Цилиндрические поверхности: нахождение уравнений

Задание 5

В задаче требуется найти цилиндрическую поверхность, которая задается в пунктах (а) и (б).

(а) Найти цилиндрическую поверхность, которая задается в пунктах Оxyz. Образующие параллельны оси Oz, а направляющей является окружность \(x^2 + y^2 = 4\), расположенная в плоскости \(z = 3\).

Решение:
Цилиндрическая поверхность образуется движением прямой (образующей) вдоль некоторой кривой (направляющей). При этом образующая всегда остается параллельной заданному направлению.

В нашем случае:
- Образующие параллельны оси Oz
- Направляющая - окружность \(x^2 + y^2 = 4\) в плоскости \(z = 3\)

Поскольку образующие параллельны оси Oz, то при движении вдоль образующей меняется только координата z, а координаты x и y остаются неизменными. Таким образом, уравнение цилиндрической поверхности будет:

\(x^2 + y^2 = 4\)

Это круговой цилиндр с радиусом 2, ось которого совпадает с осью Oz. Координата z может принимать любые значения, поэтому она не входит в уравнение поверхности.

(б) Найти цилиндрическую поверхность, которая задается в пунктах Оxyz. Образующие параллельны вектору \(\vec{a} = (1, 1, 1)\), а направляющей является окружность \(x^2 + y^2 = 4\), расположенная в плоскости \(z = 0\).

Решение:
В этом случае образующие параллельны вектору \(\vec{a} = (1, 1, 1)\), а не оси Oz. Направляющая - окружность \(x^2 + y^2 = 4\) в плоскости \(z = 0\).

Для нахождения уравнения такой поверхности, нужно параметризовать точки на направляющей и затем добавить параметрическое уравнение прямой, проходящей через эти точки в направлении вектора \(\vec{a}\).

Точки на направляющей (окружности в плоскости \(z = 0\)) можно записать как:
\((x_0, y_0, 0)\), где \(x_0^2 + y_0^2 = 4\)

Точки на образующей, проходящей через точку \((x_0, y_0, 0)\) в направлении вектора \(\vec{a} = (1, 1, 1)\), имеют вид:
\((x_0 + t, y_0 + t, t)\), где \(t\) - параметр

Это означает, что для любой точки \((x, y, z)\) на цилиндрической поверхности существует параметр \(t\) такой, что:
\(x = x_0 + t\)
\(y = y_0 + t\)
\(z = t\)

Отсюда получаем:
\(x_0 = x - z\)
\(y_0 = y - z\)

Подставляя эти выражения в уравнение окружности \(x_0^2 + y_0^2 = 4\), получаем:
\((x - z)^2 + (y - z)^2 = 4\)

Это и есть уравнение искомой цилиндрической поверхности.

Задание 6

На изображении представлено выражение:

\(\frac{14 \cdot \left(\frac{-7}{1}\right)^2 - 9 \cdot \left(\frac{-7}{1}\right)}{1}\)

Решим это выражение пошагово:

Шаг 1: Вычислим значение \(\left(\frac{-7}{1}\right)^2\)
\(\left(\frac{-7}{1}\right)^2 = (-7)^2 = 49\)

Шаг 2: Подставим полученное значение в числитель
\(14 \cdot 49 - 9 \cdot \left(\frac{-7}{1}\right)\)

Шаг 3: Вычислим первое произведение
\(14 \cdot 49 = 686\)

Шаг 4: Вычислим второе произведение
\(9 \cdot \left(\frac{-7}{1}\right) = 9 \cdot (-7) = -63\)

Шаг 5: Выполним вычитание в числителе
\(686 - (-63) = 686 + 63 = 749\)

Шаг 6: Разделим на знаменатель (который равен 1)
\(\frac{749}{1} = 749\)

Ответ: \(749\)