Решение интегралов методом замены переменной и интегрирования по частям

Привет! Давай разберем эти интегралы.

Задание 13a

Вычислим интеграл:
\(\int \frac{e^{\arctan x}}{1+x^2} dx\)

Заметим, что производная \(\arctan x\) равна \(\frac{1}{1+x^2}\). Поэтому можно сделать замену:

\(t = \arctan x\), тогда \(dt = \frac{1}{1+x^2} dx\).

Тогда интеграл преобразуется к виду:
\(\int e^t dt = e^t + C\)

Возвращаемся к исходной переменной:
\(e^{\arctan x} + C\)

Ответ: \(\int \frac{e^{\arctan x}}{1+x^2} dx = e^{\arctan x} + C\)

Задание 13б

Вычислим интеграл:
\(\int \frac{14x+3}{7x^2+3x-1} dx\)

Заметим, что производная знаменателя \(7x^2+3x-1\) равна \(14x+3\), что является числителем. Поэтому можно сделать замену:

\(t = 7x^2+3x-1\), тогда \(dt = (14x+3) dx\).

Тогда интеграл преобразуется к виду:
\(\int \frac{1}{t} dt = \ln |t| + C\)

Возвращаемся к исходной переменной:
\(\ln |7x^2+3x-1| + C\)

Ответ: \(\int \frac{14x+3}{7x^2+3x-1} dx = \ln |7x^2+3x-1| + C\)

Задание 13в

Вычислим интеграл:
\(\int x^3 \ln x \, dx\)

Здесь нужно использовать интегрирование по частям:
\(\int u \, dv = uv - \int v \, du\)

Пусть \(u = \ln x\), тогда \(du = \frac{1}{x} dx\).
Пусть \(dv = x^3 dx\), тогда \(v = \int x^3 dx = \frac{x^4}{4}\).

Применяем формулу интегрирования по частям:
\(\int x^3 \ln x \, dx = \ln x \cdot \frac{x^4}{4} - \int \frac{x^4}{4} \cdot \frac{1}{x} dx = \frac{x^4}{4} \ln x - \frac{1}{4} \int x^3 dx\)

\(\frac{x^4}{4} \ln x - \frac{1}{4} \cdot \frac{x^4}{4} + C = \frac{x^4}{4} \ln x - \frac{x^4}{16} + C\)

Ответ: \(\int x^3 \ln x \, dx = \frac{x^4}{4} \ln x - \frac{x^4}{16} + C\)