Задание 53. Исследовать функцию $y = \frac{x^2 - 11}{4x - 3}$ и построить её график.
1. Область определения функции
Для рациональной функции область определения — это все значения $x$, при которых знаменатель не равен нулю:
$4x - 3 \neq 0$
$x \neq \frac{3}{4}$
Таким образом, область определения: $D(y) = (-\infty, \frac{3}{4}) \cup (\frac{3}{4}, +\infty)$, то есть все действительные числа, кроме точки $x = \frac{3}{4}$.
2. Исследование на четность/нечетность
Проверим, является ли функция четной или нечетной, подставив $-x$ вместо $x$:
$y(-x) = \frac{(-x)^2 - 11}{4(-x) - 3} = \frac{x^2 - 11}{-4x - 3}$
Это не равно ни $y(x) = \frac{x^2 - 11}{4x - 3}$ (для четной функции), ни $-y(x) = -\frac{x^2 - 11}{4x - 3}$ (для нечетной функции).
Вывод: функция общего вида, не обладает свойством четности или нечетности.
3. Точки пересечения с осями координат
Пересечение с осью $Oy$ (при $x = 0$):
$y(0) = \frac{0^2 - 11}{4 \cdot 0 - 3} = \frac{-11}{-3} = \frac{11}{3} \approx 3.67$
Точка пересечения с осью $Oy$: $(0, \frac{11}{3})$.
Пересечение с осью $Ox$ (при $y = 0$):
$\frac{x^2 - 11}{4x - 3} = 0$
Если дробь равна нулю, то числитель должен быть равен нулю (при ненулевом знаменателе):
$x^2 - 11 = 0$
$x^2 = 11$
$x = \pm\sqrt{11} \approx \pm 3.32$
Точки пересечения с осью $Ox$: $(-\sqrt{11}, 0)$ и $(\sqrt{11}, 0)$.
4. Асимптоты
Вертикальная асимптота:
Вертикальная асимптота возникает в точке разрыва функции, где знаменатель обращается в ноль:
$x = \frac{3}{4}$
Наклонная асимптота:
Наклонная асимптота имеет вид $y = kx + b$, где:
$k = \lim_{x \to \infty} \frac{y}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^2 - 11}{x(4x - 3)}$
Разделим числитель и знаменатель на старшую степень $x$ (в данном случае $x^2$):
$k = \lim_{x \to \infty} \frac{1 - \frac{11}{x^2}}{\frac{4x}{x^2} - \frac{3}{x^2}} = \lim_{x \to \infty} \frac{1 - 0}{\frac{4}{x} - 0} = \frac{1}{0} = \infty$
Ошибка в предыдущем решении! Правильно делить числитель и знаменатель на одинаковую степень $x$. Преобразуем функцию к виду деления многочленов:
$y = \frac{x^2 - 11}{4x - 3} = \frac{x^2}{4x - 3} - \frac{11}{4x - 3}$
Выполним деление многочленов $x^2$ на $(4x - 3)$:
$x^2 = (4x - 3) \cdot \frac{x}{4} + \frac{3x}{4}$
Подставим:
$y = \frac{x}{4} + \frac{3x/4 - 11}{4x - 3}$
При $x \to \infty$ второе слагаемое стремится к нулю, поэтому $k = \frac{1}{4}$.
Теперь найдем $b$:
$b = \lim_{x \to \infty} (y - kx) = \lim_{x \to \infty} (\frac{x^2 - 11}{4x - 3} - \frac{x}{4})$
Преобразуем:
$b = \lim_{x \to \infty} \frac{4(x^2 - 11) - x(4x - 3)}{4(4x - 3)} = \lim_{x \to \infty} \frac{4x^2 - 44 - 4x^2 + 3x}{16x - 12} = \lim_{x \to \infty} \frac{3x - 44}{16x - 12}$
При $x \to \infty$:
$b = \lim_{x \to \infty} \frac{3x - 44}{16x - 12} = \frac{3}{16}$
Таким образом, наклонная асимптота: $y = \frac{1}{4}x + \frac{3}{16}$.
5. Исследование на монотонность и экстремумы
Найдем производную функции, используя правило дифференцирования частного:
$y' = \frac{(x^2 - 11)'(4x - 3) - (x^2 - 11)(4x - 3)'}{(4x - 3)^2} = \frac{2x(4x - 3) - (x^2 - 11) \cdot 4}{(4x - 3)^2}$
Упростим числитель:
$y' = \frac{8x^2 - 6x - 4x^2 + 44}{(4x - 3)^2} = \frac{4x^2 - 6x + 44}{(4x - 3)^2}$
Для нахождения критических точек приравняем числитель к нулю:
$4x^2 - 6x + 44 = 0$
Решим квадратное уравнение:
Дискриминант: $D = (-6)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 44 = 36 - 704 = -668 < 0$
Поскольку дискриминант отрицательный, уравнение не имеет действительных корней. Это означает, что производная не меняет знак, и функция монотонна на всей области определения.
Так как знаменатель производной $(4x - 3)^2$ всегда положительный, а числитель $4x^2 - 6x + 44$ также всегда положительный (так как дискриминант отрицательный), то $y' > 0$ на всей области определения. Следовательно, функция строго возрастает на всей области определения.
6. Исследование на выпуклость и точки перегиба
Найдем вторую производную:
$y'' = (y')' = \frac{d}{dx}\left(\frac{4x^2 - 6x + 44}{(4x - 3)^2}\right)$
Используя правило дифференцирования частного:
$y'' = \frac{(4x^2 - 6x + 44)'(4x - 3)^2 - (4x^2 - 6x + 44)(4x - 3)^2'}{(4x - 3)^4}$
Вычислим производные:
$(4x^2 - 6x + 44)' = 8x - 6$
$(4x - 3)^2' = 2(4x - 3) \cdot 4 = 8(4x - 3)$
Подставим:
$y'' = \frac{(8x - 6)(4x - 3)^2 - (4x^2 - 6x + 44) \cdot 8(4x - 3)}{(4x - 3)^4}$
После упрощения получаем:
$y'' = \frac{-88}{(4x - 3)^3}$
Знак второй производной зависит только от знаменателя $(4x - 3)^3$, так как числитель $-88$ всегда отрицательный.
Если $x < \frac{3}{4}$, то $(4x - 3) < 0$, и $(4x - 3)^3 < 0$, поэтому $y'' > 0$, и график функции выпуклый вверх (вогнутый).
Если $x > \frac{3}{4}$, то $(4x - 3) > 0$, и $(4x - 3)^3 > 0$, поэтому $y'' < 0$, и график функции выпуклый вниз (выпуклый).
Точек перегиба нет, так как вторая производная не обращается в ноль.
7. Построение графика
На основе проведенного исследования можно построить график функции, учитывая следующие особенности:
- Вертикальная асимптота: $x = \frac{3}{4}$
- Наклонная асимптота: $y = \frac{1}{4}x + \frac{3}{16}$
- Точки пересечения с осями: $(0, \frac{11}{3})$, $(-\sqrt{11}, 0)$, $(\sqrt{11}, 0)$
- Функция возрастает на всей области определения
- График выпуклый вверх при $x < \frac{3}{4}$ и выпуклый вниз при $x > \frac{3}{4}$
График состоит из двух ветвей, разделенных вертикальной асимптотой $x = \frac{3}{4}$. При $x \to -\infty$ и $x \to +\infty$ график приближается к наклонной асимптоте.
