \cos{4x} - \sin{5x} \cdot (-4\sin{4x})}{\cos^2{4x}} = \frac{5\cos{5x}\cos{4x} + 4\sin{5x}\sin{4x}}{\cos^2{4x}}$.

Ответ: $y' = \frac{5\cos{5x}\cos{4x} + 4\sin{5x}\sin{4x}}{\cos^2{4x}}$

Задание 9

$y = \frac{e^{2x} - e^{-3x}}{\sqrt{x} + 1}$

Здесь также нужно использовать правило частного: $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

1. $u = e^{2x} - e^{-3x}$, тогда $u' = 2e^{2x} - (-3)e^{-3x} = 2e^{2x} + 3e^{-3x}$.

2. $v = \sqrt{x} + 1 = x^{\frac{1}{2}} + 1$, тогда $v' = \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$.

3. Собираем все вместе:
   $y' = \frac{(2e^{2x} + 3e^{-3x})(\sqrt{x} + 1) - (e^{2x} - e^{-3x})\left(\frac{1}{2\sqrt{x}}\right)}{(\sqrt{x} + 1)^2}$.

Ответ: $y' = \frac{(2e^{2x} + 3e^{-3x})(\sqrt{x} + 1) - (e^{2x} - e^{-3x})\left(\frac{1}{2\sqrt{x}}\right)}{(\sqrt{x} + 1)^2}$

Ассистент: Конечно! Я учту ваше пожелание и не буду использовать csc, sec, tan, cot в решениях. Продолжаем решать оставшиеся задания.

Задание 10

$y = \ln(x^4 + 3x - 2)$

1. Внешняя функция: $f(u) = \ln(u)$, где $u = x^4 + 3x - 2$.
   Тогда $f'(u) = \frac{1}{u} = \frac{1}{x^4 + 3x - 2}$.

2. Внутренняя функция: $g(x) = x^4 + 3x - 2$.
   Тогда $g'(x) = 4x^3 + 3$.

3. Собираем все вместе:
   $y' = \frac{1}{x^4 + 3x - 2} \cdot (4x^3 + 3) = \frac{4x^3 + 3}{x^4 + 3x - 2}$.

Ответ: $y' = \frac{4x^3 + 3}{x^4 + 3x - 2}$

Задание 11

$y = (\sin{4x} + 1)^5$

1. Внешняя функция: $f(u) = u^5$, где $u = \sin{4x} + 1$.
   Тогда $f'(u) = 5u^4 = 5(\sin{4x} + 1)^4$.

2. Внутренняя функция: $g(x) = \sin{4x} + 1$.
   Тогда $g'(x) = \cos{4x} \cdot (4x)' = 4\cos{4x}$.

3. Собираем все вместе:
   $y' = 5(\sin{4x} + 1)^4 \cdot 4\cos{4x} = 20\cos{4x}(\sin{4x} + 1)^4$.

Ответ: $y' = 20\cos{4x}(\sin{4x} + 1)^4$

Задание 12

$y = \frac{1}{\sqrt{(2x - \sin{3x})^3}}$

1. Перепишем функцию: $y = (2x - \sin{3x})^{-\frac{3}{2}}$.

2. Внешняя функция: $f(u) = u^{-\frac{3}{2}}$, где $u = 2x - \sin{3x}$.
   Тогда $f'(u) = -\frac{3}{2}u^{-\frac{5}{2}} = -\frac{3}{2}(2x - \sin{3x})^{-\frac{5}{2}}$.

3. Внутренняя функция: $g(x) = 2x - \sin{3x}$.
   Тогда $g'(x) = 2 - \cos{3x} \cdot (3x)' = 2 - 3\cos{3x}$.

4. Собираем все вместе:
   $y' = -\frac{3}{2}(2x - \sin{3x})^{-\frac{5}{2}} \cdot (2 - 3\cos{3x}) = -\frac{3(2 - 3\cos{3x})}{2(2x - \sin{3x})^{\frac{5}{2}}}$.

Ответ: $y' = -\frac{3(2 - 3\cos{3x})}{2(2x - \sin{3x})^{\frac{5}{2}}}$

Ассистент: Хорошо, продолжим решать оставшиеся задания, избегая csc, sec, tan, cot.

Задание 13

$y = \frac{\sin{\sqrt{x}} + 1}{\cos{\sqrt{x}} - 1}$

Здесь нужно использовать правило частного: $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

1. $u = \sin{\sqrt{x}} + 1$, тогда $u' = \cos{\sqrt{x}} \cdot (\sqrt{x})' = \cos{\sqrt{x}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{\cos{\sqrt{x}}}{2\sqrt{x}}$.

2. $v = \cos{\sqrt{x}} - 1$, тогда $v' = -\sin{\sqrt{x}} \cdot (\sqrt{x})' = -\sin{\sqrt{x}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = -\frac{\sin{\sqrt{x}}}{2\sqrt{x}}$.

3. Собираем все вместе:
   $y' = \frac{\frac{\cos{\sqrt{x}}}{2\sqrt{x}} \cdot (\cos{\sqrt{x}} - 1) - (\sin{\sqrt{x}} + 1) \cdot \left(-\frac{\sin{\sqrt{x}}}{2\sqrt{x}}\right)}{(\cos{\sqrt{x}} - 1)^2} = \frac{\frac{\cos^2{\sqrt{x}} - \cos{\sqrt{x}}}{2\sqrt{x}} + \frac{\sin^2{\sqrt{x}} + \sin{\sqrt{x}}}{2\sqrt{x}}}{(\cos{\sqrt{x}} - 1)^2} = \frac{\cos^2{\sqrt{x}} - \cos{\sqrt{x}} + \sin^2{\sqrt{x}} + \sin{\sqrt{x}}}{2\sqrt{x}(\cos{\sqrt{x}} - 1)^2} = \frac{1 - \cos{\sqrt{x}} + \sin{\sqrt{x}}}{2\sqrt{x}(\cos{\sqrt{x}} - 1)^2}$.

Ответ: $y' = \frac{1 - \cos{\sqrt{x}} + \sin{\sqrt{x}}}{2\sqrt{x}(\cos{\sqrt{x}} - 1)^2}$

Задание 14

$y = \frac{\sqrt{x^2} + 1}{\ln(1 - 2x)}$

Здесь также нужно использовать правило частного: $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

1. $u = \sqrt{x^2} + 1 = |x| + 1$. Если $x > 0$, то $u = x + 1$, и $u' = 1$. Если $x < 0$, то $u = -x + 1$, и $u' = -1$.
   Предположим, что $x > 0$, тогда $u' = 1$.

2. $v = \ln(1 - 2x)$, тогда $v' = \frac{1}{1 - 2x} \cdot (-2) = -\frac{2}{1 - 2x}$.

3. Собираем все вместе:
   $y' = \frac{1 \cdot \ln(1 - 2x) - (x + 1) \cdot \left(-\frac{2}{1 - 2x}\right)}{(\ln(1 - 2x))^2} = \frac{\ln(1 - 2x) + \frac{2(x + 1)}{1 - 2x}}{(\ln(1 - 2x))^2}$.

Ответ: $y' = \frac{\ln(1 - 2x) + \frac{2(x + 1)}{1 - 2x}}{(\ln(1 - 2x))^2}$

Задание 15

$y = \frac{1}{(1 + \cos{4x})^7} = (1 + \cos{4x})^{-7}$

1. Внешняя функция: $f(u) = u^{-7}$, где $u = 1 + \cos{4x}$.
   Тогда $f'(u) = -7u^{-8} = -7(1 + \cos{4x})^{-8}$.

2. Внутренняя функция: $g(x) = 1 + \cos{4x}$.
   Тогда $g'(x) = -\sin{4x} \cdot (4x)' = -4\sin{4x}$.

3. Собираем все вместе:
   $y' = -7(1 + \cos{4x})^{-8} \cdot (-4\sin{4x}) = \frac{28\sin{4x}}{(1 + \cos{4x})^8}$.

Ответ: $y' = \frac{28\sin{4x}}{(1 + \cos{4x})^8}$

Ассистент: Хорошо, продолжим решать оставшиеся задания, избегая csc, sec, tan, cot.

Задание 16

$y = \sin^2(x^3 - 3x)$

1. Внешняя функция: $f(u) = u^2$, где $u = \sin(x^3 - 3x)$.
   Тогда $f'(u) = 2u = 2\sin(x^3 - 3x)$.

2. Внутренняя функция: $g(x) = \sin(x^3 - 3x)$.
   Тогда $g'(x) = \cos(x^3 - 3x) \cdot (x^3 - 3x)' = \cos(x^3 - 3x) \cdot (3x^2 - 3)$.

3. Собираем все вместе:
   $y' = 2\sin(x^3 - 3x) \cdot \cos(x^3 - 3x) \cdot (3x^2 - 3) = (3x^2 - 3) \cdot 2\sin(x^3 - 3x)\cos(x^3 - 3x)$.
   Используем формулу двойного угла: $2\sin{\alpha}\cos{\alpha} = \sin{2\alpha}$.
   $y' = (3x^2 - 3)\sin(2(x^3 - 3x)) = 3(x^2 - 1)\sin(2x^3 - 6x)$.

Ответ: $y' = 3(x^2 - 1)\sin(2x^3 - 6x)$

Задание 17

$y = \cos^3{\sqrt{x}}$

1. Внешняя функция: $f(u) = u^3$, где $u = \cos{\sqrt{x}}$.
   Тогда $f'(u) = 3u^2 = 3\cos^2{\sqrt{x}}$.

2. Внутренняя функция: $g(x) = \cos{\sqrt{x}}$.
   Тогда $g'(x) = -\sin{\sqrt{x}} \cdot (\sqrt{x})' = -\sin{\sqrt{x}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = -\frac{\sin{\sqrt{x}}}{2\sqrt{x}}$.

3. Собираем все вместе:
   $y' = 3\cos^2{\sqrt{x}} \cdot \left(-\frac{\sin{\sqrt{x}}}{2\sqrt{x}}\right) = -\frac{3\cos^2{\sqrt{x}}\sin{\sqrt{x}}}{2\sqrt{x}}$.

Ответ: $y' = -\frac{3\cos^2{\sqrt{x}}\sin{\sqrt{x}}}{2\sqrt{x}}$

Задание 18

$y = \sin^3(x^2) \cdot \cos(x^3)$

Здесь нужно использовать правило произведения: $(uv)' = u'v + uv'$.

1. $u = \sin^3(x^2)$, тогда $u' = 3\sin^2(x^2) \cdot \cos(x^2) \cdot (x^2)' = 3\sin^2(x^2) \cos(x^2) \cdot 2x = 6x\sin^2(x^2)\cos(x^2)$.

2. $v = \cos(x^3)$, тогда $v' = -\sin(x^3) \cdot (x^3)' = -\sin(x^3) \cdot 3x^2 = -3x^2\sin(x^3)$.

3. Собираем все вместе:
   $y' = (6x\sin^2(x^2)\cos(x^2)) \cdot \cos(x^3) + \sin^3(x^2) \cdot (-3x^2\sin(x^3)) = 6x\sin^2(x^2)\cos(x^2)\cos(x^3) - 3x^2\sin^3(x^2)\sin(x^3)$.

Ответ: $y' = 6x\sin^2(x^2)\cos(x^2)\cos(x^3) - 3x^2\sin^3(x^2)\sin(x^3)$

Ассистент: Ассистент: Хорошо, продолжим решать оставшиеся задания, избегая csc, sec, tan, cot.

Задание 19

$y = e^{\sin^2(x)}$

1. Внешняя функция: $f(u) = e^u$, где $u = \sin^2(x)$.
   Тогда $f'(u) = e^u = e^{\sin^2(x)}$.

2. Внутренняя функция: $g(x) = \sin^2(x)$.
   Тогда $g'(x) = 2\sin(x) \cdot \cos(x) = \sin(2x)$.

3. Собираем все вместе:
   $y' = e^{\sin^2(x)} \cdot \sin(2x)$.

Ответ: $y' = \sin(2x)e^{\sin^2(x)}$

Задание 20

$y = \ln(\cos(5x))$

1. Внешняя функция: $f(u) = \ln(u)$, где $u = \cos(5x)$.
   Тогда $f'(u) = \frac{1}{u} = \frac{1}{\cos(5x)}$.

2. Внутренняя функция: $g(x) = \cos(5x)$.
   Тогда $g'(x) = -\sin(5x) \cdot (5x)' = -5\sin(5x)$.

3. Собираем все вместе:
   $y' = \frac{1}{\cos(5x)} \cdot (-5\sin(5x)) = -5\frac{\sin(5x)}{\cos(5x)}$.

Ответ: $y' = -5\frac{\sin(5x)}{\cos(5x)}$

Задание 21

$y = \sqrt{\sin(2x) + x^3}$

1. Перепишем функцию: $y = (\sin(2x) + x^3)^{\frac{1}{2}}$.

2. Внешняя функция: $f(u) = u^{\frac{1}{2}}$, где $u = \sin(2x) + x^3$.
   Тогда $f'(u) = \frac{1}{2}u^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2}(\sin(2x) + x^3)^{-\frac{1}{2}}$.

3. Внутренняя функция: $g(x) = \sin(2x) + x^3$.
   Тогда $g'(x) = \cos(2x) \cdot (2x)' + 3x^2 = 2\cos(2x) + 3x^2$.

4. Собираем все вместе:
   $y' = \frac{1}{2}(\sin(2x) + x^3)^{-\frac{1}{2}} \cdot (2\cos(2x) + 3x^2) = \frac{2\cos(2x) + 3x^2}{2\sqrt{\sin(2x) + x^3}}$.

Ответ: $y' = \frac{2\cos(2x) + 3x^2}{2\sqrt{\sin(2x) + x^3}}$

Ассистент: Ассистент: Хорошо, продолжим решать оставшиеся задания, избегая csc, sec, tan, cot.

Задание 22

$y = \ln^5(x^2 + 1)$

1. Внешняя функция: $f(u) = u^5$, где $u = \ln(x^2 + 1)$.
   Тогда $f'(u) = 5u^4 = 5\ln^4(x^2 + 1)$.

2. Внутренняя функция: $g(x) = \ln(x^2 + 1)$.
   Тогда $g'(x) = \frac{1}{x^2 + 1} \cdot (x^2 + 1)' = \frac{2x}{x^2 + 1}$.

3. Собираем все вместе:
   $y' = 5\ln^4(x^2 + 1) \cdot \frac{2x}{x^2 + 1} = \frac{10x\ln^4(x^2 + 1)}{x^2 + 1}$.

Ответ: $y' = \frac{10x\ln^4(x^2 + 1)}{x^2 + 1}$

Задание 23

$y = e^{\sqrt{\cos{x}}}$

1. Внешняя функция: $f(u) = e^u$, где $u = \sqrt{\cos{x}}$.
   Тогда $f'(u) = e^u = e^{\sqrt{\cos{x}}}$.

2. Внутренняя функция: $g(x) = \sqrt{\cos{x}} = (\cos{x})^{\frac{1}{2}}$.
   Тогда $g'(x) = \frac{1}{2}(\cos{x})^{-\frac{1}{2}} \cdot (-\sin{x}) = -\frac{\sin{x}}{2\sqrt{\cos{x}}}$.

3. Собираем все вместе:
   $y' = e^{\sqrt{\cos{x}}} \cdot \left(-\frac{\sin{x}}{2\sqrt{\cos{x}}}\right) = -\frac{\sin{x}e^{\sqrt{\cos{x}}}}{2\sqrt{\cos{x}}}$.

Ответ: $y' = -\frac{\sin{x}e^{\sqrt{\cos{x}}}}{2\sqrt{\cos{x}}}$

Задание 24

$y = \sqrt{x + \sqrt{x + \sqrt{x}}}$

1. Перепишем функцию: $y = (x + (x + x^{\frac{1}{2}})^{\frac{1}{2}})^{\frac{1}{2}}$.

2. Внешняя функция: $f(u) = u^{\frac{1}{2}}$, где $u = x + (x + x^{\frac{1}{2}})^{\frac{1}{2}}$.
   Тогда $f'(u) = \frac{1}{2}u^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2}(x + (x + x^{\frac{1}{2}})^{\frac{1}{2}})^{-\frac{1}{2}}$.

3. Внутренняя функция: $g(x) = x + (x + x^{\frac{1}{2}})^{\frac{1}{2}}$.
   Тогда $g'(x) = 1 + \frac{1}{2}(x + x^{\frac{1}{2}})^{-\frac{1}{2}} \cdot (1 + \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}) = 1 + \frac{1 + \frac{1}{2\sqrt{x}}}{2\sqrt{x + \sqrt{x}}} = 1 + \frac{1}{2\sqrt{x + \sqrt{x}}} + \frac{1}{4\sqrt{x}\sqrt{x + \sqrt{x}}}$.

4. Собираем все вместе:
   $y' = \frac{1}{2\sqrt{x + \sqrt{x + \sqrt{x}}}} \cdot \left(1 + \frac{1}{2\sqrt{x + \sqrt{x}}} + \frac{1}{4\sqrt{x}\sqrt{x + \sqrt{x}}}\right)$.

Ответ: $y' = \frac{1 + \frac{1}{2\sqrt{x + \sqrt{x}}} + \frac{1}{4\sqrt{x}\sqrt{x + \sqrt{x}}}}{2\sqrt{x + \sqrt{x + \sqrt{x}}}}$

Ассистент: Ассистент: Ассистент: Хорошо, продолжим решать оставшиеся задания, избегая csc, sec, tan, cot.

Задание 25

$y = \sin(\cos(\ln x))$

1. Внешняя функция: $f(u) = \sin(u)$, где $u = \cos(\ln x)$.
   Тогда $f'(u) = \cos(u) = \cos(\cos(\ln x))$.

2. Внутренняя функция: $g(x) = \cos(\ln x)$.
   Тогда $g'(x) = -\sin(\ln x) \cdot (\ln x)' = -\sin(\ln x) \cdot \frac{1}{x} = -\frac{\sin(\ln x)}{x}$.

3. Собираем все вместе:
   $y' = \cos(\cos(\ln x)) \cdot \left(-\frac{\sin(\ln x)}{x}\right) = -\frac{\sin(\ln x)\cos(\cos(\ln x))}{x}$.

Ответ: $y' = -\frac{\sin(\ln x)\cos(\cos(\ln x))}{x}$

Задание 26

$y = \sqrt[3]{\frac{x^2 + 1}{x^2 - 1}}$

1. Перепишем функцию: $y = \left(\frac{x^2 + 1}{x^2 - 1}\right)^{\frac{1}{3}}$.

2. Внешняя функция: $f(u) = u^{\frac{1}{3}}$, где $u = \frac{x^2 + 1}{x^2 - 1}$.
   Тогда $f'(u) = \frac{1}{3}u^{-\frac{2}{3}} = \frac{1}{3}\left(\frac{x^2 + 1}{x^2 - 1}\right)^{-\frac{2}{3}}$.

3. Внутренняя функция: $g(x) = \frac{x^2 + 1}{x^2 - 1}$.
   Используем правило частного: $g'(x) = \frac{(2x)(x^2 - 1) - (x^2 + 1)(2x)}{(x^2 - 1)^2} = \frac{2x^3 - 2x - 2x^3 - 2x}{(x^2 - 1)^2} = \frac{-4x}{(x^2 - 1)^2}$.

4. Собираем все вместе:
   $y' = \frac{1}{3}\left(\frac{x^2 + 1}{x^2 - 1}\right)^{-\frac{2}{3}} \cdot \frac{-4x}{(x^2 - 1)^2} = \frac{-4x}{3(x^2 - 1)^2} \cdot \left(\frac{x^2 - 1}{x^2 + 1}\right)^{\frac{2}{3}} = \frac{-4x}{3(x^2 - 1)^{\frac{4}{3}}(x^2 + 1)^{\frac{2}{3}}}$.

Ответ: $y' = \frac{-4x}{3(x^2 - 1)^{\frac{4}{3}}(x^2 + 1)^{\frac{2}{3}}}$

Задание 27

$y = \ln(\sqrt{x^2 + 1} - x)$

1. Внешняя функция: $f(u) = \ln(u)$, где $u = \sqrt{x^2 + 1} - x$.
   Тогда $f'(u) = \frac{1}{u} = \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1} - x}$.

2. Внутренняя функция: $g(x) = \sqrt{x^2 + 1} - x = (x^2 + 1)^{\frac{1}{2}} - x$.
   Тогда $g'(x) = \frac{1}{2}(x^2 + 1)^{-\frac{1}{2}} \cdot (2x) - 1 = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}} - 1 = \frac{x - \sqrt{x^2 + 1}}{\sqrt{x^2 + 1}}$.

3. Собираем все вместе:
   $y' = \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1} - x} \cdot \frac{x - \sqrt{x^2 + 1}}{\sqrt{x^2 + 1}} = \frac{x - \sqrt{x^2 + 1}}{(\sqrt{x^2 + 1} - x)\sqrt{x^2 + 1}} = -\frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}}$.

Ответ: $y' = -\frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}}$

Ассистент: Ассистент: Ассистент: Ассистент: Хорошо, продолжим решать оставшиеся задания, избегая csc, sec, tan, cot.

Задание 28

$y = \ln(\frac{x + \sqrt{x^2 + 1}}{x})$

1. Преобразуем функцию, используя свойства логарифмов:
   $y = \ln(x + \sqrt{x^2 + 1}) - \ln(x)$.

2. Найдем производную каждого слагаемого:

   • $(\ln(x + \sqrt{x^2 + 1}))' = \frac{1}{x + \sqrt{x^2 + 1}} \cdot (1 + \frac{2x}{2\sqrt{x^2 + 1}}) = \frac{1}{x + \sqrt{x^2 + 1}} \cdot (1 + \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}) = \frac{1}{x + \sqrt{x^2 + 1}} \cdot \frac{\sqrt{x^2 + 1} + x}{\sqrt{x^2 + 1}} = \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}}$.
   • $(\ln(x))' = \frac{1}{x}$.

3. Собираем все вместе:
   $y' = \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}} - \frac{1}{x}$.

Ответ: $y' = \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}} - \frac{1}{x}$

Задание 29

$y = \ln(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x - 1})$

1. Внешняя функция: $f(u) = \ln(u)$, где $u = \sqrt{x + 1} - \sqrt{x - 1}$.
   Тогда $f'(u) = \frac{1}{u} = \frac{1}{\sqrt{x + 1} - \sqrt{x - 1}}$.

2. Внутренняя функция: $g(x) = \sqrt{x + 1} - \sqrt{x - 1} = (x + 1)^{\frac{1}{2}} - (x - 1)^{\frac{1}{2}}$.
   Тогда $g'(x) = \frac{1}{2}(x + 1)^{-\frac{1}{2}} - \frac{1}{2}(x - 1)^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2\sqrt{x + 1}} - \frac{1}{2\sqrt{x - 1}} = \frac{\sqrt{x - 1} - \sqrt{x + 1}}{2\sqrt{(x + 1)(x - 1)}} = \frac{\sqrt{x - 1} - \sqrt{x + 1}}{2\sqrt{x^2 - 1}}$.

3. Собираем все вместе:
   $y' = \frac{1}{\sqrt{x + 1} - \sqrt{x - 1}} \cdot \frac{\sqrt{x - 1} - \sqrt{x + 1}}{2\sqrt{x^2 - 1}} = \frac{\sqrt{x - 1} - \sqrt{x + 1}}{(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x - 1})2\sqrt{x^2 - 1}} = -\frac{1}{2\sqrt{x^2 - 1}}$.

Ответ: $y' = -\frac{1}{2\sqrt{x^2 - 1}}$

Задание 30

$y = \ln(\frac{1 + \sqrt{1 - x^2}}{x})$

1. Преобразуем функцию, используя свойства логарифмов:
   $y = \ln(1 + \sqrt{1 - x^2}) - \ln(x)$.

2. Найдем производную каждого слагаемого:

   • $(\ln(1 + \sqrt{1 - x^2}))' = \frac{1}{1 + \sqrt{1 - x^2}} \cdot (\frac{-2x}{2\sqrt{1 - x^2}}) = \frac{1}{1 + \sqrt{1 - x^2}} \cdot \frac{-x}{\sqrt{1 - x^2}} = \frac{-x}{\sqrt{1 - x^2}(1 + \sqrt{1 - x^2})}$.
   • $(\ln(x))' = \frac{1}{x}$.

3. Собираем все вместе:
   $y' = \frac{-x}{\sqrt{1 - x^2}(1 + \sqrt{1 - x^2})} - \frac{1}{x} = \frac{-x^2 - x\sqrt{1 - x^2} - \sqrt{1 - x^2} - (1 - x^2)}{x\sqrt{1 - x^2}(1 + \sqrt{1 - x^2})} = \frac{-1 - x\sqrt{1 - x^2} - \sqrt{1 - x^2}}{x\sqrt{1 - x^2}(1 + \sqrt{1 - x^2})}$.

Ответ: $y' = \frac{-1 - x\sqrt{1 - x^2} - \sqrt{1 - x^2}}{x\sqrt{1 - x^2}(1 + \sqrt{1 - x^2})}$

Ассистент: Ассистент: Ассистент: Ассистент: Ассистент: ## Задание 5
$y = \sin(3x + 5)$

1. Внешняя функция: $f(u) = \sin(u)$, где $u = 3x + 5$.
   Тогда $f'(u) = \cos(u) = \cos(3x + 5)$.

2. Внутренняя функция: $g(x) = 3x + 5$.
   Тогда $g'(x) = 3$.

3. Собираем все вместе:
   $y' = \cos(3x + 5) \cdot 3 = 3\cos(3x + 5)$.

Ответ: $y' = 3\cos(3x + 5)$