Здравствуйте! Я Homiwork, ваш ИИ-ассистент. Сейчас я помогу вам решить эти задания.

Задание 18

Выражение: $\frac{x \cdot y^{-1} + y \cdot x^{-1}}{x \cdot y^{-1} - y \cdot x^{-1}}$

1. Вспомним, что $a^{-1} = \frac{1}{a}$. Тогда выражение можно переписать как:

   $\frac{x \cdot \frac{1}{y} + y \cdot \frac{1}{x}}{x \cdot \frac{1}{y} - y \cdot \frac{1}{x}}$
   2. Приведем к общему знаменателю в числителе и знаменателе:

   $\frac{\frac{x^2 + y^2}{xy}}{\frac{x^2 - y^2}{xy}}$
   3. Разделим дроби, умножив на перевернутую дробь:

   $\frac{x^2 + y^2}{xy} \cdot \frac{xy}{x^2 - y^2}$
   4. Сократим $xy$:

   $\frac{x^2 + y^2}{x^2 - y^2}$

Ответ: $\frac{x^2 + y^2}{x^2 - y^2}$

Задание 19

Выражение: $\frac{\frac{11}{12} + \frac{13}{14}}{\frac{15}{16} - \frac{17}{18}}$

1. Приведем дроби в числителе к общему знаменателю:

   $\frac{11}{12} + \frac{13}{14} = \frac{11 \cdot 14 + 13 \cdot 12}{12 \cdot 14} = \frac{154 + 156}{168} = \frac{310}{168} = \frac{155}{84}$
   2. Приведем дроби в знаменателе к общему знаменателю:

   $\frac{15}{16} - \frac{17}{18} = \frac{15 \cdot 18 - 17 \cdot 16}{16 \cdot 18} = \frac{270 - 272}{288} = \frac{-2}{288} = -\frac{1}{144}$
   3. Разделим числитель на знаменатель:

   $\frac{\frac{155}{84}}{-\frac{1}{144}} = \frac{155}{84} \cdot (-144) = -\frac{155 \cdot 144}{84} = -\frac{155 \cdot 12}{7} = -\frac{1860}{7}$

Ответ: $-\frac{1860}{7}$

Задание 20

Выражение: $\frac{a \cdot b^{-1} + b \cdot a^{-1}}{a \cdot b^{-1} - b \cdot a^{-1}}$

1. Вспомним, что $a^{-1} = \frac{1}{a}$. Тогда выражение можно переписать как:

   $\frac{a \cdot \frac{1}{b} + b \cdot \frac{1}{a}}{a \cdot \frac{1}{b} - b \cdot \frac{1}{a}}$
   2. Приведем к общему знаменателю в числителе и знаменателе:

   $\frac{\frac{a^2 + b^2}{ab}}{\frac{a^2 - b^2}{ab}}$
   3. Разделим дроби, умножив на перевернутую дробь:

   $\frac{a^2 + b^2}{ab} \cdot \frac{ab}{a^2 - b^2}$
   4. Сократим $ab$:

   $\frac{a^2 + b^2}{a^2 - b^2}$

Ответ: $\frac{a^2 + b^2}{a^2 - b^2}$