Решение пределов функций без правила Лопиталя

Здравствуйте! Давайте найдем пределы функций, не используя правило Лопиталя.

Задание a)

$\lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x}(x-8)}{3\sqrt{x^5} - \sqrt{x^3} + \sqrt{x}}$

1. Преобразуем выражение:

$\frac{\sqrt{x}(x-8)}{3\sqrt{x^5} - \sqrt{x^3} + \sqrt{x}} = \frac{x^{3/2} - 8x^{1/2}}{3x^{5/2} - x^{3/2} + x^{1/2}}$

2. Разделим числитель и знаменатель на $x^{5/2}$ (наивысшая степень в знаменателе):

$\frac{\frac{x^{3/2}}{x^{5/2}} - \frac{8x^{1/2}}{x^{5/2}}}{\frac{3x^{5/2}}{x^{5/2}} - \frac{x^{3/2}}{x^{5/2}} + \frac{x^{1/2}}{x^{5/2}}} = \frac{\frac{1}{x} - \frac{8}{x^2}}{3 - \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}}$

3. Найдем предел при $x \to \infty$:

$\lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x} - \frac{8}{x^2}}{3 - \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}} = \frac{0 - 0}{3 - 0 + 0} = \frac{0}{3} = 0$

Ответ: $\lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x}(x-8)}{3\sqrt{x^5} - \sqrt{x^3} + \sqrt{x}} = 0$

Задание б)

$\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - x^4}{2\sqrt{x-2}}$

1. Преобразуем числитель:

$x^2 - x^4 = x^2(1 - x^2) = x^2(1 - x)(1 + x)$

2. Проанализируем предел:
   При $x \to 2$, числитель стремится к $2^2 - 2^4 = 4 - 16 = -12$, а знаменатель стремится к $2\sqrt{2-2} = 0$. Поскольку числитель не стремится к нулю, а знаменатель стремится к нулю, предел будет равен бесконечности. Однако, нужно определить знак бесконечности.

3. Определим знак предела:
   При $x \to 2^+$, $x-2 > 0$, поэтому $\sqrt{x-2}$ определен и положителен. Знаменатель $2\sqrt{x-2}$ положителен. Числитель $x^2 - x^4$ при $x$ близком к 2 отрицателен (как мы выяснили выше). Следовательно, предел будет отрицательной бесконечностью.

Ответ: $\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - x^4}{2\sqrt{x-2}} = -\infty$

Задание в)

$\lim_{x \to 0} \frac{(\cos(2x^2) - 1)3x}{\arctan(2x^3) \cdot \sin(x)}$

1. Используем эквивалентные бесконечно малые:

   • $\cos(u) - 1 \approx -\frac{u^2}{2}$ при $u \to 0$
   • $\arctan(u) \approx u$ при $u \to 0$
   • $\sin(u) \approx u$ при $u \to 0$

2. Заменим функции на эквивалентные:

$\lim_{x \to 0} \frac{(-\frac{(2x^2)^2}{2})3x}{(2x^3) \cdot x} = \lim_{x \to 0} \frac{(-\frac{4x^4}{2})3x}{2x^4} = \lim_{x \to 0} \frac{-2x^4 \cdot 3x}{2x^4} = \lim_{x \to 0} \frac{-6x^5}{2x^4}$

3. Упростим выражение:

$\lim_{x \to 0} -3x = 0$

Ответ: $\lim_{x \to 0} \frac{(\cos(2x^2) - 1)3x}{\arctan(2x^3) \cdot \sin(x)} = 0$

Ассистент: Конечно, давайте разберем решение задания (в) максимально подробно.

Задание в)

$\lim_{x \to 0} \frac{(\cos(2x^2) - 1)3x}{\arctan(2x^3) \cdot \sin(x)}$

1. Анализ предела:
   При $x \to 0$, числитель и знаменатель стремятся к нулю. Это неопределенность вида $\frac{0}{0}$, поэтому мы можем использовать эквивалентные бесконечно малые функции.

2. Вспоминаем эквивалентные бесконечно малые функции:

   • $\cos(u) - 1 \approx -\frac{u^2}{2}$ при $u \to 0$
   • $\arctan(u) \approx u$ при $u \to 0$
   • $\sin(u) \approx u$ при $u \to 0$

3. Применяем эквивалентные бесконечно малые:

   • В нашем случае $u = 2x^2$ для косинуса, поэтому $\cos(2x^2) - 1 \approx -\frac{(2x^2)^2}{2} = -\frac{4x^4}{2} = -2x^4$
   • Для арктангенса $u = 2x^3$, поэтому $\arctan(2x^3) \approx 2x^3$
   • Для синуса $u = x$, поэтому $\sin(x) \approx x$

4. Заменяем функции на эквивалентные в пределе:

$\lim_{x \to 0} \frac{(\cos(2x^2) - 1)3x}{\arctan(2x^3) \cdot \sin(x)} = \lim_{x \to 0} \frac{(-2x^4) \cdot 3x}{(2x^3) \cdot x}$

5. Упрощаем выражение:

$\lim_{x \to 0} \frac{-6x^5}{2x^4} = \lim_{x \to 0} -3x$

6. Вычисляем предел:

$\lim_{x \to 0} -3x = -3 \cdot 0 = 0$

Ответ: $\lim_{x \to 0} \frac{(\cos(2x^2) - 1)3x}{\arctan(2x^3) \cdot \sin(x)} = 0$