Язык задания: Русский.

Задание 7

Решите систему уравнений:
$$
\begin{cases}
4y^3 + 4x^2 + 53x + 280 = 24 \
-4y^3 - 37x - 248 = 8
\end{cases}
$$

Пошаговое решение:

1. Упростим каждое уравнение, перенеся константы в правую часть:

   • Первое уравнение:
     $4y^3 + 4x^2 + 53x + 280 = 24$
     $4y^3 + 4x^2 + 53x = 24 - 280$
     $4y^3 + 4x^2 + 53x = -256$ (Уравнение 1')

   • Второе уравнение:
     $-4y^3 - 37x - 248 = 8$
     $-4y^3 - 37x = 8 + 248$
     $-4y^3 - 37x = 256$ (Уравнение 2')

2. Сложим Уравнение 1' и Уравнение 2', чтобы исключить переменную $y^3$:
   $(4y^3 + 4x^2 + 53x) + (-4y^3 - 37x) = -256 + 256$
   $4y^3 + 4x^2 + 53x - 4y^3 - 37x = 0$
   Заметим, что $4y^3$ и $-4y^3$ взаимно уничтожаются.
   $4x^2 + (53x - 37x) = 0$
   $4x^2 + 16x = 0$

3. Решим полученное квадратное уравнение относительно $x$:
   $4x^2 + 16x = 0$
   Вынесем общий множитель $4x$:
   $4x(x + 4) = 0$

   Это уравнение имеет два решения:
   * $4x = 0 \Rightarrow x = 0$
   * $x + 4 = 0 \Rightarrow x = -4$

4. Найдем соответствующие значения $y$ для каждого значения $x$. Подставим найденные значения $x$ в одно из упрощенных уравнений. Возьмем Уравнение 2' ($ -4y^3 - 37x = 256 $), так как оно проще.

   • Случай 1: $x = 0$
     $-4y^3 - 37(0) = 256$
     $-4y^3 = 256$
     $y^3 = \frac{256}{-4}$
     $y^3 = -64$
     $y = \sqrt[3]{-64}$
     $y = -4$
     Таким образом, одно решение системы: $(x, y) = (0, -4)$.

   • Случай 2: $x = -4$
     $-4y^3 - 37(-4) = 256$
     $-4y^3 + 148 = 256$
     $-4y^3 = 256 - 148$
     $-4y^3 = 108$
     $y^3 = \frac{108}{-4}$
     $y^3 = -27$
     $y = \sqrt[3]{-27}$
     $y = -3$
     Таким образом, второе решение системы: $(x, y) = (-4, -3)$.

Окончательный ответ:
Система уравнений имеет два решения: $(0, -4)$ и $(-4, -3)$.