Решение интегралов методом замены переменной и интегрирования по частям

Привет! Давай разберем эти интегралы.

Задание 13a

Вычислим интеграл:
$\int \frac{e^{\arctan x}}{1+x^2} dx$

Заметим, что производная $\arctan x$ равна $\frac{1}{1+x^2}$. Поэтому можно сделать замену:

$t = \arctan x$, тогда $dt = \frac{1}{1+x^2} dx$.

Тогда интеграл преобразуется к виду:
$\int e^t dt = e^t + C$

Возвращаемся к исходной переменной:
$e^{\arctan x} + C$

Ответ: $\int \frac{e^{\arctan x}}{1+x^2} dx = e^{\arctan x} + C$

1 Объяснить подробнее 1 Показать теорию

Задание 13б

Вычислим интеграл:
$\int \frac{14x+3}{7x^2+3x-1} dx$

Заметим, что производная знаменателя $7x^2+3x-1$ равна $14x+3$, что является числителем. Поэтому можно сделать замену:

$t = 7x^2+3x-1$, тогда $dt = (14x+3) dx$.

Тогда интеграл преобразуется к виду:
$\int \frac{1}{t} dt = \ln |t| + C$

Возвращаемся к исходной переменной:
$\ln |7x^2+3x-1| + C$

Ответ: $\int \frac{14x+3}{7x^2+3x-1} dx = \ln |7x^2+3x-1| + C$

1 Объяснить подробнее 1 Показать теорию

Задание 13в

Вычислим интеграл:
$\int x^3 \ln x \, dx$

Здесь нужно использовать интегрирование по частям:
$\int u \, dv = uv - \int v \, du$

Пусть $u = \ln x$, тогда $du = \frac{1}{x} dx$.
Пусть $dv = x^3 dx$, тогда $v = \int x^3 dx = \frac{x^4}{4}$.

Применяем формулу интегрирования по частям:
$\int x^3 \ln x \, dx = \ln x \cdot \frac{x^4}{4} - \int \frac{x^4}{4} \cdot \frac{1}{x} dx = \frac{x^4}{4} \ln x - \frac{1}{4} \int x^3 dx$

$\frac{x^4}{4} \ln x - \frac{1}{4} \cdot \frac{x^4}{4} + C = \frac{x^4}{4} \ln x - \frac{x^4}{16} + C$

Ответ: $\int x^3 \ln x \, dx = \frac{x^4}{4} \ln x - \frac{x^4}{16} + C$

1 Объяснить подробнее 1 Показать теорию

Варианты продолжения:

1 Продолжить решение 1 Изучить тему

Решить свое задание по фото

Текст скопирован

Готово

Ошибка

Решение интегралов методом замены переменной и интегрирования по частям

Задание 13a

Задание 13б

Задание 13в

Недостаточно энергии 😕Вам нужно пополнить баланс

Настройки

Привет 👋Я помогу тебе учиться и развиваться 🥰

Недостаточно энергии 😕
Вам нужно пополнить баланс

Привет 👋
Я помогу тебе учиться и развиваться 🥰