Здравствуйте! Я ИИ-ассистент платформы Homiwork. Сейчас я помогу вам решить эти задания.

Задание 40.27 (a)

Решить уравнение: $3 \cdot 2^{2x} + 6^x - 2 \cdot 3^{2x} = 0$

1. Преобразуем уравнение:
   $3 \cdot 2^{2x} + (2 \cdot 3)^x - 2 \cdot 3^{2x} = 0$
   $3 \cdot 2^{2x} + 2^x \cdot 3^x - 2 \cdot 3^{2x} = 0$

2. Разделим обе части уравнения на $3^{2x}$:
   $3 \cdot \frac{2^{2x}}{3^{2x}} + \frac{2^x \cdot 3^x}{3^{2x}} - 2 \cdot \frac{3^{2x}}{3^{2x}} = 0$
   $3 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^{2x} + \left(\frac{2}{3}\right)^x - 2 = 0$

3. Сделаем замену $t = \left(\frac{2}{3}\right)^x$. Тогда уравнение примет вид:
   $3t^2 + t - 2 = 0$

4. Решим квадратное уравнение относительно $t$:
   $D = 1^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 1 + 24 = 25$
   $t_1 = \frac{-1 + \sqrt{25}}{2 \cdot 3} = \frac{-1 + 5}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$
   $t_2 = \frac{-1 - \sqrt{25}}{2 \cdot 3} = \frac{-1 - 5}{6} = \frac{-6}{6} = -1$

5. Вернемся к замене:

   • $\left(\frac{2}{3}\right)^x = \frac{2}{3} \Rightarrow x = 1$
   • $\left(\frac{2}{3}\right)^x = -1$ (нет решений, так как показательная функция всегда положительна)

Ответ: $x = 1$

Задание 40.27 (б)

Решить уравнение: $2 \cdot 2^{2x} - 3 \cdot 10^x - 5 \cdot 5^{2x} = 0$

1. Преобразуем уравнение:
   $2 \cdot 2^{2x} - 3 \cdot (2 \cdot 5)^x - 5 \cdot 5^{2x} = 0$
   $2 \cdot 2^{2x} - 3 \cdot 2^x \cdot 5^x - 5 \cdot 5^{2x} = 0$

2. Разделим обе части уравнения на $5^{2x}$:
   $2 \cdot \frac{2^{2x}}{5^{2x}} - 3 \cdot \frac{2^x \cdot 5^x}{5^{2x}} - 5 \cdot \frac{5^{2x}}{5^{2x}} = 0$
   $2 \cdot \left(\frac{2}{5}\right)^{2x} - 3 \cdot \left(\frac{2}{5}\right)^x - 5 = 0$

3. Сделаем замену $t = \left(\frac{2}{5}\right)^x$. Тогда уравнение примет вид:
   $2t^2 - 3t - 5 = 0$

4. Решим квадратное уравнение относительно $t$:
   $D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 9 + 40 = 49$
   $t_1 = \frac{3 + \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{3 + 7}{4} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2}$
   $t_2 = \frac{3 - \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{3 - 7}{4} = \frac{-4}{4} = -1$

5. Вернемся к замене:

   • $\left(\frac{2}{5}\right)^x = \frac{5}{2} \Rightarrow \left(\frac{2}{5}\right)^x = \left(\frac{2}{5}\right)^{-1} \Rightarrow x = -1$
   • $\left(\frac{2}{5}\right)^x = -1$ (нет решений, так как показательная функция всегда положительна)

Ответ: $x = -1$

Задание 40.27 (в)

Решить уравнение: $3 \cdot 2^{2x+1} - 4 \cdot 21^x - 7 \cdot 7^{2x} = 0$

1. Преобразуем уравнение:
   $3 \cdot 2 \cdot 2^{2x} - 4 \cdot (3 \cdot 7)^x - 7 \cdot 7^{2x} = 0$
   $6 \cdot 2^{2x} - 4 \cdot 3^x \cdot 7^x - 7 \cdot 7^{2x} = 0$

2. Разделим обе части уравнения на $7^{2x}$:
   $6 \cdot \frac{2^{2x}}{7^{2x}} - 4 \cdot \frac{3^x \cdot 7^x}{7^{2x}} - 7 \cdot \frac{7^{2x}}{7^{2x}} = 0$
   $6 \cdot \left(\frac{2}{7}\right)^{2x} - 4 \cdot \left(\frac{3}{7}\right)^x - 7 = 0$
   $6 \cdot \left(\frac{4}{49}\right)^{x} - 4 \cdot \left(\frac{3}{7}\right)^x - 7 = 0$

   Это уравнение сложнее, чем предыдущие. Заметим, что если $x = 0$, то:
   $6 \cdot 1 - 4 \cdot 1 - 7 = 6 - 4 - 7 = -5 \neq 0$

   Попробуем $x = -1$:
   $6 \cdot \frac{49}{4} - 4 \cdot \frac{7}{3} - 7 = \frac{3 \cdot 49}{2} - \frac{28}{3} - 7 = \frac{441}{2} - \frac{28}{3} - 7 = \frac{1323 - 56 - 42}{6} = \frac{1225}{6} \neq 0$

   Похоже, что здесь нет простого решения. Это уравнение можно решить численными методами или графически.

Ответ: Численное решение или графическое решение. Точного аналитического решения, скорее всего, нет.