Исследование функции и построение графика

Задание 53. Исследовать функцию \(y = \frac{x^2 - 11}{4x - 3}\) и построить её график.

1. Область определения:
Функция определена, когда знаменатель не равен нулю:
\(4x - 3 \neq 0 \Rightarrow x \neq \frac{3}{4}\)
Таким образом, область определения: \(D(y) = (-\infty, \frac{3}{4}) \cup (\frac{3}{4}, +\infty)\).

2. Четность/нечетность:
\(y(-x) = \frac{(-x)^2 - 11}{4(-x) - 3} = \frac{x^2 - 11}{-4x - 3} = -\frac{x^2 - 11}{4x + 3}\)
Так как \(y(-x) \neq y(x)\) и \(y(-x) \neq -y(x)\), функция не является ни четной, ни нечетной.

3. Пересечение с осями координат:
* С осью \(Oy\) (при \(x = 0\)):
\(y(0) = \frac{0^2 - 11}{4(0) - 3} = \frac{-11}{-3} = \frac{11}{3}\)
Точка пересечения: \((0, \frac{11}{3})\).
* С осью \(Ox\) (при \(y = 0\)):
\(\frac{x^2 - 11}{4x - 3} = 0 \Rightarrow x^2 - 11 = 0 \Rightarrow x^2 = 11 \Rightarrow x = \pm\sqrt{11}\)
Точки пересечения: \((-\sqrt{11}, 0)\) и \((\sqrt{11}, 0)\).

4. Асимптоты:
* Вертикальная асимптота:
\(x = \frac{3}{4}\) (так как в этой точке функция не определена).
* Наклонная асимптота: \(y = kx + b\)
\(k = \lim_{x \to \infty} \frac{y}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^2 - 11}{x(4x - 3)} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^2 - 11}{4x^2 - 3x} = \frac{1}{4}\)
\(b = \lim_{x \to \infty} (y - kx) = \lim_{x \to \infty} (\frac{x^2 - 11}{4x - 3} - \frac{1}{4}x) = \lim_{x \to \infty} \frac{4(x^2 - 11) - x(4x - 3)}{4(4x - 3)} = \lim_{x \to \infty} \frac{4x^2 - 44 - 4x^2 + 3x}{16x - 12} = \lim_{x \to \infty} \frac{3x - 44}{16x - 12} = \frac{3}{16}\)
Наклонная асимптота: \(y = \frac{1}{4}x + \frac{3}{16}\).

5. Первая производная и экстремумы:
\(y' = \frac{(2x)(4x - 3) - (x^2 - 11)(4)}{(4x - 3)^2} = \frac{8x^2 - 6x - 4x^2 + 44}{(4x - 3)^2} = \frac{4x^2 - 6x + 44}{(4x - 3)^2}\)

Найдем критические точки, приравняв числитель к нулю:
\(4x^2 - 6x + 44 = 0\)
Дискриминант: \(D = (-6)^2 - 4(4)(44) = 36 - 704 = -668 < 0\)
Так как дискриминант отрицательный, первая производная не имеет нулей, и экстремумов нет.

6. Вторая производная и точки перегиба:
\(y'' = \frac{(8x - 6)(4x - 3)^2 - (4x^2 - 6x + 44)(2)(4x - 3)(4)}{(4x - 3)^4} = \frac{(8x - 6)(4x - 3) - 8(4x^2 - 6x + 44)}{(4x - 3)^3} = \frac{32x^2 - 24x - 24x + 18 - 32x^2 + 48x - 352}{(4x - 3)^3} = \frac{-334}{(4x - 3)^3}\)

Вторая производная не имеет нулей, следовательно, точек перегиба нет.

7. Построение графика:
На основе полученных данных можно построить график функции. Учитываем вертикальную асимптоту \(x = \frac{3}{4}\), наклонную асимптоту \(y = \frac{1}{4}x + \frac{3}{16}\), точки пересечения с осями координат и отсутствие экстремумов и точек перегиба.

Задание 53. Исследовать функцию \(y = \frac{x^2 - 11}{4x - 3}\) и построить её график.

1. Область определения функции

Для рациональной функции область определения — это все значения \(x\), при которых знаменатель не равен нулю:

\(4x - 3 \neq 0\)
\(x \neq \frac{3}{4}\)

Таким образом, область определения: \(D(y) = (-\infty, \frac{3}{4}) \cup (\frac{3}{4}, +\infty)\), то есть все действительные числа, кроме точки \(x = \frac{3}{4}\).

2. Исследование на четность/нечетность

Проверим, является ли функция четной или нечетной, подставив \(-x\) вместо \(x\):

\(y(-x) = \frac{(-x)^2 - 11}{4(-x) - 3} = \frac{x^2 - 11}{-4x - 3}\)

Это не равно ни \(y(x) = \frac{x^2 - 11}{4x - 3}\) (для четной функции), ни \(-y(x) = -\frac{x^2 - 11}{4x - 3}\) (для нечетной функции).

Вывод: функция общего вида, не обладает свойством четности или нечетности.

3. Точки пересечения с осями координат

Пересечение с осью \(Oy\) (при \(x = 0\)):
\(y(0) = \frac{0^2 - 11}{4 \cdot 0 - 3} = \frac{-11}{-3} = \frac{11}{3} \approx 3.67\)

Точка пересечения с осью \(Oy\): \((0, \frac{11}{3})\).

Пересечение с осью \(Ox\) (при \(y = 0\)):
\(\frac{x^2 - 11}{4x - 3} = 0\)

Если дробь равна нулю, то числитель должен быть равен нулю (при ненулевом знаменателе):
\(x^2 - 11 = 0\)
\(x^2 = 11\)
\(x = \pm\sqrt{11} \approx \pm 3.32\)

Точки пересечения с осью \(Ox\): \((-\sqrt{11}, 0)\) и \((\sqrt{11}, 0)\).

4. Асимптоты

Вертикальная асимптота:
Вертикальная асимптота возникает в точке разрыва функции, где знаменатель обращается в ноль:
\(x = \frac{3}{4}\)

Наклонная асимптота:
Наклонная асимптота имеет вид \(y = kx + b\), где:

\(k = \lim_{x \to \infty} \frac{y}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^2 - 11}{x(4x - 3)}\)

Разделим числитель и знаменатель на старшую степень \(x\) (в данном случае \(x^2\)):
\(k = \lim_{x \to \infty} \frac{1 - \frac{11}{x^2}}{\frac{4x}{x^2} - \frac{3}{x^2}} = \lim_{x \to \infty} \frac{1 - 0}{\frac{4}{x} - 0} = \frac{1}{0} = \infty\)

Ошибка в предыдущем решении! Правильно делить числитель и знаменатель на одинаковую степень \(x\). Преобразуем функцию к виду деления многочленов:

\(y = \frac{x^2 - 11}{4x - 3} = \frac{x^2}{4x - 3} - \frac{11}{4x - 3}\)

Выполним деление многочленов \(x^2\) на \((4x - 3)\):
\(x^2 = (4x - 3) \cdot \frac{x}{4} + \frac{3x}{4}\)

Подставим:
\(y = \frac{x}{4} + \frac{3x/4 - 11}{4x - 3}\)

При \(x \to \infty\) второе слагаемое стремится к нулю, поэтому \(k = \frac{1}{4}\).

Теперь найдем \(b\):
\(b = \lim_{x \to \infty} (y - kx) = \lim_{x \to \infty} (\frac{x^2 - 11}{4x - 3} - \frac{x}{4})\)

Преобразуем:
\(b = \lim_{x \to \infty} \frac{4(x^2 - 11) - x(4x - 3)}{4(4x - 3)} = \lim_{x \to \infty} \frac{4x^2 - 44 - 4x^2 + 3x}{16x - 12} = \lim_{x \to \infty} \frac{3x - 44}{16x - 12}\)

При \(x \to \infty\):
\(b = \lim_{x \to \infty} \frac{3x - 44}{16x - 12} = \frac{3}{16}\)

Таким образом, наклонная асимптота: \(y = \frac{1}{4}x + \frac{3}{16}\).

5. Исследование на монотонность и экстремумы

Найдем производную функции, используя правило дифференцирования частного:

\(y' = \frac{(x^2 - 11)'(4x - 3) - (x^2 - 11)(4x - 3)'}{(4x - 3)^2} = \frac{2x(4x - 3) - (x^2 - 11) \cdot 4}{(4x - 3)^2}\)

Упростим числитель:
\(y' = \frac{8x^2 - 6x - 4x^2 + 44}{(4x - 3)^2} = \frac{4x^2 - 6x + 44}{(4x - 3)^2}\)

Для нахождения критических точек приравняем числитель к нулю:
\(4x^2 - 6x + 44 = 0\)

Решим квадратное уравнение:
Дискриминант: \(D = (-6)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 44 = 36 - 704 = -668 < 0\)

Поскольку дискриминант отрицательный, уравнение не имеет действительных корней. Это означает, что производная не меняет знак, и функция монотонна на всей области определения.

Так как знаменатель производной \((4x - 3)^2\) всегда положительный, а числитель \(4x^2 - 6x + 44\) также всегда положительный (так как дискриминант отрицательный), то \(y' > 0\) на всей области определения. Следовательно, функция строго возрастает на всей области определения.

6. Исследование на выпуклость и точки перегиба

Найдем вторую производную:

\(y'' = (y')' = \frac{d}{dx}\left(\frac{4x^2 - 6x + 44}{(4x - 3)^2}\right)\)

Используя правило дифференцирования частного:

\(y'' = \frac{(4x^2 - 6x + 44)'(4x - 3)^2 - (4x^2 - 6x + 44)(4x - 3)^2'}{(4x - 3)^4}\)

Вычислим производные:
\((4x^2 - 6x + 44)' = 8x - 6\)
\((4x - 3)^2' = 2(4x - 3) \cdot 4 = 8(4x - 3)\)

Подставим:
\(y'' = \frac{(8x - 6)(4x - 3)^2 - (4x^2 - 6x + 44) \cdot 8(4x - 3)}{(4x - 3)^4}\)

После упрощения получаем:
\(y'' = \frac{-88}{(4x - 3)^3}\)

Знак второй производной зависит только от знаменателя \((4x - 3)^3\), так как числитель \(-88\) всегда отрицательный.

Если \(x < \frac{3}{4}\), то \((4x - 3) < 0\), и \((4x - 3)^3 < 0\), поэтому \(y'' > 0\), и график функции выпуклый вверх (вогнутый).

Если \(x > \frac{3}{4}\), то \((4x - 3) > 0\), и \((4x - 3)^3 > 0\), поэтому \(y'' < 0\), и график функции выпуклый вниз (выпуклый).

Точек перегиба нет, так как вторая производная не обращается в ноль.

7. Построение графика

На основе проведенного исследования можно построить график функции, учитывая следующие особенности:

1. Вертикальная асимптота: \(x = \frac{3}{4}\)
2. Наклонная асимптота: \(y = \frac{1}{4}x + \frac{3}{16}\)
3. Точки пересечения с осями: \((0, \frac{11}{3})\), \((-\sqrt{11}, 0)\), \((\sqrt{11}, 0)\)
4. Функция возрастает на всей области определения
5. График выпуклый вверх при \(x < \frac{3}{4}\) и выпуклый вниз при \(x > \frac{3}{4}\)

График состоит из двух ветвей, разделенных вертикальной асимптотой \(x = \frac{3}{4}\). При \(x \to -\infty\) и \(x \to +\infty\) график приближается к наклонной асимптоте.