Язык задания: Russian.

Задание 1

Чтобы доказать, что $\lim_{n \to \infty} \frac{n}{n+1} = 1$, используя определение предела, нужно показать, что для любого $\epsilon > 0$ существует такое $N$, что для всех $n > N$ выполняется $|\frac{n}{n+1} - 1| < \epsilon$.

1. Преобразуем выражение под знаком модуля:

$|\frac{n}{n+1} - 1| = |\frac{n - (n+1)}{n+1}| = |\frac{-1}{n+1}| = \frac{1}{n+1}$

2. Решим неравенство:

$\frac{1}{n+1} < \epsilon$

$n+1 > \frac{1}{\epsilon}$

$n > \frac{1}{\epsilon} - 1$

3. Выбор N:

Выберем $N = \lceil \frac{1}{\epsilon} - 1 \rceil$, где $\lceil x \rceil$ - наименьшее целое число, большее или равное $x$.

4. Проверка:

Для любого $n > N$, где $N = \lceil \frac{1}{\epsilon} - 1 \rceil$, выполняется:

$n > \frac{1}{\epsilon} - 1$

$n + 1 > \frac{1}{\epsilon}$

$\frac{1}{n+1} < \epsilon$

$|\frac{n}{n+1} - 1| < \epsilon$

Таким образом, для любого $\epsilon > 0$ мы нашли такое $N$, что для всех $n > N$ выполняется $|\frac{n}{n+1} - 1| < \epsilon$. Следовательно, $\lim_{n \to \infty} \frac{n}{n+1} = 1$.

Ответ: Предел доказан.

Задание 2

Найти предел функции: $\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 6x + 8}{x^2 - 8x + 12}$

1. Разложим числитель и знаменатель на множители:

$x^2 - 6x + 8 = (x - 2)(x - 4)$

$x^2 - 8x + 12 = (x - 2)(x - 6)$

2. Сократим дробь:

$\frac{x^2 - 6x + 8}{x^2 - 8x + 12} = \frac{(x - 2)(x - 4)}{(x - 2)(x - 6)} = \frac{x - 4}{x - 6}$ при $x \neq 2$

3. Вычислим предел:

$\lim_{x \to 2} \frac{x - 4}{x - 6} = \frac{2 - 4}{2 - 6} = \frac{-2}{-4} = \frac{1}{2}$

Ответ: $\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 6x + 8}{x^2 - 8x + 12} = \frac{1}{2}$

Задание 3

Найти производную функции, заданной неявно: $x^2 + x^2y + xy^2 + y^2 + 3 = 0$

1. Дифференцируем обе части уравнения по $x$, используя правило производной сложной функции:

$\frac{d}{dx}(x^2) + \frac{d}{dx}(x^2y) + \frac{d}{dx}(xy^2) + \frac{d}{dx}(y^2) + \frac{d}{dx}(3) = 0$

2. Применяем правило произведения и правило цепочки:

$2x + (2xy + x^2\frac{dy}{dx}) + (y^2 + x \cdot 2y\frac{dy}{dx}) + 2y\frac{dy}{dx} + 0 = 0$

3. Собираем члены с $\frac{dy}{dx}$:

$2x + 2xy + y^2 + (x^2 + 2xy + 2y)\frac{dy}{dx} = 0$

4. Выражаем $\frac{dy}{dx}$:

$(x^2 + 2xy + 2y)\frac{dy}{dx} = -2x - 2xy - y^2$

$\frac{dy}{dx} = \frac{-2x - 2xy - y^2}{x^2 + 2xy + 2y}$

Ответ: $\frac{dy}{dx} = -\frac{2x + 2xy + y^2}{x^2 + 2xy + 2y}$

Ассистент: Конечно, сейчас я подробно объясню решение задачи о нахождении производной неявно заданной функции.

Задание 3 (Подробное решение)

Найти производную функции, заданной неявно: $x^2 + x^2y + xy^2 + y^2 + 3 = 0$

1. Дифференцируем обе части уравнения по $x$:

• Наша цель - найти $\frac{dy}{dx}$, то есть производную $y$ по $x$. Поскольку $y$ является функцией от $x$, мы должны использовать правило производной сложной функции (или правило цепочки) при дифференцировании членов, содержащих $y$.

• Исходное уравнение:
  $x^2 + x^2y + xy^2 + y^2 + 3 = 0$

• Дифференцируем каждый член уравнения по $x$:
  $\frac{d}{dx}(x^2) + \frac{d}{dx}(x^2y) + \frac{d}{dx}(xy^2) + \frac{d}{dx}(y^2) + \frac{d}{dx}(3) = \frac{d}{dx}(0)$

2. Применяем правило произведения и правило цепочки:

• Производная $x^2$ по $x$:
  $\frac{d}{dx}(x^2) = 2x$

• Производная $x^2y$ по $x$ (правило произведения):
  $\frac{d}{dx}(x^2y) = \frac{d}{dx}(x^2) \cdot y + x^2 \cdot \frac{d}{dx}(y) = 2xy + x^2\frac{dy}{dx}$

• Производная $xy^2$ по $x$ (правило произведения и правило цепочки):
  $\frac{d}{dx}(xy^2) = \frac{d}{dx}(x) \cdot y^2 + x \cdot \frac{d}{dx}(y^2) = y^2 + x \cdot 2y\frac{dy}{dx} = y^2 + 2xy\frac{dy}{dx}$

• Производная $y^2$ по $x$ (правило цепочки):
  $\frac{d}{dx}(y^2) = 2y\frac{dy}{dx}$

• Производная константы 3 по $x$:
  $\frac{d}{dx}(3) = 0$

• Производная константы 0 по $x$:
  $\frac{d}{dx}(0) = 0$

• Подставляем все производные в исходное уравнение:
  $2x + (2xy + x^2\frac{dy}{dx}) + (y^2 + 2xy\frac{dy}{dx}) + 2y\frac{dy}{dx} + 0 = 0$

3. Собираем члены с $\frac{dy}{dx}$:

• Перегруппируем уравнение, чтобы все члены с $\frac{dy}{dx}$ были с одной стороны:
  $2x + 2xy + y^2 + x^2\frac{dy}{dx} + 2xy\frac{dy}{dx} + 2y\frac{dy}{dx} = 0$

• Выносим $\frac{dy}{dx}$ за скобки:
  $(x^2 + 2xy + 2y)\frac{dy}{dx} = -2x - 2xy - y^2$

4. Выражаем $\frac{dy}{dx}$:

• Делим обе части уравнения на $(x^2 + 2xy + 2y)$, чтобы выразить $\frac{dy}{dx}$:
  $\frac{dy}{dx} = \frac{-2x - 2xy - y^2}{x^2 + 2xy + 2y}$

• Или, что то же самое:
  $\frac{dy}{dx} = -\frac{2x + 2xy + y^2}{x^2 + 2xy + 2y}$

Ответ: $\frac{dy}{dx} = -\frac{2x + 2xy + y^2}{x^2 + 2xy + 2y}$