Задание 5

В задаче требуется найти цилиндрическую поверхность, которая задается в пунктах (а) и (б).

(а) Найти цилиндрическую поверхность, которая задается в пунктах Оxyz. Образующие параллельны оси Oz, а направляющей является окружность $x^2 + y^2 = 4$, расположенная в плоскости $z = 3$.

Решение:
Цилиндрическая поверхность образуется движением прямой (образующей) вдоль некоторой кривой (направляющей). При этом образующая всегда остается параллельной заданному направлению.

В нашем случае:
- Образующие параллельны оси Oz
- Направляющая - окружность $x^2 + y^2 = 4$ в плоскости $z = 3$

Поскольку образующие параллельны оси Oz, то при движении вдоль образующей меняется только координата z, а координаты x и y остаются неизменными. Таким образом, уравнение цилиндрической поверхности будет:

$x^2 + y^2 = 4$

Это круговой цилиндр с радиусом 2, ось которого совпадает с осью Oz. Координата z может принимать любые значения, поэтому она не входит в уравнение поверхности.

(б) Найти цилиндрическую поверхность, которая задается в пунктах Оxyz. Образующие параллельны вектору $\vec{a} = (1, 1, 1)$, а направляющей является окружность $x^2 + y^2 = 4$, расположенная в плоскости $z = 0$.

Решение:
В этом случае образующие параллельны вектору $\vec{a} = (1, 1, 1)$, а не оси Oz. Направляющая - окружность $x^2 + y^2 = 4$ в плоскости $z = 0$.

Для нахождения уравнения такой поверхности, нужно параметризовать точки на направляющей и затем добавить параметрическое уравнение прямой, проходящей через эти точки в направлении вектора $\vec{a}$.

Точки на направляющей (окружности в плоскости $z = 0$) можно записать как:
$(x_0, y_0, 0)$, где $x_0^2 + y_0^2 = 4$

Точки на образующей, проходящей через точку $(x_0, y_0, 0)$ в направлении вектора $\vec{a} = (1, 1, 1)$, имеют вид:
$(x_0 + t, y_0 + t, t)$, где $t$ - параметр

Это означает, что для любой точки $(x, y, z)$ на цилиндрической поверхности существует параметр $t$ такой, что:
$x = x_0 + t$
$y = y_0 + t$
$z = t$

Отсюда получаем:
$x_0 = x - z$
$y_0 = y - z$

Подставляя эти выражения в уравнение окружности $x_0^2 + y_0^2 = 4$, получаем:
$(x - z)^2 + (y - z)^2 = 4$

Это и есть уравнение искомой цилиндрической поверхности.

Задание 6

На изображении представлено выражение:

$\frac{14 \cdot \left(\frac{-7}{1}\right)^2 - 9 \cdot \left(\frac{-7}{1}\right)}{1}$

Решим это выражение пошагово:

Шаг 1: Вычислим значение $\left(\frac{-7}{1}\right)^2$
$\left(\frac{-7}{1}\right)^2 = (-7)^2 = 49$

Шаг 2: Подставим полученное значение в числитель
$14 \cdot 49 - 9 \cdot \left(\frac{-7}{1}\right)$

Шаг 3: Вычислим первое произведение
$14 \cdot 49 = 686$

Шаг 4: Вычислим второе произведение
$9 \cdot \left(\frac{-7}{1}\right) = 9 \cdot (-7) = -63$

Шаг 5: Выполним вычитание в числителе
$686 - (-63) = 686 + 63 = 749$

Шаг 6: Разделим на знаменатель (который равен 1)
$\frac{749}{1} = 749$

Ответ: $749$