Привет! На изображении представлена формула для определения максимального изгибающего момента для балки. Давай разберем её.

Задание 1

Формула для определения максимального изгибающего момента ($M$) для балки с равномерно распределенной нагрузкой ($q$) и расчетной длиной ($l_0$) выглядит следующим образом:

$M = \frac{q \cdot l_0^2}{8}$

где:
* $M$ – максимальный изгибающий момент
* $q$ – равномерно распределенная нагрузка на балку (кН/м)
* $l_0$ – расчетная длина балки (м)

Эта формула применяется для балок, опертых по краям и равномерно нагруженных по всей длине.

Задание 1 (Продолжение)

Вывод формулы $M = \frac{q \cdot l_0^2}{8}$ и допущения:

1. Вывод формулы:

   • Рассмотрим балку длиной $l_0$, опертую по краям и нагруженную равномерно распределенной нагрузкой $q$.
   • Реакции опор будут равны $R = \frac{q \cdot l_0}{2}$, так как нагрузка распределена равномерно.
   • Чтобы найти максимальный изгибающий момент, нужно рассмотреть сечение в середине балки (где момент максимален).

   • Изгибающий момент в середине балки можно вычислить как разницу между моментом от опорной реакции и моментом от распределенной нагрузки на половине длины балки:

     $M = R \cdot \frac{l_0}{2} - q \cdot \frac{l_0}{2} \cdot \frac{l_0}{4}$
     * Подставляем значение $R$:

     $M = \frac{q \cdot l_0}{2} \cdot \frac{l_0}{2} - \frac{q \cdot l_0^2}{8}$
     * Упрощаем выражение:

     $M = \frac{q \cdot l_0^2}{4} - \frac{q \cdot l_0^2}{8} = \frac{2 \cdot q \cdot l_0^2 - q \cdot l_0^2}{8} = \frac{q \cdot l_0^2}{8}$

2. Допущения:

   • Балка прямая и имеет постоянное сечение по всей длине.
   • Материал балки однородный и изотропный (свойства одинаковы во всех направлениях).
   • Нагрузка $q$ равномерно распределена по всей длине балки.
   • Опоры балки шарнирные (не препятствуют повороту).
   • Деформации балки малы по сравнению с её длиной (линейная теория упругости).
   • Не учитываются собственный вес балки и другие дополнительные нагрузки.

Ассистент: ## Задание 1 (Продолжение 2)

Вывод формулы $M = \frac{q \cdot l_0^2}{8}$ через дифференциальное уравнение изгиба балки:

1. Дифференциальное уравнение изгиба:

   • Основное дифференциальное уравнение изгиба балки связывает изгибающий момент $M(x)$ с кривизной балки:

     $EI \frac{d^2w}{dx^2} = M(x)$

     где:
     * $E$ – модуль упругости материала балки
     * $I$ – момент инерции сечения балки
     * $w(x)$ – прогиб балки в точке $x$

2. Определение изгибающего момента $M(x)$:

   • Для балки с равномерно распределенной нагрузкой $q$ изгибающий момент в точке $x$ можно выразить как:

     $M(x) = \frac{q \cdot l_0}{2}x - \frac{q \cdot x^2}{2}$

     где:
     * $\frac{q \cdot l_0}{2}$ – опорная реакция
     * $\frac{q \cdot x^2}{2}$ – момент от распределенной нагрузки на участке $x$

3. Решение дифференциального уравнения:

   • Подставляем $M(x)$ в дифференциальное уравнение:

     $EI \frac{d^2w}{dx^2} = \frac{q \cdot l_0}{2}x - \frac{q \cdot x^2}{2}$
     * Интегрируем уравнение дважды:

     $EI \frac{dw}{dx} = \frac{q \cdot l_0}{4}x^2 - \frac{q \cdot x^3}{6} + C_1$

     $EI w(x) = \frac{q \cdot l_0}{12}x^3 - \frac{q \cdot x^4}{24} + C_1x + C_2$

4. Определение констант интегрирования:

   • Используем граничные условия для шарнирно опертой балки:
     • $w(0) = 0 \Rightarrow C_2 = 0$
     • $w(l_0) = 0 \Rightarrow \frac{q \cdot l_0^4}{12} - \frac{q \cdot l_0^4}{24} + C_1l_0 = 0 \Rightarrow C_1 = -\frac{q \cdot l_0^3}{24}$

5. Определение максимального прогиба:

   • Максимальный прогиб находится в середине балки ($x = \frac{l_0}{2}$):

     $EI w(\frac{l_0}{2}) = \frac{q \cdot l_0}{12}(\frac{l_0}{2})^3 - \frac{q}{24}(\frac{l_0}{2})^4 - \frac{q \cdot l_0^3}{24} \cdot \frac{l_0}{2}$

     $EI w(\frac{l_0}{2}) = \frac{q \cdot l_0^4}{96} - \frac{q \cdot l_0^4}{384} - \frac{q \cdot l_0^4}{48} = -\frac{5q \cdot l_0^4}{384}$

   • Максимальный прогиб:

     $w_{max} = -\frac{5q \cdot l_0^4}{384EI}$

6. Определение максимального изгибающего момента:

   • Максимальный изгибающий момент находится в точке, где $\frac{dw}{dx} = 0$. Для равномерно нагруженной балки это середина ($x = \frac{l_0}{2}$).

   • Подставляем $x = \frac{l_0}{2}$ в уравнение для $M(x)$:

     $M_{max} = \frac{q \cdot l_0}{2} \cdot \frac{l_0}{2} - \frac{q \cdot (\frac{l_0}{2})^2}{2} = \frac{q \cdot l_0^2}{4} - \frac{q \cdot l_0^2}{8} = \frac{q \cdot l_0^2}{8}$

Таким образом, мы получили ту же формулу для максимального изгибающего момента:

$M_{max} = \frac{q \cdot l_0^2}{8}$