Помощь в решении задач на сложные производные функций

Здравствуйте! Давайте найдем производные от заданных сложных функций. Начнем с первых трех заданий.

Задание 1

\(y = \sin^3{\frac{3x}{4}}\)

Чтобы найти производную, воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции:
\((f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)\).

1. Внешняя функция: \(f(u) = u^3\), где \(u = \sin{\frac{3x}{4}}\).
   Тогда \(f'(u) = 3u^2 = 3\sin^2{\frac{3x}{4}}\).

2. Внутренняя функция: \(g(x) = \sin{\frac{3x}{4}}\).
   Тогда \(g'(x) = \cos{\frac{3x}{4}} \cdot \left(\frac{3x}{4}\right)' = \cos{\frac{3x}{4}} \cdot \frac{3}{4}\).

3. Собираем все вместе:
   \(y' = 3\sin^2{\frac{3x}{4}} \cdot \cos{\frac{3x}{4}} \cdot \frac{3}{4} = \frac{9}{4} \sin^2{\frac{3x}{4}} \cos{\frac{3x}{4}}\).

Ответ: \(y' = \frac{9}{4} \sin^2{\frac{3x}{4}} \cos{\frac{3x}{4}}\)

Задание 2

\(y = \cos^2{5x}\)

1. Внешняя функция: \(f(u) = u^2\), где \(u = \cos{5x}\).
   Тогда \(f'(u) = 2u = 2\cos{5x}\).

2. Внутренняя функция: \(g(x) = \cos{5x}\).
   Тогда \(g'(x) = -\sin{5x} \cdot (5x)' = -\sin{5x} \cdot 5 = -5\sin{5x}\).

3. Собираем все вместе:
   \(y' = 2\cos{5x} \cdot (-5\sin{5x}) = -10\cos{5x}\sin{5x} = -5\sin{10x}\).

Ответ: \(y' = -5\sin{10x}\)

Задание 3

\(y = \sin{3x} \cdot \cos{5x}\)

Здесь нужно использовать правило произведения: \((uv)' = u'v + uv'\).

1. \(u = \sin{3x}\), тогда \(u' = \cos{3x} \cdot (3x)' = 3\cos{3x}\).

2. \(v = \cos{5x}\), тогда \(v' = -\sin{5x} \cdot (5x)' = -5\sin{5x}\).

3. Собираем все вместе:
   \(y' = (3\cos{3x}) \cdot \cos{5x} + \sin{3x} \cdot (-5\sin{5x}) = 3\cos{3x}\cos{5x} - 5\sin{3x}\sin{5x}\).

Ответ: \(y' = 3\cos{3x}\cos{5x} - 5\sin{3x}\sin{5x}\)

Отлично, продолжим вычислять производные.

Задание 4

\(y = (\tan{3x} + \cos{2x})^2\)

1. Внешняя функция: \(f(u) = u^2\), где \(u = \tan{3x} + \cos{2x}\).
   Тогда \(f'(u) = 2u = 2(\tan{3x} + \cos{2x})\).

2. Внутренняя функция: \(g(x) = \tan{3x} + \cos{2x}\).
   Тогда \(g'(x) = (\tan{3x})' + (\cos{2x})' = \frac{1}{\cos^2{3x}} \cdot (3x)' - \sin{2x} \cdot (2x)' = \frac{3}{\cos^2{3x}} - 2\sin{2x}\).

3. Собираем все вместе:
   \(y' = 2(\tan{3x} + \cos{2x}) \cdot \left(\frac{3}{\cos^2{3x}} - 2\sin{2x}\right)\).

Ответ: \(y' = 2(\tan{3x} + \cos{2x}) \left(\frac{3}{\cos^2{3x}} - 2\sin{2x}\right)\)

Задание 5

\(y = \cot^3{(x - 2x^2)}\)

1. Внешняя функция: \(f(u) = u^3\), где \(u = \cot{(x - 2x^2)}\).
   Тогда \(f'(u) = 3u^2 = 3\cot^2{(x - 2x^2)}\).

2. Внутренняя функция: \(g(x) = \cot{(x - 2x^2)}\).
   Тогда \(g'(x) = -\frac{1}{\sin^2{(x - 2x^2)}} \cdot (x - 2x^2)' = -\frac{1}{\sin^2{(x - 2x^2)}} \cdot (1 - 4x)\).

3. Собираем все вместе:
   \(y' = 3\cot^2{(x - 2x^2)} \cdot \left(-\frac{1}{\sin^2{(x - 2x^2)}} \cdot (1 - 4x)\right) = -\frac{3(1 - 4x)\cot^2{(x - 2x^2)}}{\sin^2{(x - 2x^2)}}\).

Ответ: \(y' = -\frac{3(1 - 4x)\cot^2{(x - 2x^2)}}{\sin^2{(x - 2x^2)}}\)

Задание 6

\(y = \sqrt[3]{\sin{3x}}\)

1. Перепишем функцию: \(y = (\sin{3x})^{\frac{1}{3}}\).

2. Внешняя функция: \(f(u) = u^{\frac{1}{3}}\), где \(u = \sin{3x}\).
   Тогда \(f'(u) = \frac{1}{3}u^{-\frac{2}{3}} = \frac{1}{3}(\sin{3x})^{-\frac{2}{3}}\).

3. Внутренняя функция: \(g(x) = \sin{3x}\).
   Тогда \(g'(x) = \cos{3x} \cdot (3x)' = 3\cos{3x}\).

4. Собираем все вместе:
   \(y' = \frac{1}{3}(\sin{3x})^{-\frac{2}{3}} \cdot 3\cos{3x} = \frac{\cos{3x}}{(\sin{3x})^{\frac{2}{3}}} = \frac{\cos{3x}}{\sqrt[3]{\sin^2{3x}}}\).

Ответ: \(y' = \frac{\cos{3x}}{\sqrt[3]{\sin^2{3x}}}\)

Ассистент: Конечно! Я учту ваше пожелание и не буду использовать csc, sec, tan, cot в решениях. Продолжаем решать оставшиеся задания.

Задание 7

\(y = \sqrt{(x^2 - 3x + 2)}\)

1. Перепишем функцию: \(y = (x^2 - 3x + 2)^{\frac{1}{2}}\).

2. Внешняя функция: \(f(u) = u^{\frac{1}{2}}\), где \(u = x^2 - 3x + 2\).
   Тогда \(f'(u) = \frac{1}{2}u^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2}(x^2 - 3x + 2)^{-\frac{1}{2}}\).

3. Внутренняя функция: \(g(x) = x^2 - 3x + 2\).
   Тогда \(g'(x) = 2x - 3\).

4. Собираем все вместе:
   \(y' = \frac{1}{2}(x^2 - 3x + 2)^{-\frac{1}{2}} \cdot (2x - 3) = \frac{2x - 3}{2\sqrt{x^2 - 3x + 2}}\).

Ответ: \(y' = \frac{2x - 3}{2\sqrt{x^2 - 3x + 2}}\)

Задание 8

\(y = \frac{\sin{5x}}{\cos{4x}}\)

Здесь нужно использовать правило частного: \(\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}\).

1. \(u = \sin{5x}\), тогда \(u' = \cos{5x} \cdot (5x)' = 5\cos{5x}\).

2. \(v = \cos{4x}\), тогда \(v' = -\sin{4x} \cdot (4x)' = -4\sin{4x}\).

3. Собираем все вместе:
   \(y' = \frac{(5\cos{5x}) \cdot \cos{4x} - \sin{5x} \cdot (-4\sin{4x})}{\cos^2{4x}} = \frac{5\cos{5x}\cos{4x} + 4\sin{5x}\sin{4x}}{\cos^2{4x}}\).

Ответ: \(y' = \frac{5\cos{5x}\cos{4x} + 4\sin{5x}\sin{4x}}{\cos^2{4x}}\)

Задание 9

\(y = \frac{e^{2x} - e^{-3x}}{\sqrt{x} + 1}\)

Здесь также нужно использовать правило частного: \(\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}\).

1. \(u = e^{2x} - e^{-3x}\), тогда \(u' = 2e^{2x} - (-3)e^{-3x} = 2e^{2x} + 3e^{-3x}\).

2. \(v = \sqrt{x} + 1 = x^{\frac{1}{2}} + 1\), тогда \(v' = \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2\sqrt{x}}\).

3. Собираем все вместе:
   \(y' = \frac{(2e^{2x} + 3e^{-3x})(\sqrt{x} + 1) - (e^{2x} - e^{-3x})\left(\frac{1}{2\sqrt{x}}\right)}{(\sqrt{x} + 1)^2}\).

Ответ: \(y' = \frac{(2e^{2x} + 3e^{-3x})(\sqrt{x} + 1) - (e^{2x} - e^{-3x})\left(\frac{1}{2\sqrt{x}}\right)}{(\sqrt{x} + 1)^2}\)

Ассистент: Конечно! Я учту ваше пожелание и не буду использовать csc, sec, tan, cot в решениях. Продолжаем решать оставшиеся задания.

Задание 10

\(y = \ln(x^4 + 3x - 2)\)

1. Внешняя функция: \(f(u) = \ln(u)\), где \(u = x^4 + 3x - 2\).
   Тогда \(f'(u) = \frac{1}{u} = \frac{1}{x^4 + 3x - 2}\).

2. Внутренняя функция: \(g(x) = x^4 + 3x - 2\).
   Тогда \(g'(x) = 4x^3 + 3\).

3. Собираем все вместе:
   \(y' = \frac{1}{x^4 + 3x - 2} \cdot (4x^3 + 3) = \frac{4x^3 + 3}{x^4 + 3x - 2}\).

Ответ: \(y' = \frac{4x^3 + 3}{x^4 + 3x - 2}\)

Задание 11

\(y = (\sin{4x} + 1)^5\)

1. Внешняя функция: \(f(u) = u^5\), где \(u = \sin{4x} + 1\).
   Тогда \(f'(u) = 5u^4 = 5(\sin{4x} + 1)^4\).

2. Внутренняя функция: \(g(x) = \sin{4x} + 1\).
   Тогда \(g'(x) = \cos{4x} \cdot (4x)' = 4\cos{4x}\).

3. Собираем все вместе:
   \(y' = 5(\sin{4x} + 1)^4 \cdot 4\cos{4x} = 20\cos{4x}(\sin{4x} + 1)^4\).

Ответ: \(y' = 20\cos{4x}(\sin{4x} + 1)^4\)

Задание 12

\(y = \frac{1}{\sqrt{(2x - \sin{3x})^3}}\)

1. Перепишем функцию: \(y = (2x - \sin{3x})^{-\frac{3}{2}}\).

2. Внешняя функция: \(f(u) = u^{-\frac{3}{2}}\), где \(u = 2x - \sin{3x}\).
   Тогда \(f'(u) = -\frac{3}{2}u^{-\frac{5}{2}} = -\frac{3}{2}(2x - \sin{3x})^{-\frac{5}{2}}\).

3. Внутренняя функция: \(g(x) = 2x - \sin{3x}\).
   Тогда \(g'(x) = 2 - \cos{3x} \cdot (3x)' = 2 - 3\cos{3x}\).

4. Собираем все вместе:
   \(y' = -\frac{3}{2}(2x - \sin{3x})^{-\frac{5}{2}} \cdot (2 - 3\cos{3x}) = -\frac{3(2 - 3\cos{3x})}{2(2x - \sin{3x})^{\frac{5}{2}}}\).

Ответ: \(y' = -\frac{3(2 - 3\cos{3x})}{2(2x - \sin{3x})^{\frac{5}{2}}}\)

Ассистент: Хорошо, продолжим решать оставшиеся задания, избегая csc, sec, tan, cot.

Задание 13

\(y = \frac{\sin{\sqrt{x}} + 1}{\cos{\sqrt{x}} - 1}\)

Здесь нужно использовать правило частного: \(\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}\).

1. \(u = \sin{\sqrt{x}} + 1\), тогда \(u' = \cos{\sqrt{x}} \cdot (\sqrt{x})' = \cos{\sqrt{x}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{\cos{\sqrt{x}}}{2\sqrt{x}}\).

2. \(v = \cos{\sqrt{x}} - 1\), тогда \(v' = -\sin{\sqrt{x}} \cdot (\sqrt{x})' = -\sin{\sqrt{x}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = -\frac{\sin{\sqrt{x}}}{2\sqrt{x}}\).

3. Собираем все вместе:
   \(y' = \frac{\frac{\cos{\sqrt{x}}}{2\sqrt{x}} \cdot (\cos{\sqrt{x}} - 1) - (\sin{\sqrt{x}} + 1) \cdot \left(-\frac{\sin{\sqrt{x}}}{2\sqrt{x}}\right)}{(\cos{\sqrt{x}} - 1)^2} = \frac{\frac{\cos^2{\sqrt{x}} - \cos{\sqrt{x}}}{2\sqrt{x}} + \frac{\sin^2{\sqrt{x}} + \sin{\sqrt{x}}}{2\sqrt{x}}}{(\cos{\sqrt{x}} - 1)^2} = \frac{\cos^2{\sqrt{x}} - \cos{\sqrt{x}} + \sin^2{\sqrt{x}} + \sin{\sqrt{x}}}{2\sqrt{x}(\cos{\sqrt{x}} - 1)^2} = \frac{1 - \cos{\sqrt{x}} + \sin{\sqrt{x}}}{2\sqrt{x}(\cos{\sqrt{x}} - 1)^2}\).

Ответ: \(y' = \frac{1 - \cos{\sqrt{x}} + \sin{\sqrt{x}}}{2\sqrt{x}(\cos{\sqrt{x}} - 1)^2}\)

Задание 14

\(y = \frac{\sqrt{x^2} + 1}{\ln(1 - 2x)}\)

Здесь также нужно использовать правило частного: \(\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}\).

1. \(u = \sqrt{x^2} + 1 = |x| + 1\). Если \(x > 0\), то \(u = x + 1\), и \(u' = 1\). Если \(x < 0\), то \(u = -x + 1\), и \(u' = -1\).
   Предположим, что \(x > 0\), тогда \(u' = 1\).

2. \(v = \ln(1 - 2x)\), тогда \(v' = \frac{1}{1 - 2x} \cdot (-2) = -\frac{2}{1 - 2x}\).

3. Собираем все вместе:
   \(y' = \frac{1 \cdot \ln(1 - 2x) - (x + 1) \cdot \left(-\frac{2}{1 - 2x}\right)}{(\ln(1 - 2x))^2} = \frac{\ln(1 - 2x) + \frac{2(x + 1)}{1 - 2x}}{(\ln(1 - 2x))^2}\).

Ответ: \(y' = \frac{\ln(1 - 2x) + \frac{2(x + 1)}{1 - 2x}}{(\ln(1 - 2x))^2}\)

Задание 15

\(y = \frac{1}{(1 + \cos{4x})^7} = (1 + \cos{4x})^{-7}\)

1. Внешняя функция: \(f(u) = u^{-7}\), где \(u = 1 + \cos{4x}\).
   Тогда \(f'(u) = -7u^{-8} = -7(1 + \cos{4x})^{-8}\).

2. Внутренняя функция: \(g(x) = 1 + \cos{4x}\).
   Тогда \(g'(x) = -\sin{4x} \cdot (4x)' = -4\sin{4x}\).

3. Собираем все вместе:
   \(y' = -7(1 + \cos{4x})^{-8} \cdot (-4\sin{4x}) = \frac{28\sin{4x}}{(1 + \cos{4x})^8}\).

Ответ: \(y' = \frac{28\sin{4x}}{(1 + \cos{4x})^8}\)

Ассистент: Хорошо, продолжим решать оставшиеся задания, избегая csc, sec, tan, cot.

Задание 16

\(y = \sin^2(x^3 - 3x)\)

1. Внешняя функция: \(f(u) = u^2\), где \(u = \sin(x^3 - 3x)\).
   Тогда \(f'(u) = 2u = 2\sin(x^3 - 3x)\).

2. Внутренняя функция: \(g(x) = \sin(x^3 - 3x)\).
   Тогда \(g'(x) = \cos(x^3 - 3x) \cdot (x^3 - 3x)' = \cos(x^3 - 3x) \cdot (3x^2 - 3)\).

3. Собираем все вместе:
   \(y' = 2\sin(x^3 - 3x) \cdot \cos(x^3 - 3x) \cdot (3x^2 - 3) = (3x^2 - 3) \cdot 2\sin(x^3 - 3x)\cos(x^3 - 3x)\).
   Используем формулу двойного угла: \(2\sin{\alpha}\cos{\alpha} = \sin{2\alpha}\).
   \(y' = (3x^2 - 3)\sin(2(x^3 - 3x)) = 3(x^2 - 1)\sin(2x^3 - 6x)\).

Ответ: \(y' = 3(x^2 - 1)\sin(2x^3 - 6x)\)

Задание 17

\(y = \cos^3{\sqrt{x}}\)

1. Внешняя функция: \(f(u) = u^3\), где \(u = \cos{\sqrt{x}}\).
   Тогда \(f'(u) = 3u^2 = 3\cos^2{\sqrt{x}}\).

2. Внутренняя функция: \(g(x) = \cos{\sqrt{x}}\).
   Тогда \(g'(x) = -\sin{\sqrt{x}} \cdot (\sqrt{x})' = -\sin{\sqrt{x}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = -\frac{\sin{\sqrt{x}}}{2\sqrt{x}}\).

3. Собираем все вместе:
   \(y' = 3\cos^2{\sqrt{x}} \cdot \left(-\frac{\sin{\sqrt{x}}}{2\sqrt{x}}\right) = -\frac{3\cos^2{\sqrt{x}}\sin{\sqrt{x}}}{2\sqrt{x}}\).

Ответ: \(y' = -\frac{3\cos^2{\sqrt{x}}\sin{\sqrt{x}}}{2\sqrt{x}}\)

Задание 18

\(y = \sin^3(x^2) \cdot \cos(x^3)\)

Здесь нужно использовать правило произведения: \((uv)' = u'v + uv'\).

1. \(u = \sin^3(x^2)\), тогда \(u' = 3\sin^2(x^2) \cdot \cos(x^2) \cdot (x^2)' = 3\sin^2(x^2) \cos(x^2) \cdot 2x = 6x\sin^2(x^2)\cos(x^2)\).

2. \(v = \cos(x^3)\), тогда \(v' = -\sin(x^3) \cdot (x^3)' = -\sin(x^3) \cdot 3x^2 = -3x^2\sin(x^3)\).

3. Собираем все вместе:
   \(y' = (6x\sin^2(x^2)\cos(x^2)) \cdot \cos(x^3) + \sin^3(x^2) \cdot (-3x^2\sin(x^3)) = 6x\sin^2(x^2)\cos(x^2)\cos(x^3) - 3x^2\sin^3(x^2)\sin(x^3)\).

Ответ: \(y' = 6x\sin^2(x^2)\cos(x^2)\cos(x^3) - 3x^2\sin^3(x^2)\sin(x^3)\)

Ассистент: Ассистент: Хорошо, продолжим решать оставшиеся задания, избегая csc, sec, tan, cot.

Задание 19

\(y = e^{\sin^2(x)}\)

1. Внешняя функция: \(f(u) = e^u\), где \(u = \sin^2(x)\).
   Тогда \(f'(u) = e^u = e^{\sin^2(x)}\).

2. Внутренняя функция: \(g(x) = \sin^2(x)\).
   Тогда \(g'(x) = 2\sin(x) \cdot \cos(x) = \sin(2x)\).

3. Собираем все вместе:
   \(y' = e^{\sin^2(x)} \cdot \sin(2x)\).

Ответ: \(y' = \sin(2x)e^{\sin^2(x)}\)

Задание 20

\(y = \ln(\cos(5x))\)

1. Внешняя функция: \(f(u) = \ln(u)\), где \(u = \cos(5x)\).
   Тогда \(f'(u) = \frac{1}{u} = \frac{1}{\cos(5x)}\).

2. Внутренняя функция: \(g(x) = \cos(5x)\).
   Тогда \(g'(x) = -\sin(5x) \cdot (5x)' = -5\sin(5x)\).

3. Собираем все вместе:
   \(y' = \frac{1}{\cos(5x)} \cdot (-5\sin(5x)) = -5\frac{\sin(5x)}{\cos(5x)}\).

Ответ: \(y' = -5\frac{\sin(5x)}{\cos(5x)}\)

Задание 21

\(y = \sqrt{\sin(2x) + x^3}\)

1. Перепишем функцию: \(y = (\sin(2x) + x^3)^{\frac{1}{2}}\).

2. Внешняя функция: \(f(u) = u^{\frac{1}{2}}\), где \(u = \sin(2x) + x^3\).
   Тогда \(f'(u) = \frac{1}{2}u^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2}(\sin(2x) + x^3)^{-\frac{1}{2}}\).

3. Внутренняя функция: \(g(x) = \sin(2x) + x^3\).
   Тогда \(g'(x) = \cos(2x) \cdot (2x)' + 3x^2 = 2\cos(2x) + 3x^2\).

4. Собираем все вместе:
   \(y' = \frac{1}{2}(\sin(2x) + x^3)^{-\frac{1}{2}} \cdot (2\cos(2x) + 3x^2) = \frac{2\cos(2x) + 3x^2}{2\sqrt{\sin(2x) + x^3}}\).

Ответ: \(y' = \frac{2\cos(2x) + 3x^2}{2\sqrt{\sin(2x) + x^3}}\)

Ассистент: Ассистент: Хорошо, продолжим решать оставшиеся задания, избегая csc, sec, tan, cot.

Задание 22

\(y = \ln^5(x^2 + 1)\)

1. Внешняя функция: \(f(u) = u^5\), где \(u = \ln(x^2 + 1)\).
   Тогда \(f'(u) = 5u^4 = 5\ln^4(x^2 + 1)\).

2. Внутренняя функция: \(g(x) = \ln(x^2 + 1)\).
   Тогда \(g'(x) = \frac{1}{x^2 + 1} \cdot (x^2 + 1)' = \frac{2x}{x^2 + 1}\).

3. Собираем все вместе:
   \(y' = 5\ln^4(x^2 + 1) \cdot \frac{2x}{x^2 + 1} = \frac{10x\ln^4(x^2 + 1)}{x^2 + 1}\).

Ответ: \(y' = \frac{10x\ln^4(x^2 + 1)}{x^2 + 1}\)

Задание 23

\(y = e^{\sqrt{\cos{x}}}\)

1. Внешняя функция: \(f(u) = e^u\), где \(u = \sqrt{\cos{x}}\).
   Тогда \(f'(u) = e^u = e^{\sqrt{\cos{x}}}\).

2. Внутренняя функция: \(g(x) = \sqrt{\cos{x}} = (\cos{x})^{\frac{1}{2}}\).
   Тогда \(g'(x) = \frac{1}{2}(\cos{x})^{-\frac{1}{2}} \cdot (-\sin{x}) = -\frac{\sin{x}}{2\sqrt{\cos{x}}}\).

3. Собираем все вместе:
   \(y' = e^{\sqrt{\cos{x}}} \cdot \left(-\frac{\sin{x}}{2\sqrt{\cos{x}}}\right) = -\frac{\sin{x}e^{\sqrt{\cos{x}}}}{2\sqrt{\cos{x}}}\).

Ответ: \(y' = -\frac{\sin{x}e^{\sqrt{\cos{x}}}}{2\sqrt{\cos{x}}}\)

Задание 24

\(y = \sqrt{x + \sqrt{x + \sqrt{x}}}\)

1. Перепишем функцию: \(y = (x + (x + x^{\frac{1}{2}})^{\frac{1}{2}})^{\frac{1}{2}}\).

2. Внешняя функция: \(f(u) = u^{\frac{1}{2}}\), где \(u = x + (x + x^{\frac{1}{2}})^{\frac{1}{2}}\).
   Тогда \(f'(u) = \frac{1}{2}u^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2}(x + (x + x^{\frac{1}{2}})^{\frac{1}{2}})^{-\frac{1}{2}}\).

3. Внутренняя функция: \(g(x) = x + (x + x^{\frac{1}{2}})^{\frac{1}{2}}\).
   Тогда \(g'(x) = 1 + \frac{1}{2}(x + x^{\frac{1}{2}})^{-\frac{1}{2}} \cdot (1 + \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}) = 1 + \frac{1 + \frac{1}{2\sqrt{x}}}{2\sqrt{x + \sqrt{x}}} = 1 + \frac{1}{2\sqrt{x + \sqrt{x}}} + \frac{1}{4\sqrt{x}\sqrt{x + \sqrt{x}}}\).

4. Собираем все вместе:
   \(y' = \frac{1}{2\sqrt{x + \sqrt{x + \sqrt{x}}}} \cdot \left(1 + \frac{1}{2\sqrt{x + \sqrt{x}}} + \frac{1}{4\sqrt{x}\sqrt{x + \sqrt{x}}}\right)\).

Ответ: \(y' = \frac{1 + \frac{1}{2\sqrt{x + \sqrt{x}}} + \frac{1}{4\sqrt{x}\sqrt{x + \sqrt{x}}}}{2\sqrt{x + \sqrt{x + \sqrt{x}}}}\)

Ассистент: Ассистент: Ассистент: Хорошо, продолжим решать оставшиеся задания, избегая csc, sec, tan, cot.

Задание 25

\(y = \sin(\cos(\ln x))\)

1. Внешняя функция: \(f(u) = \sin(u)\), где \(u = \cos(\ln x)\).
   Тогда \(f'(u) = \cos(u) = \cos(\cos(\ln x))\).

2. Внутренняя функция: \(g(x) = \cos(\ln x)\).
   Тогда \(g'(x) = -\sin(\ln x) \cdot (\ln x)' = -\sin(\ln x) \cdot \frac{1}{x} = -\frac{\sin(\ln x)}{x}\).

3. Собираем все вместе:
   \(y' = \cos(\cos(\ln x)) \cdot \left(-\frac{\sin(\ln x)}{x}\right) = -\frac{\sin(\ln x)\cos(\cos(\ln x))}{x}\).

Ответ: \(y' = -\frac{\sin(\ln x)\cos(\cos(\ln x))}{x}\)

Задание 26

\(y = \sqrt[3]{\frac{x^2 + 1}{x^2 - 1}}\)

1. Перепишем функцию: \(y = \left(\frac{x^2 + 1}{x^2 - 1}\right)^{\frac{1}{3}}\).

2. Внешняя функция: \(f(u) = u^{\frac{1}{3}}\), где \(u = \frac{x^2 + 1}{x^2 - 1}\).
   Тогда \(f'(u) = \frac{1}{3}u^{-\frac{2}{3}} = \frac{1}{3}\left(\frac{x^2 + 1}{x^2 - 1}\right)^{-\frac{2}{3}}\).

3. Внутренняя функция: \(g(x) = \frac{x^2 + 1}{x^2 - 1}\).
   Используем правило частного: \(g'(x) = \frac{(2x)(x^2 - 1) - (x^2 + 1)(2x)}{(x^2 - 1)^2} = \frac{2x^3 - 2x - 2x^3 - 2x}{(x^2 - 1)^2} = \frac{-4x}{(x^2 - 1)^2}\).

4. Собираем все вместе:
   \(y' = \frac{1}{3}\left(\frac{x^2 + 1}{x^2 - 1}\right)^{-\frac{2}{3}} \cdot \frac{-4x}{(x^2 - 1)^2} = \frac{-4x}{3(x^2 - 1)^2} \cdot \left(\frac{x^2 - 1}{x^2 + 1}\right)^{\frac{2}{3}} = \frac{-4x}{3(x^2 - 1)^{\frac{4}{3}}(x^2 + 1)^{\frac{2}{3}}}\).

Ответ: \(y' = \frac{-4x}{3(x^2 - 1)^{\frac{4}{3}}(x^2 + 1)^{\frac{2}{3}}}\)

Задание 27

\(y = \ln(\sqrt{x^2 + 1} - x)\)

1. Внешняя функция: \(f(u) = \ln(u)\), где \(u = \sqrt{x^2 + 1} - x\).
   Тогда \(f'(u) = \frac{1}{u} = \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1} - x}\).

2. Внутренняя функция: \(g(x) = \sqrt{x^2 + 1} - x = (x^2 + 1)^{\frac{1}{2}} - x\).
   Тогда \(g'(x) = \frac{1}{2}(x^2 + 1)^{-\frac{1}{2}} \cdot (2x) - 1 = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}} - 1 = \frac{x - \sqrt{x^2 + 1}}{\sqrt{x^2 + 1}}\).

3. Собираем все вместе:
   \(y' = \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1} - x} \cdot \frac{x - \sqrt{x^2 + 1}}{\sqrt{x^2 + 1}} = \frac{x - \sqrt{x^2 + 1}}{(\sqrt{x^2 + 1} - x)\sqrt{x^2 + 1}} = -\frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}}\).

Ответ: \(y' = -\frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}}\)

Ассистент: Ассистент: Ассистент: Ассистент: Хорошо, продолжим решать оставшиеся задания, избегая csc, sec, tan, cot.

Задание 28

\(y = \ln(\frac{x + \sqrt{x^2 + 1}}{x})\)

1. Преобразуем функцию, используя свойства логарифмов:
   \(y = \ln(x + \sqrt{x^2 + 1}) - \ln(x)\).

2. Найдем производную каждого слагаемого:

   • \((\ln(x + \sqrt{x^2 + 1}))' = \frac{1}{x + \sqrt{x^2 + 1}} \cdot (1 + \frac{2x}{2\sqrt{x^2 + 1}}) = \frac{1}{x + \sqrt{x^2 + 1}} \cdot (1 + \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}) = \frac{1}{x + \sqrt{x^2 + 1}} \cdot \frac{\sqrt{x^2 + 1} + x}{\sqrt{x^2 + 1}} = \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}}\).
   • \((\ln(x))' = \frac{1}{x}\).

3. Собираем все вместе:
   \(y' = \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}} - \frac{1}{x}\).

Ответ: \(y' = \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}} - \frac{1}{x}\)

Задание 29

\(y = \ln(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x - 1})\)

1. Внешняя функция: \(f(u) = \ln(u)\), где \(u = \sqrt{x + 1} - \sqrt{x - 1}\).
   Тогда \(f'(u) = \frac{1}{u} = \frac{1}{\sqrt{x + 1} - \sqrt{x - 1}}\).

2. Внутренняя функция: \(g(x) = \sqrt{x + 1} - \sqrt{x - 1} = (x + 1)^{\frac{1}{2}} - (x - 1)^{\frac{1}{2}}\).
   Тогда \(g'(x) = \frac{1}{2}(x + 1)^{-\frac{1}{2}} - \frac{1}{2}(x - 1)^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2\sqrt{x + 1}} - \frac{1}{2\sqrt{x - 1}} = \frac{\sqrt{x - 1} - \sqrt{x + 1}}{2\sqrt{(x + 1)(x - 1)}} = \frac{\sqrt{x - 1} - \sqrt{x + 1}}{2\sqrt{x^2 - 1}}\).

3. Собираем все вместе:
   \(y' = \frac{1}{\sqrt{x + 1} - \sqrt{x - 1}} \cdot \frac{\sqrt{x - 1} - \sqrt{x + 1}}{2\sqrt{x^2 - 1}} = \frac{\sqrt{x - 1} - \sqrt{x + 1}}{(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x - 1})2\sqrt{x^2 - 1}} = -\frac{1}{2\sqrt{x^2 - 1}}\).

Ответ: \(y' = -\frac{1}{2\sqrt{x^2 - 1}}\)

Задание 30

\(y = \ln(\frac{1 + \sqrt{1 - x^2}}{x})\)

1. Преобразуем функцию, используя свойства логарифмов:
   \(y = \ln(1 + \sqrt{1 - x^2}) - \ln(x)\).

2. Найдем производную каждого слагаемого:

   • \((\ln(1 + \sqrt{1 - x^2}))' = \frac{1}{1 + \sqrt{1 - x^2}} \cdot (\frac{-2x}{2\sqrt{1 - x^2}}) = \frac{1}{1 + \sqrt{1 - x^2}} \cdot \frac{-x}{\sqrt{1 - x^2}} = \frac{-x}{\sqrt{1 - x^2}(1 + \sqrt{1 - x^2})}\).
   • \((\ln(x))' = \frac{1}{x}\).

3. Собираем все вместе:
   \(y' = \frac{-x}{\sqrt{1 - x^2}(1 + \sqrt{1 - x^2})} - \frac{1}{x} = \frac{-x^2 - x\sqrt{1 - x^2} - \sqrt{1 - x^2} - (1 - x^2)}{x\sqrt{1 - x^2}(1 + \sqrt{1 - x^2})} = \frac{-1 - x\sqrt{1 - x^2} - \sqrt{1 - x^2}}{x\sqrt{1 - x^2}(1 + \sqrt{1 - x^2})}\).

Ответ: \(y' = \frac{-1 - x\sqrt{1 - x^2} - \sqrt{1 - x^2}}{x\sqrt{1 - x^2}(1 + \sqrt{1 - x^2})}\)

Ассистент: Ассистент: Ассистент: Ассистент: Ассистент: ## Задание 5
\(y = \sin(3x + 5)\)

1. Внешняя функция: \(f(u) = \sin(u)\), где \(u = 3x + 5\).
   Тогда \(f'(u) = \cos(u) = \cos(3x + 5)\).

2. Внутренняя функция: \(g(x) = 3x + 5\).
   Тогда \(g'(x) = 3\).

3. Собираем все вместе:
   \(y' = \cos(3x + 5) \cdot 3 = 3\cos(3x + 5)\).

Ответ: \(y' = 3\cos(3x + 5)\)