Решение пределов функций без правила Лопиталя

Здравствуйте! Давайте найдем пределы функций, не используя правило Лопиталя.

Задание a)

\(\lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x}(x-8)}{3\sqrt{x^5} - \sqrt{x^3} + \sqrt{x}}\)

1. Преобразуем выражение:

\(\frac{\sqrt{x}(x-8)}{3\sqrt{x^5} - \sqrt{x^3} + \sqrt{x}} = \frac{x^{3/2} - 8x^{1/2}}{3x^{5/2} - x^{3/2} + x^{1/2}}\)

2. Разделим числитель и знаменатель на \(x^{5/2}\) (наивысшая степень в знаменателе):

\(\frac{\frac{x^{3/2}}{x^{5/2}} - \frac{8x^{1/2}}{x^{5/2}}}{\frac{3x^{5/2}}{x^{5/2}} - \frac{x^{3/2}}{x^{5/2}} + \frac{x^{1/2}}{x^{5/2}}} = \frac{\frac{1}{x} - \frac{8}{x^2}}{3 - \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}}\)

3. Найдем предел при \(x \to \infty\):

\(\lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x} - \frac{8}{x^2}}{3 - \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}} = \frac{0 - 0}{3 - 0 + 0} = \frac{0}{3} = 0\)

Ответ: \(\lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x}(x-8)}{3\sqrt{x^5} - \sqrt{x^3} + \sqrt{x}} = 0\)

Задание б)

\(\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - x^4}{2\sqrt{x-2}}\)

1. Преобразуем числитель:

\(x^2 - x^4 = x^2(1 - x^2) = x^2(1 - x)(1 + x)\)

2. Проанализируем предел:
   При \(x \to 2\), числитель стремится к \(2^2 - 2^4 = 4 - 16 = -12\), а знаменатель стремится к \(2\sqrt{2-2} = 0\). Поскольку числитель не стремится к нулю, а знаменатель стремится к нулю, предел будет равен бесконечности. Однако, нужно определить знак бесконечности.

3. Определим знак предела:
   При \(x \to 2^+\), \(x-2 > 0\), поэтому \(\sqrt{x-2}\) определен и положителен. Знаменатель \(2\sqrt{x-2}\) положителен. Числитель \(x^2 - x^4\) при \(x\) близком к 2 отрицателен (как мы выяснили выше). Следовательно, предел будет отрицательной бесконечностью.

Ответ: \(\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - x^4}{2\sqrt{x-2}} = -\infty\)

Задание в)

\(\lim_{x \to 0} \frac{(\cos(2x^2) - 1)3x}{\arctan(2x^3) \cdot \sin(x)}\)

1. Используем эквивалентные бесконечно малые:

   • \(\cos(u) - 1 \approx -\frac{u^2}{2}\) при \(u \to 0\)
   • \(\arctan(u) \approx u\) при \(u \to 0\)
   • \(\sin(u) \approx u\) при \(u \to 0\)

2. Заменим функции на эквивалентные:

\(\lim_{x \to 0} \frac{(-\frac{(2x^2)^2}{2})3x}{(2x^3) \cdot x} = \lim_{x \to 0} \frac{(-\frac{4x^4}{2})3x}{2x^4} = \lim_{x \to 0} \frac{-2x^4 \cdot 3x}{2x^4} = \lim_{x \to 0} \frac{-6x^5}{2x^4}\)

3. Упростим выражение:

\(\lim_{x \to 0} -3x = 0\)

Ответ: \(\lim_{x \to 0} \frac{(\cos(2x^2) - 1)3x}{\arctan(2x^3) \cdot \sin(x)} = 0\)

Ассистент: Конечно, давайте разберем решение задания (в) максимально подробно.

Задание в)

\(\lim_{x \to 0} \frac{(\cos(2x^2) - 1)3x}{\arctan(2x^3) \cdot \sin(x)}\)

1. Анализ предела:
   При \(x \to 0\), числитель и знаменатель стремятся к нулю. Это неопределенность вида \(\frac{0}{0}\), поэтому мы можем использовать эквивалентные бесконечно малые функции.

2. Вспоминаем эквивалентные бесконечно малые функции:

   • \(\cos(u) - 1 \approx -\frac{u^2}{2}\) при \(u \to 0\)
   • \(\arctan(u) \approx u\) при \(u \to 0\)
   • \(\sin(u) \approx u\) при \(u \to 0\)

3. Применяем эквивалентные бесконечно малые:

   • В нашем случае \(u = 2x^2\) для косинуса, поэтому \(\cos(2x^2) - 1 \approx -\frac{(2x^2)^2}{2} = -\frac{4x^4}{2} = -2x^4\)
   • Для арктангенса \(u = 2x^3\), поэтому \(\arctan(2x^3) \approx 2x^3\)
   • Для синуса \(u = x\), поэтому \(\sin(x) \approx x\)

4. Заменяем функции на эквивалентные в пределе:

\(\lim_{x \to 0} \frac{(\cos(2x^2) - 1)3x}{\arctan(2x^3) \cdot \sin(x)} = \lim_{x \to 0} \frac{(-2x^4) \cdot 3x}{(2x^3) \cdot x}\)

5. Упрощаем выражение:

\(\lim_{x \to 0} \frac{-6x^5}{2x^4} = \lim_{x \to 0} -3x\)

6. Вычисляем предел:

\(\lim_{x \to 0} -3x = -3 \cdot 0 = 0\)

Ответ: \(\lim_{x \to 0} \frac{(\cos(2x^2) - 1)3x}{\arctan(2x^3) \cdot \sin(x)} = 0\)