Здравствуйте! Я Homiwork, и сейчас помогу вам решить это задание.

Задание 1

Выражение, которое нужно упростить, выглядит так:

$\frac{3x+6}{x+3} - \frac{x^2-9}{x^2-4}$

Решение:

1. Разложим на множители числители и знаменатели дробей, чтобы упростить выражение:

   • $3x + 6 = 3(x + 2)$
   • $x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)$
   • $x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$

2. Перепишем выражение с учетом разложения на множители:

   $\frac{3(x+2)}{x+3} - \frac{(x-3)(x+3)}{(x-2)(x+2)}$

3. Приведем дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель будет $(x+3)(x-2)(x+2)$.

   $\frac{3(x+2)(x-2)(x+2)}{(x+3)(x-2)(x+2)} - \frac{(x-3)(x+3)(x+3)}{(x-2)(x+2)(x+3)}$

4. Упростим числители:

   $\frac{3(x+2)^2(x-2) - (x-3)(x+3)^2}{(x+3)(x-2)(x+2)}$

5. Раскроем скобки в числителе:

   $\frac{3(x^2+4x+4)(x-2) - (x-3)(x^2+6x+9)}{(x+3)(x-2)(x+2)}$

   $\frac{3(x^3+4x^2+4x-2x^2-8x-8) - (x^3+6x^2+9x-3x^2-18x-27)}{(x+3)(x-2)(x+2)}$

   $\frac{3(x^3+2x^2-4x-8) - (x^3+3x^2-9x-27)}{(x+3)(x-2)(x+2)}$

   $\frac{3x^3+6x^2-12x-24 - x^3-3x^2+9x+27}{(x+3)(x-2)(x+2)}$

   $\frac{2x^3+3x^2-3x+3}{(x+3)(x-2)(x+2)}$

6. Проверим, можно ли упростить числитель. В данном случае числитель не упрощается.

Ответ:

$\frac{2x^3+3x^2-3x+3}{(x+3)(x-2)(x+2)}$

Привет! Я Homiwork, давай решим следующее задание.

Задание 2

Выражение, которое нужно упростить, выглядит так:

$\frac{7}{a+5} - \frac{7a-3}{a^2-25}$

Решение:

1. Разложим на множители знаменатель второй дроби:

   $a^2 - 25 = (a - 5)(a + 5)$

2. Перепишем выражение с учетом разложения на множители:

   $\frac{7}{a+5} - \frac{7a-3}{(a-5)(a+5)}$

3. Приведем дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель будет $(a-5)(a+5)$.

   $\frac{7(a-5)}{(a+5)(a-5)} - \frac{7a-3}{(a-5)(a+5)}$

4. Упростим числители:

   $\frac{7(a-5) - (7a-3)}{(a+5)(a-5)}$

5. Раскроем скобки в числителе:

   $\frac{7a - 35 - 7a + 3}{(a+5)(a-5)}$

6. Приведем подобные слагаемые в числителе:

   $\frac{-32}{(a+5)(a-5)}$

Ответ:

$\frac{-32}{(a+5)(a-5)}$

Или можно записать так:

$\frac{-32}{a^2-25}$

Ассистент: Привет! Я Homiwork, давай решим следующее задание.

Задание 3

Выражение, которое нужно упростить, выглядит так:

$\frac{x^2-16}{x^2+8x+16} : \frac{2x-8}{x+4}$

Решение:

1. Разложим на множители числители и знаменатели дробей:

   • $x^2 - 16 = (x - 4)(x + 4)$
   • $x^2 + 8x + 16 = (x + 4)^2$
   • $2x - 8 = 2(x - 4)$

2. Перепишем выражение с учетом разложения на множители:

   $\frac{(x-4)(x+4)}{(x+4)^2} : \frac{2(x-4)}{x+4}$

3. Заменим деление на умножение на обратную дробь:

   $\frac{(x-4)(x+4)}{(x+4)^2} \cdot \frac{x+4}{2(x-4)}$

4. Сократим общие множители:

   $\frac{(x-4)(x+4)(x+4)}{(x+4)^2 \cdot 2(x-4)}$

   $\frac{1}{2}$

Ответ:

$\frac{1}{2}$

Привет! Я Homiwork, и я готов помочь тебе с решением заданий.

Ты уже предоставил решения для трех заданий. Давай я их проверю и дам свои комментарии.

Задание 1

Выражение: $\frac{3x+6}{x+3} - \frac{x^2-9}{x^2-4}$

Твое решение:

1. Разложение на множители:

   • $3x + 6 = 3(x + 2)$
   • $x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)$
   • $x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$
   • Комментарий: Все разложения выполнены верно. Использованы формулы разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ и вынесение общего множителя.

2. Переписанное выражение:
   $\frac{3(x+2)}{x+3} - \frac{(x-3)(x+3)}{(x-2)(x+2)}$

   • Комментарий: Верно.

3. Приведение к общему знаменателю:
   Общий знаменатель: $(x+3)(x-2)(x+2)$.

   • Комментарий: Здесь есть ошибка. Ты привел дроби к общему знаменателю, но не сократил первую дробь до этого. Если бы ты сократил первую дробь, то общий знаменатель был бы другим. Давай переделаем этот шаг.

Исправленное решение Задания 1:

1. Разложим на множители числители и знаменатели дробей:

   • $3x + 6 = 3(x + 2)$
   • $x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)$
   • $x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$

2. Перепишем выражение с учетом разложения на множители:
   $\frac{3(x+2)}{x+3} - \frac{(x-3)(x+3)}{(x-2)(x+2)}$

3. Сократим дроби, если это возможно.
   В первой дроби сокращений нет.
   Во второй дроби сокращений нет.

   • Комментарий: В твоем решении ты сразу перешел к приведению к общему знаменателю. Однако, если бы в первой дроби был множитель $(x+3)$ в числителе, его можно было бы сократить. В данном случае сокращений нет.

4. Приведем дроби к общему знаменателю.
   Знаменатели: $(x+3)$ и $(x-2)(x+2)$.
   Общий знаменатель: $(x+3)(x-2)(x+2)$.

   Первую дробь умножим на $\frac{(x-2)(x+2)}{(x-2)(x+2)}$:
   $\frac{3(x+2) \cdot (x-2)(x+2)}{(x+3) \cdot (x-2)(x+2)} = \frac{3(x+2)^2(x-2)}{(x+3)(x-2)(x+2)}$

   Вторую дробь умножим на $\frac{x+3}{x+3}$:
   $\frac{(x-3)(x+3) \cdot (x+3)}{(x-2)(x+2) \cdot (x+3)} = \frac{(x-3)(x+3)^2}{(x+3)(x-2)(x+2)}$

   Теперь вычтем дроби:
   $\frac{3(x+2)^2(x-2) - (x-3)(x+3)^2}{(x+3)(x-2)(x+2)}$
   * Комментарий: Этот шаг выполнен верно в твоем решении.

5. Раскроем скобки в числителе:
   Используем формулы квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$ и разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2-b^2$.

   $3(x^2+4x+4)(x-2) - (x-3)(x^2+6x+9)$

   Раскроем первое произведение:
   $3(x^3 - 2x^2 + 4x^2 - 8x + 4x - 8) = 3(x^3 + 2x^2 - 4x - 8) = 3x^3 + 6x^2 - 12x - 24$

   Раскроем второе произведение:
   $(x^3 + 6x^2 + 9x - 3x^2 - 18x - 27) = (x^3 + 3x^2 - 9x - 27)$

   Теперь вычтем:
   $(3x^3 + 6x^2 - 12x - 24) - (x^3 + 3x^2 - 9x - 27)$
   $3x^3 + 6x^2 - 12x - 24 - x^3 - 3x^2 + 9x + 27$
   $2x^3 + 3x^2 - 3x + 3$
   * Комментарий: Раскрытие скобок и приведение подобных слагаемых выполнены верно.

Окончательный ответ Задания 1:

$\frac{2x^3+3x^2-3x+3}{(x+3)(x-2)(x+2)}$

Твое решение для Задания 1 в целом верное, за исключением небольшого недочета в формулировке шага 3, который не повлиял на конечный результат.

Задание 2

Выражение: $\frac{7}{a+5} - \frac{7a-3}{a^2-25}$

Твое решение:

1. Разложим на множители знаменатель второй дроби:
   $a^2 - 25 = (a - 5)(a + 5)$

   • Комментарий: Верно. Использована формула разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.

2. Перепишем выражение:
   $\frac{7}{a+5} - \frac{7a-3}{(a-5)(a+5)}$

   • Комментарий: Верно.

3. Приведем дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель: $(a-5)(a+5)$.
   $\frac{7(a-5)}{(a+5)(a-5)} - \frac{7a-3}{(a-5)(a+5)}$

   • Комментарий: Верно.

4. Упростим числители:
   $\frac{7(a-5) - (7a-3)}{(a+5)(a-5)}$

   • Комментарий: Верно.

5. Раскроем скобки в числителе:
   $\frac{7a - 35 - 7a + 3}{(a+5)(a-5)}$

   • Комментарий: Верно. Важно помнить про знак минус перед скобкой, который меняет знаки всех слагаемых внутри.

6. Приведем подобные слагаемые в числителе:
   $\frac{-32}{(a+5)(a-5)}$

   • Комментарий: Верно.

Окончательный ответ Задания 2:

$\frac{-32}{(a+5)(a-5)}$ или $\frac{-32}{a^2-25}$

Твое решение для Задания 2 полностью верное и хорошо структурировано.

Задание 3

Выражение: $\frac{x^2-16}{x^2+8x+16} : \frac{2x-8}{x+4}$

Твое решение:

1. Разложим на множители числители и знаменатели дробей:

   • $x^2 - 16 = (x - 4)(x + 4)$ (формула разности квадратов)
   • $x^2 + 8x + 16 = (x + 4)^2$ (формула квадрата суммы)
   • $2x - 8 = 2(x - 4)$ (вынесение общего множителя)
   • Комментарий: Все разложения выполнены верно.

2. Перепишем выражение:
   $\frac{(x-4)(x+4)}{(x+4)^2} : \frac{2(x-4)}{x+4}$

   • Комментарий: Верно.

3. Заменим деление на умножение на обратную дробь:
   $\frac{(x-4)(x+4)}{(x+4)^2} \cdot \frac{x+4}{2(x-4)}$

   • Комментарий: Верно. Это ключевой шаг при делении дробей.

4. Сократим общие множители:
   $\frac{(x-4)(x+4)(x+4)}{(x+4)^2 \cdot 2(x-4)}$

   • Комментарий: Здесь можно было бы сразу сократить $(x+4)$ в числителе с $(x+4)^2$ в знаменателе, оставив $(x+4)$ в знаменателе. И $(x-4)$ в числителе с $(x-4)$ в знаменателе. Твоя запись показывает, что ты перемножил числители и знаменатели, что тоже верно, но можно было сократить до этого.

   После сокращения:
   $\frac{\cancel{(x-4)}\cancel{(x+4)}\cancel{(x+4)}}{\cancel{(x+4)^2} \cdot 2\cancel{(x-4)}} = \frac{1}{2}$
   * Комментарий: Сокращение выполнено верно, и результат получен правильно.

Окончательный ответ Задания 3:

$\frac{1}{2}$

Твое решение для Задания 3 полностью верное и логичное.

Отличная работа! Все три задания решены правильно. У тебя хорошее понимание алгебраических преобразований, разложения на множители и работы с дробями.