Решение задач на вычисление значений выражений и сравнение чисел

Задание 6

Найдите значение выражения \(14 \cdot \left(\frac{1}{7}\right)^2 - 9 \cdot \frac{1}{7}\)

Решение:

Разобьем решение на несколько шагов:

Шаг 1: Вычислим значение \(\left(\frac{1}{7}\right)^2\)
\(\left(\frac{1}{7}\right)^2 = \frac{1}{7} \cdot \frac{1}{7} = \frac{1}{49}\)

Шаг 2: Умножим \(14\) на полученное значение
\(14 \cdot \left(\frac{1}{7}\right)^2 = 14 \cdot \frac{1}{49} = \frac{14}{49}\)

Шаг 3: Вычислим значение \(9 \cdot \frac{1}{7}\)
\(9 \cdot \frac{1}{7} = \frac{9}{7}\)

Шаг 4: Найдем разность полученных значений
\(14 \cdot \left(\frac{1}{7}\right)^2 - 9 \cdot \frac{1}{7} = \frac{14}{49} - \frac{9}{7}\)

Приведем к общему знаменателю:
\(\frac{14}{49} - \frac{9}{7} = \frac{14}{49} - \frac{9 \cdot 7}{7 \cdot 7} = \frac{14}{49} - \frac{63}{49} = \frac{14 - 63}{49} = \frac{-49}{49} = -1\)

Ответ: \(-1\)

Задание 7

О числах \(a\) и \(b\) известно, что \(a > b\). Среди приведенных ниже выберите верное.

1) \(a - b > -5\)
2) \(a - b < -4\)
3) \(b - a > 6\)
4) \(b - a > 0\)

Решение:

По условию \(a > b\), следовательно, \(a - b > 0\).

Рассмотрим каждое из предложенных неравенств:

1) \(a - b > -5\). Так как \(a - b > 0\), а \(0 > -5\), то \(a - b > -5\) верно.
2) \(a - b < -4\). Так как \(a - b > 0\), а \(0 > -4\), то \(a - b\) не может быть меньше \(-4\). Неверно.
3) \(b - a > 6\). Так как \(a > b\), то \(b - a < 0\), а значит, \(b - a\) не может быть больше \(6\). Неверно.
4) \(b - a > 0\). Так как \(a > b\), то \(b - a < 0\). Неверно.

Таким образом, верным является только первое неравенство.

Ответ: 1

Задание

Найдите f(2), если f(x-4)=17-x

Решение:

Нам дано функциональное уравнение f(x-4)=17-x. Чтобы найти значение f(2), нам нужно определить, какому значению аргумента x-4 соответствует значение 2.

Пусть x-4 = 2
Тогда x = 6

Подставим значение x = 6 в исходное уравнение:
f(6-4) = 17-6
f(2) = 11

Таким образом, значение функции f в точке 2 равно 11.

Ответ: f(2) = 11

Задание

При каком значении x значения выражения 5x+7 и 3x+11 равны?

Решение:

Чтобы найти значение x, при котором выражения 5x+7 и 3x+11 равны, нужно приравнять эти выражения и решить полученное уравнение:

5x + 7 = 3x + 11

Перенесем члены с x в одну сторону, а числа в другую:

5x - 3x = 11 - 7

Упростим уравнение:

2x = 4

Разделим обе части уравнения на 2:

x = 2

Таким образом, значения выражений 5x+7 и 3x+11 равны при x = 2.

Ответ: x = 2

Задание

На 1000 родившихся младенцев в среднем пришлось 483 девочки. На сколько частота рождения девочек в 2020 г. в этом регионе отличалась от вероятности этого события?

Решение:

1. Определим частоту рождения девочек в регионе:
   Частота = (Количество девочек) / (Общее количество младенцев) = 483 / 1000 = 0.483

2. Вероятность рождения девочки (теоретическая) равна 0.5 (если считать, что мальчиков и девочек рождается одинаково часто).

3. Найдем разницу между частотой в регионе и теоретической вероятностью:
   Разница = |Частота в регионе - Вероятность| = |0.483 - 0.5| = |-0.017| = 0.017

Ответ: 0.017

Замечание: В предоставленном изображении ответ указан как 0.005, что не соответствует правильному решению.

Задание 8

Найдите f(2), если f(x-4)=17-x

Решение:

Нам дано функциональное уравнение f(x-4)=17-x. Чтобы найти значение f(2), нам нужно определить, какому значению аргумента x-4 соответствует значение 2.

Пусть x-4 = 2
Тогда x = 6

Подставим значение x = 6 в исходное уравнение:
f(6-4) = 17-6
f(2) = 11

Таким образом, значение функции f в точке 2 равно 11.

Ответ: f(2) = 11

Задание 9

При каком значении x значения выражения 5x+7 и 3x+11 равны?

Решение:

Чтобы найти значение x, при котором выражения 5x+7 и 3x+11 равны, нужно приравнять эти выражения и решить полученное уравнение:

5x + 7 = 3x + 11

Перенесем члены с x в одну сторону, а числа в другую:

5x - 3x = 11 - 7

Упростим уравнение:

2x = 4

Разделим обе части уравнения на 2:

x = 2

Таким образом, значения выражений 5x+7 и 3x+11 равны при x = 2.

Ответ: x = 2

Задание 10

Известно, что в некотором регионе вероятность того, что родившийся младенец окажется мальчиком, равна 0,522. В 2020 г. в этом регионе на 1000 родившихся младенцев в среднем пришлось 483 девочки. На сколько частота рождения девочек в 2020 г. в этом регионе отличалась от вероятности этого события?

Решение:

1. Определим вероятность рождения девочки:
   Так как вероятность рождения мальчика равна 0.522, то вероятность рождения девочки равна 1 - 0.522 = 0.478.

2. Определим частоту рождения девочек в регионе:
   Частота = (Количество девочек) / (Общее количество младенцев) = 483 / 1000 = 0.483

3. Найдем разницу между частотой в регионе и вероятностью рождения девочки:
   Разница = |Частота в регионе - Вероятность| = |0.483 - 0.478| = 0.005

Ответ: 0.005

Задание 12

Длину окружности C можно вычислить по формуле C = 2πR, где R – радиус окружности. Пользуясь этой формулой, найдите радиус окружности, если её длина равна 58π.

Решение:

Нам дана формула длины окружности: C = 2πR
Нам известна длина окружности: C = 58π

Подставим известное значение в формулу и найдем радиус R:

58π = 2πR

Разделим обе части уравнения на 2π:

R = 58π / (2π)

R = 29

Таким образом, радиус окружности равен 29.

Ответ: 29

Задание 13

При каких значениях x значение выражения 10x + 11 меньше значения выражения 9x – 8?
В ответе укажите номер правильного варианта.

1) x > 19
2) x < 1
3) x > -14
4) x < -19

Решение:

Нам нужно найти значения x, при которых выполняется неравенство:

10x + 11 < 9x - 8

Перенесем члены с x в одну сторону, а числа в другую:

10x - 9x < -8 - 11

Упростим неравенство:

x < -19

Таким образом, значение выражения 10x + 11 меньше значения выражения 9x – 8 при x < -19.

Ответ: 4

Задание 15

Диагональ AC параллелограмма ABCD образует с его сторонами углы, равные 43° и 18° (см. рис. 35). Найдите больший угол параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

Решение:

1. Найдем угол A параллелограмма:
   Угол A = 43° + 18° = 61°

2. В параллелограмме противоположные углы равны. Следовательно, угол C = углу A = 61°

3. Сумма углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма, равна 180°. Следовательно, угол B = 180° - угол A = 180° - 61° = 119°

4. В параллелограмме противоположные углы равны. Следовательно, угол D = углу B = 119°

5. Больший угол параллелограмма равен 119°.

Ответ: 119

Задание 16

Найдите градусную меру центрального ∠BOC, если известно, что AB – диаметр, а градусная мера ∠ABC равна 12° (см. рис. 36).

Решение:

1. Угол ABC - вписанный угол, опирающийся на дугу AC. Градусная мера вписанного угла равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается. Следовательно, дуга AC = 2 * ∠ABC = 2 * 12° = 24°

2. Угол AOC - центральный угол, опирающийся на дугу AC. Градусная мера центрального угла равна градусной мере дуги, на которую он опирается. Следовательно, ∠AOC = дуга AC = 24°

3. AB - диаметр, следовательно, ∠AOB - развернутый угол, равный 180°.

4. ∠BOC = ∠AOB - ∠AOC = 180° - 24° = 156°

Ответ: 156

Задание 14

Михаил готовится к олимпиаде по физике. Ему нужно решить 258 задач за 12 дней. В первый день он решил 5 задач, а в каждый последующий день Михаил решал на одно и то же количество задач больше, чем в предыдущий день. Сколько задач решил Михаил в сумме за второй и восьмой дни?

Решение:

Пусть \(a_1\) - количество задач, решенных в первый день, \(d\) - разность арифметической прогрессии (на сколько задач больше решал Михаил каждый день).

Тогда количество задач, решенных в \(n\)-й день, можно выразить как \(a_n = a_1 + (n-1)d\).

Сумма \(n\) членов арифметической прогрессии равна \(S_n = \frac{n}{2}(2a_1 + (n-1)d)\).

В нашем случае \(a_1 = 5\), \(n = 12\), \(S_{12} = 258\).

Подставим известные значения в формулу суммы:

\(258 = \frac{12}{2}(2 \cdot 5 + (12-1)d)\)
\(258 = 6(10 + 11d)\)
\(43 = 10 + 11d\)
\(33 = 11d\)
\(d = 3\)

Теперь найдем количество задач, решенных во второй и восьмой дни:

\(a_2 = a_1 + d = 5 + 3 = 8\)
\(a_8 = a_1 + 7d = 5 + 7 \cdot 3 = 5 + 21 = 26\)

Сумма задач, решенных во второй и восьмой дни:

\(a_2 + a_8 = 8 + 26 = 34\)

Ответ: 34

Задание 11

На рисунке 34 изображены графики функций вида y = ax² + bx + c. Установите соответствие между знаками коэффициентов a и c и графиками функций.

КОЭФФИЦИЕНТЫ
А) a > 0, c < 0
Б) a < 0, c > 0
В) a > 0, c > 0

ГРАФИКИ
1)
2)
3)
4)

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

Решение:

• А) a > 0, c < 0

  • a > 0 означает, что ветви параболы направлены вверх.
  • c < 0 означает, что график пересекает ось y в точке с отрицательной координатой y.
  • Этому условию соответствует график 1.

• Б) a < 0, c > 0

  • a < 0 означает, что ветви параболы направлены вниз.
  • c > 0 означает, что график пересекает ось y в точке с положительной координатой y.
  • Этому условию соответствует график 3.

• В) a > 0, c > 0

  • a > 0 означает, что ветви параболы направлены вверх.
  • c > 0 означает, что график пересекает ось y в точке с положительной координатой y.
  • Этому условию соответствует график 2.

• График 4: a < 0, c < 0

Ответ:

Задание 17

Найдите площадь квадрата, если его диагональ равна 5 (см. рис. 37).

Решение:

Пусть сторона квадрата равна a, а диагональ равна d. Тогда по теореме Пифагора:

a² + a² = d²

2a² = d²

Площадь квадрата S = a². Выразим a² через d²:

a² = d²/2

S = d²/2

Подставим значение диагонали d = 5:

S = 5²/2 = 25/2 = 12.5

Ответ: 12.5

Задание 18

Найдите тангенс угла AOB (см. рис. 38).

Решение:

Тангенс угла в прямоугольном треугольнике - это отношение противолежащего катета к прилежащему катету.

На рисунке 38 изображен угол AOB. По рисунку можно определить координаты точек A и B. Пусть O - начало координат (0, 0).

Координаты точки A: (4, 0)
Координаты точки B: (6, 5)

Чтобы найти тангенс угла AOB, нужно рассмотреть прямоугольный треугольник, образованный точкой B, ее проекцией на ось x (точка (6, 0)) и точкой O.

Противолежащий катет (высота) равен 5.
Прилежащий катет (основание) равен 6.

Тогда тангенс угла AOB равен отношению противолежащего катета к прилежащему:

tg(AOB) = 5/6

Ответ: 5/6

Задание 6: Найдите значение выражения \(24 \cdot (\frac{1}{6})^2 - 10 \cdot \frac{1}{6}\).

Решение:

1. Вычислим \((\frac{1}{6})^2 = \frac{1}{36}\).
2. Вычислим \(24 \cdot \frac{1}{36} = \frac{24}{36} = \frac{2}{3}\).
3. Вычислим \(10 \cdot \frac{1}{6} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3}\).
4. Вычислим \(\frac{2}{3} - \frac{5}{3} = \frac{2-5}{3} = \frac{-3}{3} = -1\).

Ответ: -1

Задание 7: О числах \(a\) и \(b\) известно, что \(a > b\). Среди приведённых ниже неравенств выберите верное.

Решение:

Поскольку \(a > b\), то \(a - b > 0\) и \(b - a < 0\).

Рассмотрим предложенные варианты:

1. \(a - b < -5\) - неверно, так как \(a - b > 0\).
2. \(a - b > -1\) - верно, так как \(a - b > 0\), а \(0 > -1\).
3. \(b - a > 2\) - неверно, так как \(b - a < 0\).
4. \(b - a > 0\) - неверно, так как \(b - a < 0\).

Таким образом, верный вариант - 2.

Ответ: 2

Задание 8: Найдите \(f(-1)\), если \(f(x-3) = 25 + x\).

Решение:

Чтобы найти \(f(-1)\), нужно найти такое значение \(x\), чтобы \(x - 3 = -1\).

Решим уравнение \(x - 3 = -1\):
\(x = -1 + 3\)
\(x = 2\)

Теперь подставим \(x = 2\) в выражение для \(f(x-3)\):
\(f(2 - 3) = 25 + 2\)
\(f(-1) = 27\)

Ответ: 27

Задание 9: При каком значении \(x\) выражения \(3x^2 + 16\) и \(7x - 8\) равны?

Решение:

Чтобы найти значение \(x\), при котором выражения равны, нужно приравнять их и решить уравнение:
\(3x^2 + 16 = 7x - 8\)

Перенесем все члены в левую часть уравнения:
\(3x^2 - 7x + 16 + 8 = 0\)
\(3x^2 - 7x + 24 = 0\)

Найдем дискриминант \(D = b^2 - 4ac\):
\(D = (-7)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 24 = 49 - 288 = -239\)

Так как дискриминант отрицательный, уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: Уравнение не имеет действительных решений.

Задание 10: Известно, что в некотором регионе вероятность того, что родившийся младенец окажется мальчиком, равна 0,518. В 2020 г. в этом регионе из 1000 родившихся младенцев в среднем пришлось 490 девочек. На сколько частота рождения девочек в 2020 г. в этом регионе отличалась от вероятности этого события?

Решение:

1. Найдем частоту рождения девочек в 2020 году: \(\frac{490}{1000} = 0,49\).
2. Вероятность рождения девочки равна \(1 - 0,518 = 0,482\).
3. Найдем разницу между частотой рождения девочек и вероятностью этого события: \(|0,49 - 0,482| = 0,008\).

Ответ: 0,008