Давайте решим это уравнение пошагово:

{
"subject": "Алгебра",
"grade": 8,
"lang": "ru",
"url_subject": "math",
"title": "Решение квадратного уравнения 3x²-12=0",
"description": "Пошаговое решение квадратного уравнения с использованием выделения множителя и извлечения корня",
"keywords": ["квадратное уравнение", "алгебра", "корень уравнения", "математика 8 класс", "решение уравнений"]
}

1) Сначала приведем уравнение к стандартному виду:
3x² - 12 = 0

2) Вынесем общий множитель 3:
3(x² - 4) = 0

3) Используем свойство произведения: если произведение равно нулю, то хотя бы один из множителей равен нулю:
3 = 0 или x² - 4 = 0

4) Так как 3 ≠ 0, решаем уравнение x² - 4 = 0

5) Прибавим 4 к обеим частям:
x² = 4

6) Извлекаем квадратный корень из обеих частей:
x = ±√4
x = ±2

7) Ответ: x = -2 или x = 2

Проверка: подставим оба значения в исходное уравнение:
- При x = 2: 3(2)² - 12 = 3(4) - 12 = 12 - 12 = 0 ✓
- При x = -2: 3(-2)² - 12 = 3(4) - 12 = 12 - 12 = 0 ✓

Решим это уравнение пошагово:

{
"subject": "Алгебра",
"grade": 8,
"lang": "ru",
"url_subject": "math",
"title": "Решение квадратного уравнения 2x²+6x=0",
"description": "Пошаговое решение квадратного уравнения с использованием вынесения общего множителя",
"keywords": ["квадратное уравнение", "алгебра", "общий множитель", "математика 8 класс"]
}

1) Уравнение уже в стандартном виде (все слагаемые в левой части):
2x² + 6x = 0

2) Вынесем общий множитель. В данном случае это 2x:
2x(x + 3) = 0

3) Используем свойство произведения: если произведение равно нулю, то хотя бы один из множителей равен нулю.
2x = 0 или x + 3 = 0

4) Решаем первое уравнение:
2x = 0
x = 0

5) Решаем второе уравнение:
x + 3 = 0
x = -3

6) Ответ: x = 0 или x = -3

Проверка: подставим оба значения в исходное уравнение:
- При x = 0: 2(0)² + 6(0) = 0 + 0 = 0 ✓
- При x = -3: 2(-3)² + 6(-3) = 2(9) + (-18) = 18 - 18 = 0 ✓

Решим это уравнение пошагово:

{
"subject": "Алгебра",
"grade": 8,
"lang": "ru",
"url_subject": "math",
"title": "Решение квадратного уравнения 7x²-14=0",
"description": "Пошаговое решение квадратного уравнения с использованием выделения множителя и извлечения корня",
"keywords": ["квадратное уравнение", "алгебра", "корень уравнения", "математика 8 класс"]
}

1) Уравнение уже в стандартном виде:
7x² - 14 = 0

2) Вынесем общий множитель 7:
7(x² - 2) = 0

3) Используем свойство произведения: если произведение равно нулю, то хотя бы один из множителей равен нулю:
7 = 0 или x² - 2 = 0

4) Так как 7 ≠ 0, решаем уравнение x² - 2 = 0

5) Прибавим 2 к обеим частям:
x² = 2

6) Извлекаем квадратный корень из обеих частей:
x = ±√2

7) Ответ: x = -√2 или x = √2

Проверка: подставим оба значения в исходное уравнение:
- При x = √2: 7(√2)² - 14 = 7(2) - 14 = 14 - 14 = 0 ✓
- При x = -√2: 7(-√2)² - 14 = 7(2) - 14 = 14 - 14 = 0 ✓

Примечание: √2 ≈ 1,4142...

Решим это уравнение пошагово:

{
"subject": "Алгебра",
"grade": 9,
"lang": "ru",
"url_subject": "math",
"title": "Решение кубического уравнения x³-3x=0",
"description": "Пошаговое решение уравнения третьей степени методом вынесения общего множителя",
"keywords": ["кубическое уравнение", "алгебра", "разложение на множители", "математика 9 класс"]
}

1) Уравнение уже в стандартном виде:
x³ - 3x = 0

2) Вынесем общий множитель x:
x(x² - 3) = 0

3) Используем свойство произведения: если произведение равно нулю, то хотя бы один из множителей равен нулю:
x = 0 или x² - 3 = 0

4) Первый корень уже найден: x = 0

5) Решаем уравнение x² - 3 = 0:
x² = 3
x = ±√3

6) Ответ: x = 0 или x = √3 или x = -√3

Проверка: подставим все три значения в исходное уравнение:
- При x = 0: 0³ - 3(0) = 0 - 0 = 0 ✓
- При x = √3: (√3)³ - 3(√3) = 3√3 - 3√3 = 0 ✓
- При x = -√3: (-√3)³ - 3(-√3) = -3√3 + 3√3 = 0 ✓

Примечание: √3 ≈ 1,7321...

Решим это уравнение пошагово:

{
"subject": "Алгебра",
"grade": 8,
"lang": "ru",
"url_subject": "math",
"title": "Решение квадратного уравнения 19x+2x²=0",
"description": "Пошаговое решение квадратного уравнения методом вынесения общего множителя",
"keywords": ["квадратное уравнение", "алгебра", "общий множитель", "математика 8 класс"]
}

1) Сначала приведем уравнение к стандартному виду (перенесем все члены в левую часть):
2x² + 19x = 0

2) Вынесем общий множитель x:
x(2x + 19) = 0

3) Используем свойство произведения: если произведение равно нулю, то хотя бы один из множителей равен нулю:
x = 0 или 2x + 19 = 0

4) Первый корень уже найден: x = 0

5) Решаем уравнение 2x + 19 = 0:
2x = -19
x = -19/2
x = -9,5

6) Ответ: x = 0 или x = -9,5

Проверка: подставим оба значения в исходное уравнение:
- При x = 0: 19(0) + 2(0)² = 0 + 0 = 0 ✓
- При x = -9,5: 19(-9,5) + 2(-9,5)² = -180,5 + 2(90,25) = -180,5 + 180,5 = 0 ✓

Решим это уравнение пошагово:

{
"subject": "Алгебра",
"grade": 8,
"lang": "ru",
"url_subject": "math",
"title": "Решение квадратного уравнения 10x+2x²=0",
"description": "Пошаговое решение квадратного уравнения методом вынесения общего множителя",
"keywords": ["квадратное уравнение", "алгебра", "общий множитель", "математика 8 класс"]
}

1) Приведем уравнение к стандартному виду (перенесем все члены в левую часть):
2x² + 10x = 0

2) Вынесем общий множитель. В данном случае можно вынести 2x:
2x(x + 5) = 0

3) Используем свойство произведения: если произведение равно нулю, то хотя бы один из множителей равен нулю:
2x = 0 или x + 5 = 0

4) Из первого уравнения:
2x = 0
x = 0

5) Из второго уравнения:
x + 5 = 0
x = -5

6) Ответ: x = 0 или x = -5

Проверка: подставим оба значения в исходное уравнение:
- При x = 0: 10(0) + 2(0)² = 0 + 0 = 0 ✓
- При x = -5: 10(-5) + 2(-5)² = -50 + 2(25) = -50 + 50 = 0 ✓

Решим это уравнение пошагово:

{
"subject": "Алгебра",
"grade": 8,
"lang": "ru",
"url_subject": "math",
"title": "Решение квадратного уравнения 2x²+9=0",
"description": "Пошаговое решение квадратного уравнения, демонстрация случая отсутствия действительных корней",
"keywords": ["квадратное уравнение", "алгебра", "действительные числа", "математика 8 класс"]
}

1) Уравнение уже в стандартном виде:
2x² + 9 = 0

2) Перенесем свободный член в правую часть:
2x² = -9

3) Разделим обе части на 2:
x² = -9/2
x² = -4,5

4) Здесь мы сталкиваемся с важным моментом:
- Квадрат любого действительного числа всегда больше или равен нулю
- В нашем уравнении x² должен равняться отрицательному числу (-4,5)
- Это невозможно в области действительных чисел

5) Ответ: уравнение не имеет решений в области действительных чисел
(или: корней нет)

Пояснение:
- Это уравнение имеет решения только в области комплексных чисел
- Но если в задаче не указано иное, мы рассматриваем только действительные числа
- Графически парабола y = 2x² + 9 никогда не пересекает ось x, так как она целиком расположена выше оси Ox (её наименьшее значение равно 9 при x = 0)

Решим это уравнение пошагово:

{
"subject": "Алгебра",
"grade": 8,
"lang": "ru",
"url_subject": "math",
"title": "Решение квадратного уравнения x²-16=0",
"description": "Пошаговое решение квадратного уравнения с использованием извлечения корня",
"keywords": ["квадратное уравнение", "алгебра", "корень уравнения", "математика 8 класс"]
}

1) Уравнение уже в стандартном виде:
x² - 16 = 0

2) Перенесем свободный член в правую часть:
x² = 16

3) Извлекаем квадратный корень из обеих частей уравнения:
x = ±√16
x = ±4

4) Получаем два корня:
x = 4 или x = -4

5) Ответ: x = -4 или x = 4

Проверка: подставим оба значения в исходное уравнение:
- При x = 4: (4)² - 16 = 16 - 16 = 0 ✓
- При x = -4: (-4)² - 16 = 16 - 16 = 0 ✓

Примечание:
- Это уравнение можно также решить через разложение на множители:
x² - 16 = 0
(x + 4)(x - 4) = 0
Откуда получаем те же корни: x = -4 или x = 4

Решим это уравнение пошагово:

{
"subject": "Алгебра",
"grade": 8,
"lang": "ru",
"url_subject": "math",
"title": "Решение квадратного уравнения 9x²-1=0",
"description": "Пошаговое решение квадратного уравнения с использованием извлечения корня",
"keywords": ["квадратное уравнение", "алгебра", "корень уравнения", "математика 8 класс"]
}

1) Уравнение уже в стандартном виде:
9x² - 1 = 0

2) Перенесем свободный член в правую часть:
9x² = 1

3) Разделим обе части на 9:
x² = 1/9

4) Извлекаем квадратный корень из обеих частей:
x = ±√(1/9)
x = ±1/3

5) Получаем два корня:
x = 1/3 или x = -1/3

6) Ответ: x = -1/3 или x = 1/3

Проверка: подставим оба значения в исходное уравнение:
- При x = 1/3: 9(1/3)² - 1 = 9(1/9) - 1 = 1 - 1 = 0 ✓
- При x = -1/3: 9(-1/3)² - 1 = 9(1/9) - 1 = 1 - 1 = 0 ✓

Примечание:
- Это уравнение можно также записать в виде разложения на множители:
9x² - 1 = 0
(3x + 1)(3x - 1) = 0
Откуда получаем те же корни: x = -1/3 или x = 1/3

Решим это уравнение пошагово:

{
"subject": "Алгебра",
"grade": 8,
"lang": "ru",
"url_subject": "math",
"title": "Решение квадратного уравнения 3x²+7=12x+7",
"description": "Пошаговое решение квадратного уравнения с приведением к стандартному виду",
"keywords": ["квадратное уравнение", "алгебра", "корень уравнения", "математика 8 класс"]
}

1) Перенесем все члены в левую часть уравнения:
3x² - 12x + 7 - 7 = 0
3x² - 12x = 0

2) Вынесем общий множитель:
3x(x - 4) = 0

3) Используем свойство произведения: если произведение равно нулю, то хотя бы один из множителей равен нулю:
3x = 0 или x - 4 = 0

4) Из первого уравнения:
3x = 0
x = 0

5) Из второго уравнения:
x - 4 = 0
x = 4

6) Ответ: x = 0 или x = 4

Проверка: подставим оба значения в исходное уравнение 3x² + 7 = 12x + 7:
- При x = 0: 3(0)² + 7 = 12(0) + 7 → 0 + 7 = 0 + 7 ✓
- При x = 4: 3(4)² + 7 = 12(4) + 7 → 3(16) + 7 = 48 + 7 → 48 + 7 = 48 + 7 ✓

Примечание:
- Обратите внимание, как одинаковые члены (в данном случае +7) сократились при переносе всех членов в одну сторону
- Получившееся уравнение легко решается методом вынесения общего множителя