Упрощение алгебраического выражения: дроби и многочлены

Здравствуйте! Я Homiwork, и сейчас помогу вам решить это задание.

Задание 1

Выражение, которое нужно упростить, выглядит так:

\(\frac{3x+6}{x+3} - \frac{x^2-9}{x^2-4}\)

Решение:

1. Разложим на множители числители и знаменатели дробей, чтобы упростить выражение:

   • \(3x + 6 = 3(x + 2)\)
   • \(x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)\)
   • \(x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)\)

2. Перепишем выражение с учетом разложения на множители:

   \(\frac{3(x+2)}{x+3} - \frac{(x-3)(x+3)}{(x-2)(x+2)}\)

3. Приведем дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель будет \((x+3)(x-2)(x+2)\).

   \(\frac{3(x+2)(x-2)(x+2)}{(x+3)(x-2)(x+2)} - \frac{(x-3)(x+3)(x+3)}{(x-2)(x+2)(x+3)}\)

4. Упростим числители:

   \(\frac{3(x+2)^2(x-2) - (x-3)(x+3)^2}{(x+3)(x-2)(x+2)}\)

5. Раскроем скобки в числителе:

   \(\frac{3(x^2+4x+4)(x-2) - (x-3)(x^2+6x+9)}{(x+3)(x-2)(x+2)}\)

   \(\frac{3(x^3+4x^2+4x-2x^2-8x-8) - (x^3+6x^2+9x-3x^2-18x-27)}{(x+3)(x-2)(x+2)}\)

   \(\frac{3(x^3+2x^2-4x-8) - (x^3+3x^2-9x-27)}{(x+3)(x-2)(x+2)}\)

   \(\frac{3x^3+6x^2-12x-24 - x^3-3x^2+9x+27}{(x+3)(x-2)(x+2)}\)

   \(\frac{2x^3+3x^2-3x+3}{(x+3)(x-2)(x+2)}\)

6. Проверим, можно ли упростить числитель. В данном случае числитель не упрощается.

Ответ:

\(\frac{2x^3+3x^2-3x+3}{(x+3)(x-2)(x+2)}\)

Привет! Я Homiwork, давай решим следующее задание.

Задание 2

Выражение, которое нужно упростить, выглядит так:

\(\frac{7}{a+5} - \frac{7a-3}{a^2-25}\)

Решение:

1. Разложим на множители знаменатель второй дроби:

   \(a^2 - 25 = (a - 5)(a + 5)\)

2. Перепишем выражение с учетом разложения на множители:

   \(\frac{7}{a+5} - \frac{7a-3}{(a-5)(a+5)}\)

3. Приведем дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель будет \((a-5)(a+5)\).

   \(\frac{7(a-5)}{(a+5)(a-5)} - \frac{7a-3}{(a-5)(a+5)}\)

4. Упростим числители:

   \(\frac{7(a-5) - (7a-3)}{(a+5)(a-5)}\)

5. Раскроем скобки в числителе:

   \(\frac{7a - 35 - 7a + 3}{(a+5)(a-5)}\)

6. Приведем подобные слагаемые в числителе:

   \(\frac{-32}{(a+5)(a-5)}\)

Ответ:

\(\frac{-32}{(a+5)(a-5)}\)

Или можно записать так:

\(\frac{-32}{a^2-25}\)

Ассистент: Привет! Я Homiwork, давай решим следующее задание.

Задание 3

Выражение, которое нужно упростить, выглядит так:

\(\frac{x^2-16}{x^2+8x+16} : \frac{2x-8}{x+4}\)

Решение:

1. Разложим на множители числители и знаменатели дробей:

   • \(x^2 - 16 = (x - 4)(x + 4)\)
   • \(x^2 + 8x + 16 = (x + 4)^2\)
   • \(2x - 8 = 2(x - 4)\)

2. Перепишем выражение с учетом разложения на множители:

   \(\frac{(x-4)(x+4)}{(x+4)^2} : \frac{2(x-4)}{x+4}\)

3. Заменим деление на умножение на обратную дробь:

   \(\frac{(x-4)(x+4)}{(x+4)^2} \cdot \frac{x+4}{2(x-4)}\)

4. Сократим общие множители:

   \(\frac{(x-4)(x+4)(x+4)}{(x+4)^2 \cdot 2(x-4)}\)

   \(\frac{1}{2}\)

Ответ:

\(\frac{1}{2}\)

Привет! Я Homiwork, и я готов помочь тебе с решением заданий.

Ты уже предоставил решения для трех заданий. Давай я их проверю и дам свои комментарии.

Задание 1

Выражение: \(\frac{3x+6}{x+3} - \frac{x^2-9}{x^2-4}\)

Твое решение:

1. Разложение на множители:

   • \(3x + 6 = 3(x + 2)\)
   • \(x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)\)
   • \(x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)\)
   • Комментарий: Все разложения выполнены верно. Использованы формулы разности квадратов \(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\) и вынесение общего множителя.

2. Переписанное выражение:
   \(\frac{3(x+2)}{x+3} - \frac{(x-3)(x+3)}{(x-2)(x+2)}\)

   • Комментарий: Верно.

3. Приведение к общему знаменателю:
   Общий знаменатель: \((x+3)(x-2)(x+2)\).

   • Комментарий: Здесь есть ошибка. Ты привел дроби к общему знаменателю, но не сократил первую дробь до этого. Если бы ты сократил первую дробь, то общий знаменатель был бы другим. Давай переделаем этот шаг.

Исправленное решение Задания 1:

1. Разложим на множители числители и знаменатели дробей:

   • \(3x + 6 = 3(x + 2)\)
   • \(x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)\)
   • \(x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)\)

2. Перепишем выражение с учетом разложения на множители:
   \(\frac{3(x+2)}{x+3} - \frac{(x-3)(x+3)}{(x-2)(x+2)}\)

3. Сократим дроби, если это возможно.
   В первой дроби сокращений нет.
   Во второй дроби сокращений нет.

   • Комментарий: В твоем решении ты сразу перешел к приведению к общему знаменателю. Однако, если бы в первой дроби был множитель \((x+3)\) в числителе, его можно было бы сократить. В данном случае сокращений нет.

4. Приведем дроби к общему знаменателю.
   Знаменатели: \((x+3)\) и \((x-2)(x+2)\).
   Общий знаменатель: \((x+3)(x-2)(x+2)\).

   Первую дробь умножим на \(\frac{(x-2)(x+2)}{(x-2)(x+2)}\):
   \(\frac{3(x+2) \cdot (x-2)(x+2)}{(x+3) \cdot (x-2)(x+2)} = \frac{3(x+2)^2(x-2)}{(x+3)(x-2)(x+2)}\)

   Вторую дробь умножим на \(\frac{x+3}{x+3}\):
   \(\frac{(x-3)(x+3) \cdot (x+3)}{(x-2)(x+2) \cdot (x+3)} = \frac{(x-3)(x+3)^2}{(x+3)(x-2)(x+2)}\)

   Теперь вычтем дроби:
   \(\frac{3(x+2)^2(x-2) - (x-3)(x+3)^2}{(x+3)(x-2)(x+2)}\)
   * Комментарий: Этот шаг выполнен верно в твоем решении.

5. Раскроем скобки в числителе:
   Используем формулы квадрата суммы \((a+b)^2 = a^2+2ab+b^2\) и разности квадратов \((a-b)(a+b) = a^2-b^2\).

   \(3(x^2+4x+4)(x-2) - (x-3)(x^2+6x+9)\)

   Раскроем первое произведение:
   \(3(x^3 - 2x^2 + 4x^2 - 8x + 4x - 8) = 3(x^3 + 2x^2 - 4x - 8) = 3x^3 + 6x^2 - 12x - 24\)

   Раскроем второе произведение:
   \((x^3 + 6x^2 + 9x - 3x^2 - 18x - 27) = (x^3 + 3x^2 - 9x - 27)\)

   Теперь вычтем:
   \((3x^3 + 6x^2 - 12x - 24) - (x^3 + 3x^2 - 9x - 27)\)
   \(3x^3 + 6x^2 - 12x - 24 - x^3 - 3x^2 + 9x + 27\)
   \(2x^3 + 3x^2 - 3x + 3\)
   * Комментарий: Раскрытие скобок и приведение подобных слагаемых выполнены верно.

Окончательный ответ Задания 1:

\(\frac{2x^3+3x^2-3x+3}{(x+3)(x-2)(x+2)}\)

Твое решение для Задания 1 в целом верное, за исключением небольшого недочета в формулировке шага 3, который не повлиял на конечный результат.

Задание 2

Выражение: \(\frac{7}{a+5} - \frac{7a-3}{a^2-25}\)

Твое решение:

1. Разложим на множители знаменатель второй дроби:
   \(a^2 - 25 = (a - 5)(a + 5)\)

   • Комментарий: Верно. Использована формула разности квадратов \(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\).

2. Перепишем выражение:
   \(\frac{7}{a+5} - \frac{7a-3}{(a-5)(a+5)}\)

   • Комментарий: Верно.

3. Приведем дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель: \((a-5)(a+5)\).
   \(\frac{7(a-5)}{(a+5)(a-5)} - \frac{7a-3}{(a-5)(a+5)}\)

   • Комментарий: Верно.

4. Упростим числители:
   \(\frac{7(a-5) - (7a-3)}{(a+5)(a-5)}\)

   • Комментарий: Верно.

5. Раскроем скобки в числителе:
   \(\frac{7a - 35 - 7a + 3}{(a+5)(a-5)}\)

   • Комментарий: Верно. Важно помнить про знак минус перед скобкой, который меняет знаки всех слагаемых внутри.

6. Приведем подобные слагаемые в числителе:
   \(\frac{-32}{(a+5)(a-5)}\)

   • Комментарий: Верно.

Окончательный ответ Задания 2:

\(\frac{-32}{(a+5)(a-5)}\) или \(\frac{-32}{a^2-25}\)

Твое решение для Задания 2 полностью верное и хорошо структурировано.

Задание 3

Выражение: \(\frac{x^2-16}{x^2+8x+16} : \frac{2x-8}{x+4}\)

Твое решение:

1. Разложим на множители числители и знаменатели дробей:

   • \(x^2 - 16 = (x - 4)(x + 4)\) (формула разности квадратов)
   • \(x^2 + 8x + 16 = (x + 4)^2\) (формула квадрата суммы)
   • \(2x - 8 = 2(x - 4)\) (вынесение общего множителя)
   • Комментарий: Все разложения выполнены верно.

2. Перепишем выражение:
   \(\frac{(x-4)(x+4)}{(x+4)^2} : \frac{2(x-4)}{x+4}\)

   • Комментарий: Верно.

3. Заменим деление на умножение на обратную дробь:
   \(\frac{(x-4)(x+4)}{(x+4)^2} \cdot \frac{x+4}{2(x-4)}\)

   • Комментарий: Верно. Это ключевой шаг при делении дробей.

4. Сократим общие множители:
   \(\frac{(x-4)(x+4)(x+4)}{(x+4)^2 \cdot 2(x-4)}\)

   • Комментарий: Здесь можно было бы сразу сократить \((x+4)\) в числителе с \((x+4)^2\) в знаменателе, оставив \((x+4)\) в знаменателе. И \((x-4)\) в числителе с \((x-4)\) в знаменателе. Твоя запись показывает, что ты перемножил числители и знаменатели, что тоже верно, но можно было сократить до этого.

   После сокращения:
   \(\frac{\cancel{(x-4)}\cancel{(x+4)}\cancel{(x+4)}}{\cancel{(x+4)^2} \cdot 2\cancel{(x-4)}} = \frac{1}{2}\)
   * Комментарий: Сокращение выполнено верно, и результат получен правильно.

Окончательный ответ Задания 3:

\(\frac{1}{2}\)

Твое решение для Задания 3 полностью верное и логичное.

Отличная работа! Все три задания решены правильно. У тебя хорошее понимание алгебраических преобразований, разложения на множители и работы с дробями.