Вычисление значений многочленов от матриц

Здравствуйте! Давайте решим задачи по порядку.

Задание 1.1.12

Дано:
\(f(x) = 3x^3 + x^2 + 2\)
\(A = \begin{pmatrix} 1 & 5 \\ 0 & -3 \end{pmatrix}\)

Найти: \(f(A)\)

Решение:

1. Вычислим \(A^2\):
   \(A^2 = A \cdot A = \begin{pmatrix} 1 & 5 \\ 0 & -3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 5 \\ 0 & -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 5-15 \\ 0 & 9 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -10 \\ 0 & 9 \end{pmatrix}\)

2. Вычислим \(A^3\):
   \(A^3 = A^2 \cdot A = \begin{pmatrix} 1 & -10 \\ 0 & 9 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 5 \\ 0 & -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 5+30 \\ 0 & -27 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 35 \\ 0 & -27 \end{pmatrix}\)

3. Вычислим \(3A^3\):
   \(3A^3 = 3 \cdot \begin{pmatrix} 1 & 35 \\ 0 & -27 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 105 \\ 0 & -81 \end{pmatrix}\)

4. Вычислим \(f(A) = 3A^3 + A^2 + 2E\), где \(E\) - единичная матрица:
   \(f(A) = \begin{pmatrix} 3 & 105 \\ 0 & -81 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & -10 \\ 0 & 9 \end{pmatrix} + 2 \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 105 \\ 0 & -81 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & -10 \\ 0 & 9 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3+1+2 & 105-10+0 \\ 0+0+0 & -81+9+2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 & 95 \\ 0 & -70 \end{pmatrix}\)

Ответ:
\(f(A) = \begin{pmatrix} 6 & 95 \\ 0 & -70 \end{pmatrix}\)

Задание 1.1.13

Дано:
\(f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 5\)
\(A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -2 & 3 \end{pmatrix}\)

Найти: \(f(A)\)

Решение:

1. Вычислим \(A^2\):
   \(A^2 = A \cdot A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -2 & 3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -2 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1-4 & 2+6 \\ -2-6 & -4+9 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 & 8 \\ -8 & 5 \end{pmatrix}\)

2. Вычислим \(A^3\):
   \(A^3 = A^2 \cdot A = \begin{pmatrix} -3 & 8 \\ -8 & 5 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -2 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3-16 & -6+24 \\ -8-10 & -16+15 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -19 & 18 \\ -18 & -1 \end{pmatrix}\)

3. Вычислим \(2A^3\):
   \(2A^3 = 2 \cdot \begin{pmatrix} -19 & 18 \\ -18 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -38 & 36 \\ -36 & -2 \end{pmatrix}\)

4. Вычислим \(3A^2\):
   \(3A^2 = 3 \cdot \begin{pmatrix} -3 & 8 \\ -8 & 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -9 & 24 \\ -24 & 15 \end{pmatrix}\)

5. Вычислим \(f(A) = 2A^3 - 3A^2 + 5E\), где \(E\) - единичная матрица:
   \(f(A) = \begin{pmatrix} -38 & 36 \\ -36 & -2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -9 & 24 \\ -24 & 15 \end{pmatrix} + 5 \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -38 & 36 \\ -36 & -2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -9 & 24 \\ -24 & 15 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 5 & 0 \\ 0 & 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -38+9+5 & 36-24+0 \\ -36+24+0 & -2-15+5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -24 & 12 \\ -12 & -12 \end{pmatrix}\)

Ответ:
\(f(A) = \begin{pmatrix} -24 & 12 \\ -12 & -12 \end{pmatrix}\)

Задание 1.1.14

Дано:
\(f(x) = 3x^2 - 5x + 2\)
\(A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 2 & -1 \\ -2 & 1 & 4 \end{pmatrix}\)

Найти: \(f(A)\)

Решение:

1. Вычислим \(A^2\):
   \(A^2 = A \cdot A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 2 & -1 \\ -2 & 1 & 4 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 2 & -1 \\ -2 & 1 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1+0+0 & 2+4+0 & 0-2+0 \\ 0+0+2 & 0+4-1 & 0-2-4 \\ -2+0-8 & -4+2+4 & 0-1+16 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 6 & -2 \\ 2 & 3 & -6 \\ -10 & 2 & 15 \end{pmatrix}\)

2. Вычислим \(3A^2\):
   \(3A^2 = 3 \cdot \begin{pmatrix} 1 & 6 & -2 \\ 2 & 3 & -6 \\ -10 & 2 & 15 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 18 & -6 \\ 6 & 9 & -18 \\ -30 & 6 & 45 \end{pmatrix}\)

3. Вычислим \(5A\):
   \(5A = 5 \cdot \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 2 & -1 \\ -2 & 1 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & 10 & 0 \\ 0 & 10 & -5 \\ -10 & 5 & 20 \end{pmatrix}\)

4. Вычислим \(f(A) = 3A^2 - 5A + 2E\), где \(E\) - единичная матрица:
   \(f(A) = \begin{pmatrix} 3 & 18 & -6 \\ 6 & 9 & -18 \\ -30 & 6 & 45 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 5 & 10 & 0 \\ 0 & 10 & -5 \\ -10 & 5 & 20 \end{pmatrix} + 2 \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 18 & -6 \\ 6 & 9 & -18 \\ -30 & 6 & 45 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 5 & 10 & 0 \\ 0 & 10 & -5 \\ -10 & 5 & 20 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3-5+2 & 18-10+0 & -6-0+0 \\ 6-0+0 & 9-10+2 & -18+5+0 \\ -30+10+0 & 6-5+0 & 45-20+2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 8 & -6 \\ 6 & 1 & -13 \\ -20 & 1 & 27 \end{pmatrix}\)

Ответ:
\(f(A) = \begin{pmatrix} 0 & 8 & -6 \\ 6 & 1 & -13 \\ -20 & 1 & 27 \end{pmatrix}\)