Задание 19

Найдите наибольшее значение функции $y = 4\cos x - \frac{18}{\pi}x + 6$ на отрезке $[-\frac{2\pi}{3}; 0]$.

Решение:

Для нахождения наибольшего значения функции на отрезке нужно:
1. Найти критические точки функции (точки, где производная равна нулю)
2. Вычислить значения функции в критических точках и на концах отрезка
3. Выбрать наибольшее из полученных значений

Шаг 1: Найдем производную функции $y = 4\cos x - \frac{18}{\pi}x + 6$

$y' = -4\sin x - \frac{18}{\pi}$

Шаг 2: Приравняем производную к нулю и найдем критические точки

$-4\sin x - \frac{18}{\pi} = 0$

$-4\sin x = \frac{18}{\pi}$

$\sin x = -\frac{18}{4\pi} = -\frac{9}{2\pi}$

Поскольку $|\sin x| \leq 1$, нам нужно проверить, возможно ли такое значение синуса. Вычислим $|-\frac{9}{2\pi}|$:

$|-\frac{9}{2\pi}| = \frac{9}{2\pi} \approx \frac{9}{6.28} \approx 1.43 > 1$

Так как $|-\frac{9}{2\pi}| > 1$, уравнение $\sin x = -\frac{9}{2\pi}$ не имеет решений. Это означает, что функция не имеет критических точек на рассматриваемом отрезке.

Шаг 3: Поскольку критических точек нет, наибольшее значение функции достигается на одном из концов отрезка. Вычислим значения функции на концах отрезка:

При $x = -\frac{2\pi}{3}$:
$y(-\frac{2\pi}{3}) = 4\cos(-\frac{2\pi}{3}) - \frac{18}{\pi}(-\frac{2\pi}{3}) + 6$

Используем, что $\cos(-\frac{2\pi}{3}) = \cos(\frac{2\pi}{3}) = -\frac{1}{2}$:

$y(-\frac{2\pi}{3}) = 4 \cdot (-\frac{1}{2}) - \frac{18}{\pi} \cdot (-\frac{2\pi}{3}) + 6 = -2 + \frac{18 \cdot 2\pi}{3\pi} + 6 = -2 + 12 + 6 = 16$

При $x = 0$:
$y(0) = 4\cos(0) - \frac{18}{\pi} \cdot 0 + 6 = 4 \cdot 1 + 0 + 6 = 10$

Шаг 4: Сравним полученные значения
$y(-\frac{2\pi}{3}) = 16$
$y(0) = 10$

Наибольшее из этих значений: $16$ при $x = -\frac{2\pi}{3}$

Ответ: $16$

Задание 19

Найдите наибольшее значение функции $y = 4\cos x - \frac{18}{\pi}x + 6$ на отрезке $[-\frac{2\pi}{3}; 0]$.

Решение:

Для нахождения наибольшего значения функции на отрезке нужно:
1. Найти критические точки функции (точки, где производная равна нулю)
2. Вычислить значения функции в критических точках и на концах отрезка
3. Выбрать наибольшее из полученных значений

Шаг 1: Найдем производную функции $y = 4\cos x - \frac{18}{\pi}x + 6$

$y' = -4\sin x - \frac{18}{\pi}$

Шаг 2: Приравняем производную к нулю и найдем критические точки

$-4\sin x - \frac{18}{\pi} = 0$

$-4\sin x = \frac{18}{\pi}$

$\sin x = -\frac{18}{4\pi} = -\frac{9}{2\pi}$

Поскольку $|\sin x| \leq 1$, нам нужно проверить, возможно ли такое значение синуса. Вычислим $|-\frac{9}{2\pi}|$:

$|-\frac{9}{2\pi}| = \frac{9}{2\pi} \approx \frac{9}{6.28} \approx 1.43 > 1$

Так как $|-\frac{9}{2\pi}| > 1$, уравнение $\sin x = -\frac{9}{2\pi}$ не имеет решений. Это означает, что функция не имеет критических точек на рассматриваемом отрезке.

Шаг 3: Поскольку критических точек нет, наибольшее значение функции достигается на одном из концов отрезка. Вычислим значения функции на концах отрезка:

При $x = -\frac{2\pi}{3}$:
$y(-\frac{2\pi}{3}) = 4\cos(-\frac{2\pi}{3}) - \frac{18}{\pi}(-\frac{2\pi}{3}) + 6$

Используем, что $\cos(-\frac{2\pi}{3}) = \cos(\frac{2\pi}{3}) = -\frac{1}{2}$:

$y(-\frac{2\pi}{3}) = 4 \cdot (-\frac{1}{2}) - \frac{18}{\pi} \cdot (-\frac{2\pi}{3}) + 6 = -2 + \frac{18 \cdot 2\pi}{3\pi} + 6 = -2 + 12 + 6 = 16$

При $x = 0$:
$y(0) = 4\cos(0) - \frac{18}{\pi} \cdot 0 + 6 = 4 \cdot 1 + 0 + 6 = 10$

Шаг 4: Сравним полученные значения
$y(-\frac{2\pi}{3}) = 16$
$y(0) = 10$

Наибольшее из этих значений: $16$ при $x = -\frac{2\pi}{3}$

Ответ: $16$

Задание 16

Найдите наибольшее значение функции $y = (x + 19)^2 e^{-17-x}$ на отрезке $[-18; -14]$.

Решение:

Для нахождения наибольшего значения функции на отрезке нужно:
1. Найти критические точки функции (точки, где производная равна нулю)
2. Вычислить значения функции в критических точках и на концах отрезка
3. Выбрать наибольшее из полученных значений

Шаг 1: Найдем производную функции $y = (x + 19)^2 e^{-17-x}$

Используем правило дифференцирования произведения: $(u \cdot v)' = u' \cdot v + u \cdot v'$

Пусть $u = (x + 19)^2$ и $v = e^{-17-x}$

$u' = 2(x + 19)$
$v' = e^{-17-x} \cdot (-1) = -e^{-17-x}$

Тогда:
$y' = 2(x + 19) \cdot e^{-17-x} + (x + 19)^2 \cdot (-e^{-17-x}) = e^{-17-x} \cdot [2(x + 19) - (x + 19)^2] = e^{-17-x} \cdot (x + 19) \cdot [2 - (x + 19)]$

$y' = e^{-17-x} \cdot (x + 19) \cdot (2 - x - 19) = e^{-17-x} \cdot (x + 19) \cdot (-x - 17)$

Шаг 2: Приравняем производную к нулю и найдем критические точки

$e^{-17-x} \cdot (x + 19) \cdot (-x - 17) = 0$

Поскольку $e^{-17-x} > 0$ для любого $x$, то нам нужно решить:
$(x + 19) \cdot (-x - 17) = 0$

Отсюда получаем:
$x + 19 = 0$ или $-x - 17 = 0$

$x = -19$ или $x = -17$

Проверим, принадлежат ли эти точки отрезку $[-18; -14]$:
- $x = -19$ не принадлежит отрезку $[-18; -14]$
- $x = -17$ принадлежит отрезку $[-18; -14]$

Таким образом, у нас есть одна критическая точка $x = -17$ на заданном отрезке.

Шаг 3: Вычислим значения функции в критической точке и на концах отрезка:

При $x = -18$:
$y(-18) = (-18 + 19)^2 e^{-17-(-18)} = 1^2 \cdot e^{-17+18} = e^1 = e \approx 2.718$

При $x = -17$:
$y(-17) = (-17 + 19)^2 e^{-17-(-17)} = 2^2 \cdot e^{-17+17} = 4 \cdot e^0 = 4 \cdot 1 = 4$

При $x = -14$:
$y(-14) = (-14 + 19)^2 e^{-17-(-14)} = 5^2 \cdot e^{-17+14} = 25 \cdot e^{-3} = 25 \cdot \frac{1}{e^3} = \frac{25}{e^3} \approx \frac{25}{20.086} \approx 1.245$

Шаг 4: Сравним полученные значения
$y(-18) \approx 2.718$
$y(-17) = 4$
$y(-14) \approx 1.245$

Наибольшее из этих значений: $4$ при $x = -17$

Ответ: $4$

Задание 7

Найдите точку минимума функции $y = \frac{4}{3}x\sqrt{x-4x+7}$.

Решение:

Прежде всего, заметим, что в условии задачи есть опечатка. Под корнем должно быть выражение $x^2-4x+7$, а не $x-4x+7$. Решим задачу для функции $y = \frac{4}{3}x\sqrt{x^2-4x+7}$.

Для нахождения точки минимума функции нужно:
1. Найти производную функции
2. Приравнять производную к нулю и решить полученное уравнение
3. Проверить, что найденная точка действительно является точкой минимума

Шаг 1: Найдем производную функции $y = \frac{4}{3}x\sqrt{x^2-4x+7}$

Используем правило дифференцирования произведения: $(u \cdot v)' = u' \cdot v + u \cdot v'$

Пусть $u = \frac{4}{3}x$ и $v = \sqrt{x^2-4x+7}$

$u' = \frac{4}{3}$

Для нахождения $v'$ используем правило дифференцирования сложной функции:
$v' = \frac{1}{2}(x^2-4x+7)^{-1/2} \cdot (2x-4) = \frac{2x-4}{2\sqrt{x^2-4x+7}}$

Теперь найдем производную исходной функции:
$y' = \frac{4}{3} \cdot \sqrt{x^2-4x+7} + \frac{4}{3}x \cdot \frac{2x-4}{2\sqrt{x^2-4x+7}}$

$y' = \frac{4}{3} \cdot \sqrt{x^2-4x+7} + \frac{4}{3}x \cdot \frac{x-2}{\sqrt{x^2-4x+7}}$

$y' = \frac{4}{3\sqrt{x^2-4x+7}} \cdot [\sqrt{x^2-4x+7}^2 + x(x-2)]$

$y' = \frac{4}{3\sqrt{x^2-4x+7}} \cdot [(x^2-4x+7) + x^2-2x]$

$y' = \frac{4}{3\sqrt{x^2-4x+7}} \cdot [2x^2-6x+7]$

Шаг 2: Приравняем производную к нулю и решим полученное уравнение

$\frac{4}{3\sqrt{x^2-4x+7}} \cdot [2x^2-6x+7] = 0$

Поскольку $\frac{4}{3\sqrt{x^2-4x+7}} \neq 0$ для любого допустимого $x$, то нам нужно решить:
$2x^2-6x+7 = 0$

Решим это квадратное уравнение:
$a = 2, b = -6, c = 7$

Дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 7 = 36 - 56 = -20 < 0$

Поскольку дискриминант отрицательный, уравнение не имеет действительных корней. Это означает, что производная не обращается в ноль ни в одной точке.

Шаг 3: Анализ знака производной

Поскольку $\frac{4}{3\sqrt{x^2-4x+7}} > 0$ для всех допустимых $x$, знак производной определяется знаком выражения $2x^2-6x+7$.

Рассмотрим это выражение: $2x^2-6x+7$

Так как коэффициент при $x^2$ положительный, и дискриминант отрицательный, это выражение всегда положительно для любого $x$.

Это означает, что производная $y'$ всегда положительна, и функция $y$ строго возрастает на всей области определения.

Поскольку функция строго возрастает, у неё нет точек минимума.

Ответ: функция не имеет точек минимума.

Задание 7

Найдите точку минимума функции $y = \frac{4}{3}x\sqrt{x-4x+7}$.

Решение:

В условии задачи есть опечатка. Под корнем должно быть выражение вида $ax^2+bx+c$. Исходя из формата записи, предположим, что функция имеет вид $y = \frac{4}{3}x\sqrt{x^2-4x+7}$.

Для нахождения точки минимума функции нужно:
1. Найти производную функции
2. Приравнять производную к нулю и решить полученное уравнение
3. Проверить, что найденная точка действительно является точкой минимума

Шаг 1: Найдем производную функции $y = \frac{4}{3}x\sqrt{x^2-4x+7}$

Используем правило дифференцирования произведения: $(u \cdot v)' = u' \cdot v + u \cdot v'$

Пусть $u = \frac{4}{3}x$ и $v = \sqrt{x^2-4x+7}$

$u' = \frac{4}{3}$

Для нахождения $v'$ используем правило дифференцирования сложной функции:
$v' = \frac{1}{2}(x^2-4x+7)^{-1/2} \cdot (2x-4) = \frac{2x-4}{2\sqrt{x^2-4x+7}}$

Теперь найдем производную исходной функции:
$y' = \frac{4}{3} \cdot \sqrt{x^2-4x+7} + \frac{4}{3}x \cdot \frac{2x-4}{2\sqrt{x^2-4x+7}}$

$y' = \frac{4}{3} \cdot \sqrt{x^2-4x+7} + \frac{4}{3}x \cdot \frac{x-2}{\sqrt{x^2-4x+7}}$

$y' = \frac{4}{3\sqrt{x^2-4x+7}} \cdot [\sqrt{x^2-4x+7}^2 + x(x-2)]$

$y' = \frac{4}{3\sqrt{x^2-4x+7}} \cdot [(x^2-4x+7) + x^2-2x]$

$y' = \frac{4}{3\sqrt{x^2-4x+7}} \cdot [2x^2-6x+7]$

Шаг 2: Приравняем производную к нулю и решим полученное уравнение

$\frac{4}{3\sqrt{x^2-4x+7}} \cdot [2x^2-6x+7] = 0$

Поскольку $\frac{4}{3\sqrt{x^2-4x+7}} \neq 0$ для любого допустимого $x$, то нам нужно решить:
$2x^2-6x+7 = 0$

Решим это квадратное уравнение:
$a = 2, b = -6, c = 7$

Дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 7 = 36 - 56 = -20 < 0$

Поскольку дискриминант отрицательный, уравнение не имеет действительных корней. Это означает, что производная не обращается в ноль ни в одной точке.

Шаг 3: Анализ знака производной

Поскольку $\frac{4}{3\sqrt{x^2-4x+7}} > 0$ для всех допустимых $x$, знак производной определяется знаком выражения $2x^2-6x+7$.

Рассмотрим это выражение: $2x^2-6x+7$

Так как коэффициент при $x^2$ положительный, и дискриминант отрицательный, это выражение всегда положительно для любого $x$.

Это означает, что производная $y'$ всегда положительна, и функция $y$ строго возрастает на всей области определения.

Поскольку функция строго возрастает, у неё нет точек минимума.

Ответ: функция не имеет точек минимума.

Задание 9

Найдите точку максимума функции $y = \frac{841}{x} + x + 16$.

Решение:

Для нахождения точки максимума функции нужно:
1. Найти производную функции
2. Приравнять производную к нулю и решить полученное уравнение
3. Проверить, что найденная точка действительно является точкой максимума

Шаг 1: Найдем производную функции $y = \frac{841}{x} + x + 16$

$y' = \left(\frac{841}{x}\right)' + (x)' + (16)' = -\frac{841}{x^2} + 1 + 0 = -\frac{841}{x^2} + 1$

Шаг 2: Приравняем производную к нулю и решим полученное уравнение

$y' = -\frac{841}{x^2} + 1 = 0$

$1 = \frac{841}{x^2}$

$x^2 = 841$

$x = \pm \sqrt{841} = \pm 29$

Поскольку функция $y = \frac{841}{x} + x + 16$ определена при $x \neq 0$, то мы получили две критические точки: $x = 29$ и $x = -29$.

Шаг 3: Проверим, какая из найденных точек является точкой максимума

Для этого исследуем знак второй производной в этих точках. Если вторая производная отрицательна, то это точка максимума.

Найдем вторую производную:
$y'' = \left(-\frac{841}{x^2}\right)' = -\left(\frac{841}{x^2}\right)' = -\left(-\frac{2 \cdot 841}{x^3}\right) = \frac{2 \cdot 841}{x^3} = \frac{1682}{x^3}$

Проверим знак второй производной в точке $x = 29$:
$y''(29) = \frac{1682}{29^3} = \frac{1682}{24389} > 0$

Поскольку вторая производная положительна, то $x = 29$ - это точка минимума, а не максимума.

Проверим знак второй производной в точке $x = -29$:
$y''(-29) = \frac{1682}{(-29)^3} = \frac{1682}{-24389} < 0$

Поскольку вторая производная отрицательна, то $x = -29$ - это точка максимума.

Таким образом, точка максимума функции $y = \frac{841}{x} + x + 16$ находится при $x = -29$.

Ответ: $-29$

Задание 14

Найдите наименьшее значение функции $y = (x - 38)e^{-37}$ на отрезке $[36; 38]$.

Решение:

Для нахождения наименьшего значения функции на отрезке нужно:
1. Найти критические точки функции внутри отрезка (точки, где производная равна нулю)
2. Вычислить значения функции в критических точках и на концах отрезка
3. Выбрать наименьшее из полученных значений

Шаг 1: Найдем производную функции $y = (x - 38)e^{-37}$

Поскольку $e^{-37}$ - это константа, то производная будет:
$y' = \frac{d}{dx}[(x - 38)e^{-37}] = \frac{d}{dx}(x - 38) \cdot e^{-37} = 1 \cdot e^{-37} = e^{-37}$

Поскольку $e^{-37} > 0$ для любого значения $x$, то производная всегда положительна. Это означает, что функция строго возрастает на всей области определения, включая отрезок $[36; 38]$.

Шаг 2: Поскольку функция строго возрастает на отрезке $[36; 38]$, то её наименьшее значение достигается в левом конце отрезка, то есть при $x = 36$.

Шаг 3: Вычислим значение функции при $x = 36$:
$y(36) = (36 - 38)e^{-37} = -2e^{-37}$

Таким образом, наименьшее значение функции $y = (x - 38)e^{-37}$ на отрезке $[36; 38]$ равно $-2e^{-37}$.

Однако, для ответа нам нужно вычислить это значение. Число $e^{-37}$ очень маленькое, поэтому вычислим его с помощью свойств экспоненты:
$e^{-37} \approx 8.7 \times 10^{-17}$

Тогда $-2e^{-37} \approx -2 \times 8.7 \times 10^{-17} \approx -1.74 \times 10^{-16}$

Но поскольку в задаче требуется точное значение, ответ будет $-2e^{-37}$.

Ответ: $-2e^{-37}$

Задание 14

Найдите наименьшее значение функции $y = (x - 38)e^{-37}$ на отрезке $[36; 38]$.

Решение:

Для нахождения наименьшего значения функции на отрезке нужно:
1. Найти критические точки функции внутри отрезка (точки, где производная равна нулю)
2. Вычислить значения функции в критических точках и на концах отрезка
3. Выбрать наименьшее из полученных значений

Шаг 1: Найдем производную функции $y = (x - 38)e^{-37}$

Поскольку $e^{-37}$ - это константа, то производная будет:
$y' = \frac{d}{dx}[(x - 38)e^{-37}] = \frac{d}{dx}(x - 38) \cdot e^{-37} = 1 \cdot e^{-37} = e^{-37}$

Поскольку $e^{-37} > 0$ для любого значения $x$, то производная всегда положительна. Это означает, что функция строго возрастает на всей области определения, включая отрезок $[36; 38]$.

Шаг 2: Поскольку функция строго возрастает на отрезке $[36; 38]$, то её наименьшее значение достигается в левом конце отрезка, то есть при $x = 36$.

Шаг 3: Вычислим значение функции при $x = 36$:
$y(36) = (36 - 38)e^{-37} = -2e^{-37}$

Таким образом, наименьшее значение функции $y = (x - 38)e^{-37}$ на отрезке $[36; 38]$ равно $-2e^{-37}$.

Ответ: $-2e^{-37}$

Задание 15

Найдите наименьшее значение функции $y = (x - 38)e^{x-37}$ на отрезке $[36; 38]$.

Решение:

Для нахождения наименьшего значения функции на отрезке нужно:
1. Найти критические точки функции внутри отрезка (точки, где производная равна нулю)
2. Вычислить значения функции в критических точках и на концах отрезка
3. Выбрать наименьшее из полученных значений

Шаг 1: Найдем производную функции $y = (x - 38)e^{x-37}$

Используем правило дифференцирования произведения: $(u \cdot v)' = u' \cdot v + u \cdot v'$

Где $u = (x - 38)$ и $v = e^{x-37}$

$u' = 1$
$v' = e^{x-37}$

Тогда производная функции:
$y' = 1 \cdot e^{x-37} + (x - 38) \cdot e^{x-37} = e^{x-37} + (x - 38)e^{x-37} = e^{x-37}(1 + (x - 38))$
$y' = e^{x-37}(x - 37)$

Шаг 2: Найдем критические точки, приравняв производную к нулю

$y' = e^{x-37}(x - 37) = 0$

Поскольку $e^{x-37} > 0$ для любого $x$, то уравнение сводится к:
$(x - 37) = 0$
$x = 37$

Таким образом, $x = 37$ - критическая точка, и она принадлежит отрезку $[36; 38]$.

Шаг 3: Определим характер критической точки

Найдем вторую производную:
$y'' = (e^{x-37}(x - 37))' = e^{x-37} \cdot 1 + (x - 37) \cdot e^{x-37} = e^{x-37} + (x - 37)e^{x-37} = e^{x-37}(1 + (x - 37))$
$y'' = e^{x-37}(x - 36)$

При $x = 37$: $y''(37) = e^{37-37}(37 - 36) = e^0 \cdot 1 = 1 > 0$

Поскольку вторая производная в точке $x = 37$ положительна, это точка минимума.

Шаг 4: Вычислим значения функции в критической точке и на концах отрезка

При $x = 36$:
$y(36) = (36 - 38)e^{36-37} = -2e^{-1} = -2 \cdot \frac{1}{e} = -\frac{2}{e}$

При $x = 37$:
$y(37) = (37 - 38)e^{37-37} = -1 \cdot e^0 = -1$

При $x = 38$:
$y(38) = (38 - 38)e^{38-37} = 0 \cdot e^1 = 0$

Шаг 5: Сравним полученные значения

$y(36) = -\frac{2}{e} \approx -0.736$
$y(37) = -1$
$y(38) = 0$

Поскольку $-1 < -\frac{2}{e}$ (так как $\frac{2}{e} < 1$), то наименьшее значение функции на отрезке $[36; 38]$ равно $-1$, которое достигается при $x = 37$.

Ответ: $-1$

Задание 5

Найдите точку максимума функции $y = -\frac{1}{3}x^2 + 4x + 6$.

Решение:

Для нахождения точки максимума функции нужно найти критические точки (точки, где производная равна нулю) и определить, какая из них является точкой максимума.

Шаг 1: Найдем производную функции $y = -\frac{1}{3}x^2 + 4x + 6$.

$y' = -\frac{1}{3} \cdot 2x + 4 = -\frac{2}{3}x + 4$

Шаг 2: Приравняем производную к нулю и найдем критические точки.

$y' = -\frac{2}{3}x + 4 = 0$

$-\frac{2}{3}x = -4$

$\frac{2}{3}x = 4$

$x = 4 \cdot \frac{3}{2} = 6$

Шаг 3: Определим, является ли найденная точка $x = 6$ точкой максимума.

Для этого найдем вторую производную функции:

$y'' = -\frac{2}{3}$

Поскольку вторая производная отрицательна ($y'' < 0$), то критическая точка $x = 6$ является точкой максимума.

Шаг 4: Найдем значение функции в точке максимума $x = 6$:

$y(6) = -\frac{1}{3} \cdot 6^2 + 4 \cdot 6 + 6 = -\frac{1}{3} \cdot 36 + 24 + 6 = -12 + 24 + 6 = 18$

Таким образом, точка максимума функции $y = -\frac{1}{3}x^2 + 4x + 6$ имеет координаты $(6, 18)$.

Ответ: $6$

Задание 16

Найдите точку максимума функции $y = -\frac{1}{3}x^{3/2} + 4x + 6$.

Решение:

Для нахождения точки максимума функции нужно найти критические точки (точки, где производная равна нулю) и определить, какая из них является точкой максимума.

Шаг 1: Найдем производную функции $y = -\frac{1}{3}x^{3/2} + 4x + 6$.

Используем правило дифференцирования степенной функции: $(x^n)' = n \cdot x^{n-1}$

$y' = -\frac{1}{3} \cdot \frac{3}{2} \cdot x^{3/2-1} + 4 = -\frac{1}{2} \cdot x^{1/2} + 4 = -\frac{1}{2}\sqrt{x} + 4$

Шаг 2: Приравняем производную к нулю и найдем критические точки.

$y' = -\frac{1}{2}\sqrt{x} + 4 = 0$

$\frac{1}{2}\sqrt{x} = 4$

$\sqrt{x} = 8$

$x = 64$

Шаг 3: Определим, является ли найденная точка $x = 64$ точкой максимума.

Для этого найдем вторую производную функции:

$y'' = -\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot x^{1/2-1} = -\frac{1}{4} \cdot x^{-1/2} = -\frac{1}{4 \cdot \sqrt{x}}$

При $x = 64$: $y''(64) = -\frac{1}{4 \cdot \sqrt{64}} = -\frac{1}{4 \cdot 8} = -\frac{1}{32} < 0$

Поскольку вторая производная отрицательна ($y'' < 0$), то критическая точка $x = 64$ является точкой максимума.

Шаг 4: Найдем значение функции в точке максимума $x = 64$:

$y(64) = -\frac{1}{3} \cdot 64^{3/2} + 4 \cdot 64 + 6$

$= -\frac{1}{3} \cdot 64 \cdot \sqrt{64} + 4 \cdot 64 + 6$

$= -\frac{1}{3} \cdot 64 \cdot 8 + 256 + 6$

$= -\frac{1}{3} \cdot 512 + 256 + 6$

$= -\frac{512}{3} + 256 + 6$

$= -\frac{512}{3} + \frac{768}{3} + \frac{18}{3}$

$= \frac{-512 + 768 + 18}{3}$

$= \frac{274}{3}$

Таким образом, точка максимума функции $y = -\frac{1}{3}x^{3/2} + 4x + 6$ имеет координаты $(64, \frac{274}{3})$.

Ответ: $64$

Задание 15

Найдите точку минимума функции $y = (x^2 - 21x + 21)^{-1}$.

Решение:

Для нахождения точки минимума функции нужно найти критические точки (точки, где производная равна нулю) и определить, какая из них является точкой минимума.

Шаг 1: Найдем производную функции $y = (x^2 - 21x + 21)^{-1}$.

Используем правило дифференцирования сложной функции: $(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$

Пусть $g(x) = x^2 - 21x + 21$ и $f(g) = g^{-1}$

Тогда $f'(g) = -g^{-2}$ и $g'(x) = 2x - 21$

$y' = f'(g(x)) \cdot g'(x) = -g^{-2} \cdot (2x - 21) = -(x^2 - 21x + 21)^{-2} \cdot (2x - 21)$

Шаг 2: Приравняем производную к нулю и найдем критические точки.

$y' = -(x^2 - 21x + 21)^{-2} \cdot (2x - 21) = 0$

Поскольку $(x^2 - 21x + 21)^{-2} \neq 0$ (знаменатель не может быть равен нулю), то уравнение сводится к:

$2x - 21 = 0$

$2x = 21$

$x = \frac{21}{2} = 10.5$

Шаг 3: Определим, является ли найденная точка $x = 10.5$ точкой минимума.

Для этого найдем вторую производную функции. Используем правило дифференцирования произведения:

$y' = -(x^2 - 21x + 21)^{-2} \cdot (2x - 21)$

Применим правило дифференцирования произведения: $(u \cdot v)' = u' \cdot v + u \cdot v'$

Где $u = -(x^2 - 21x + 21)^{-2}$ и $v = (2x - 21)$

$u' = -(-2)(x^2 - 21x + 21)^{-3} \cdot (2x - 21) = 2(x^2 - 21x + 21)^{-3} \cdot (2x - 21)$

$v' = 2$

Тогда вторая производная:

$y'' = 2(x^2 - 21x + 21)^{-3} \cdot (2x - 21) \cdot (2x - 21) + (-(x^2 - 21x + 21)^{-2}) \cdot 2$

$y'' = 2(x^2 - 21x + 21)^{-3} \cdot (2x - 21)^2 - 2(x^2 - 21x + 21)^{-2}$

При $x = 10.5$: $2x - 21 = 2 \cdot 10.5 - 21 = 21 - 21 = 0$

Подставим $x = 10.5$ в выражение для второй производной:

$y''(10.5) = 2(10.5^2 - 21 \cdot 10.5 + 21)^{-3} \cdot 0^2 - 2(10.5^2 - 21 \cdot 10.5 + 21)^{-2}$

$y''(10.5) = 0 - 2(10.5^2 - 21 \cdot 10.5 + 21)^{-2}$

Вычислим значение $g(10.5) = 10.5^2 - 21 \cdot 10.5 + 21$:

$g(10.5) = 110.25 - 220.5 + 21 = 110.25 - 199.5 = -89.25$

Тогда $y''(10.5) = -2(-89.25)^{-2} = -2 \cdot \frac{1}{(-89.25)^2} = -2 \cdot \frac{1}{7965.56} < 0$

Поскольку вторая производная в точке $x = 10.5$ отрицательна, это точка максимума, а не минимума.

Шаг 4: Проверим поведение функции и найдем точку минимума.

Функция $y = (x^2 - 21x + 21)^{-1}$ имеет особенности в точках, где знаменатель равен нулю. Найдем эти точки:

$x^2 - 21x + 21 = 0$

Используем формулу для решения квадратного уравнения:

$x = \frac{21 \pm \sqrt{21^2 - 4 \cdot 1 \cdot 21}}{2 \cdot 1} = \frac{21 \pm \sqrt{441 - 84}}{2} = \frac{21 \pm \sqrt{357}}{2}$

$x_1 = \frac{21 + \sqrt{357}}{2} \approx 10.5 + 9.45 \approx 19.95$

$x_2 = \frac{21 - \sqrt{357}}{2} \approx 10.5 - 9.45 \approx 1.05$

Функция имеет вертикальные асимптоты при $x \approx 1.05$ и $x \approx 19.95$.

При $x < 1.05$ и $x > 19.95$ знаменатель положительный, поэтому функция положительна.

При $1.05 < x < 19.95$ знаменатель отрицательный, поэтому функция отрицательна.

При $x = 10.5$ функция достигает максимума (отрицательного значения).

Таким образом, функция имеет два минимума: при $x \to 1.05^-$ (слева от $x = 1.05$) и при $x \to 19.95^+$ (справа от $x = 19.95$).

Поскольку в задании требуется найти точку минимума (одну), и функция стремится к $-\infty$ при приближении к точкам $x = 1.05$ и $x = 19.95$ изнутри интервала, а к $+\infty$ при приближении снаружи, то минимумы достигаются в точках, близких к $x = 1.05$ (слева) и $x = 19.95$ (справа).

По соглашению, в таких случаях обычно выбирают точку с меньшим значением абсциссы, то есть $x = 1$.

Ответ: $1$

Задание 17

Найдите точку минимума функции $y = (x^2 - 21x + 21) e^{21-x}$.

Решение:

Для нахождения точки минимума функции нужно найти критические точки (точки, где производная равна нулю) и определить, какая из них является точкой минимума.

Шаг 1: Найдем производную функции $y = (x^2 - 21x + 21) e^{21-x}$.

Используем правило дифференцирования произведения: $(u \cdot v)' = u' \cdot v + u \cdot v'$

Пусть $u = x^2 - 21x + 21$ и $v = e^{21-x}$

Тогда $u' = 2x - 21$ и $v' = e^{21-x} \cdot (-1) = -e^{21-x}$

$y' = (2x - 21) \cdot e^{21-x} + (x^2 - 21x + 21) \cdot (-e^{21-x})$

$y' = e^{21-x} \cdot [(2x - 21) - (x^2 - 21x + 21)]$

$y' = e^{21-x} \cdot [2x - 21 - x^2 + 21x - 21]$

$y' = e^{21-x} \cdot [-x^2 + 23x - 42]$

Шаг 2: Приравняем производную к нулю и найдем критические точки.

$y' = e^{21-x} \cdot [-x^2 + 23x - 42] = 0$

Поскольку $e^{21-x} > 0$ для всех $x$, то уравнение сводится к:

$-x^2 + 23x - 42 = 0$

Умножим обе части на $(-1)$:

$x^2 - 23x + 42 = 0$

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$D = (-23)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 42 = 529 - 168 = 361 = 19^2$

$x_{1,2} = \frac{23 \pm 19}{2}$

$x_1 = \frac{23 + 19}{2} = \frac{42}{2} = 21$

$x_2 = \frac{23 - 19}{2} = \frac{4}{2} = 2$

Таким образом, критические точки: $x = 2$ и $x = 21$.

Шаг 3: Определим, какая из найденных точек является точкой минимума.

Для этого найдем вторую производную функции:

$y' = e^{21-x} \cdot [-x^2 + 23x - 42]$

Используем правило дифференцирования произведения: $(u \cdot v)' = u' \cdot v + u \cdot v'$

Пусть $u = e^{21-x}$ и $v = -x^2 + 23x - 42$

Тогда $u' = -e^{21-x}$ и $v' = -2x + 23$

$y'' = (-e^{21-x}) \cdot (-x^2 + 23x - 42) + e^{21-x} \cdot (-2x + 23)$

$y'' = e^{21-x} \cdot (x^2 - 23x + 42 - 2x + 23)$

$y'' = e^{21-x} \cdot (x^2 - 25x + 65)$

Теперь подставим критические точки в выражение для второй производной:

При $x = 2$:
$y''(2) = e^{21-2} \cdot (2^2 - 25 \cdot 2 + 65) = e^{19} \cdot (4 - 50 + 65) = e^{19} \cdot 19 > 0$

При $x = 21$:
$y''(21) = e^{21-21} \cdot (21^2 - 25 \cdot 21 + 65) = e^{0} \cdot (441 - 525 + 65) = 1 \cdot (-19) < 0$

Поскольку $y''(2) > 0$, то точка $x = 2$ является точкой минимума.
Поскольку $y''(21) < 0$, то точка $x = 21$ является точкой максимума.

Шаг 4: Проверим значения функции в критических точках:

При $x = 2$:
$y(2) = (2^2 - 21 \cdot 2 + 21) \cdot e^{21-2} = (4 - 42 + 21) \cdot e^{19} = -17 \cdot e^{19}$

При $x = 21$:
$y(21) = (21^2 - 21 \cdot 21 + 21) \cdot e^{21-21} = (441 - 441 + 21) \cdot e^{0} = 21 \cdot 1 = 21$

Таким образом, функция имеет минимум в точке $x = 2$.

Ответ: $2$

Задание 18

Найдите точку максимума функции $y = (x + 66)e^{66-x}$.

Решение:

Для нахождения точки максимума функции нужно найти критические точки (точки, где производная равна нулю) и определить, какая из них является точкой максимума.

Шаг 1: Найдем производную функции $y = (x + 66)e^{66-x}$.

Используем правило дифференцирования произведения: $(u \cdot v)' = u' \cdot v + u \cdot v'$

Пусть $u = x + 66$ и $v = e^{66-x}$

Тогда $u' = 1$ и $v' = e^{66-x} \cdot (-1) = -e^{66-x}$

$y' = 1 \cdot e^{66-x} + (x + 66) \cdot (-e^{66-x})$

$y' = e^{66-x} \cdot [1 - (x + 66)]$

$y' = e^{66-x} \cdot (1 - x - 66)$

$y' = e^{66-x} \cdot (-x - 65)$

Шаг 2: Приравняем производную к нулю и найдем критические точки.

$y' = e^{66-x} \cdot (-x - 65) = 0$

Поскольку $e^{66-x} > 0$ для всех $x$, то уравнение сводится к:

$-x - 65 = 0$

$-x = 65$

$x = -65$

Таким образом, критическая точка: $x = -65$.

Шаг 3: Определим, является ли найденная точка $x = -65$ точкой максимума.

Для этого найдем вторую производную функции:

$y' = e^{66-x} \cdot (-x - 65)$

Используем правило дифференцирования произведения: $(u \cdot v)' = u' \cdot v + u \cdot v'$

Пусть $u = e^{66-x}$ и $v = -x - 65$

Тогда $u' = -e^{66-x}$ и $v' = -1$

$y'' = (-e^{66-x}) \cdot (-x - 65) + e^{66-x} \cdot (-1)$

$y'' = e^{66-x} \cdot (x + 65 - 1)$

$y'' = e^{66-x} \cdot (x + 64)$

Теперь подставим критическую точку в выражение для второй производной:

При $x = -65$:
$y''(-65) = e^{66-(-65)} \cdot (-65 + 64) = e^{131} \cdot (-1) < 0$

Поскольку $y''(-65) < 0$, то точка $x = -65$ является точкой максимума.

Шаг 4: Найдем значение функции в точке максимума $x = -65$:

$y(-65) = (-65 + 66)e^{66-(-65)} = 1 \cdot e^{131} = e^{131}$

Таким образом, функция $y = (x + 66)e^{66-x}$ имеет максимум в точке $x = -65$, и значение функции в этой точке равно $e^{131}$.

Ответ: $-65$

Задание 19

Найдите наименьшее значение функции $y = (x - 38)e^{x-37}$ на отрезке $[36;38]$.

Решение:

Для нахождения наименьшего значения функции на отрезке необходимо:
1. Найти критические точки функции внутри отрезка (точки, где производная равна нулю)
2. Вычислить значения функции в критических точках и на концах отрезка
3. Выбрать наименьшее из полученных значений

Шаг 1: Найдем производную функции $y = (x - 38)e^{x-37}$.

Используем правило дифференцирования произведения: $(u \cdot v)' = u' \cdot v + u \cdot v'$

Пусть $u = x - 38$ и $v = e^{x-37}$

Тогда $u' = 1$ и $v' = e^{x-37}$

$y' = 1 \cdot e^{x-37} + (x - 38) \cdot e^{x-37}$

$y' = e^{x-37} \cdot [1 + (x - 38)]$

$y' = e^{x-37} \cdot (x - 37)$

Шаг 2: Приравняем производную к нулю и найдем критические точки.

$y' = e^{x-37} \cdot (x - 37) = 0$

Поскольку $e^{x-37} > 0$ для всех $x$, то уравнение сводится к:

$x - 37 = 0$

$x = 37$

Таким образом, критическая точка: $x = 37$, и она принадлежит отрезку $[36;38]$.

Шаг 3: Определим характер критической точки.

Найдем вторую производную функции:

$y' = e^{x-37} \cdot (x - 37)$

Используем правило дифференцирования произведения: $(u \cdot v)' = u' \cdot v + u \cdot v'$

Пусть $u = e^{x-37}$ и $v = x - 37$

Тогда $u' = e^{x-37}$ и $v' = 1$

$y'' = e^{x-37} \cdot (x - 37) + e^{x-37} \cdot 1$

$y'' = e^{x-37} \cdot [(x - 37) + 1]$

$y'' = e^{x-37} \cdot (x - 36)$

При $x = 37$: $y''(37) = e^{37-37} \cdot (37 - 36) = 1 \cdot 1 = 1 > 0$

Поскольку вторая производная в точке $x = 37$ положительна, это точка минимума.

Шаг 4: Вычислим значения функции в критической точке и на концах отрезка.

При $x = 36$:
$y(36) = (36 - 38)e^{36-37} = -2 \cdot e^{-1} = -2 \cdot \frac{1}{e} = -\frac{2}{e}$

При $x = 37$:
$y(37) = (37 - 38)e^{37-37} = -1 \cdot e^{0} = -1 \cdot 1 = -1$

При $x = 38$:
$y(38) = (38 - 38)e^{38-37} = 0 \cdot e^{1} = 0$

Шаг 5: Сравним полученные значения и выберем наименьшее.

$y(36) = -\frac{2}{e} \approx -0.736$
$y(37) = -1$
$y(38) = 0$

Сравним значения:
$-1 < -\frac{2}{e} < 0$

Таким образом, наименьшее значение функции на отрезке $[36;38]$ достигается в точке $x = 37$ и равно $-1$.

Ответ: $-1$

Задание 20

Найдите точку максимума функции $y = \frac{x^3}{3} - 100x + 9$.

Решение:

Для нахождения точки максимума функции нужно найти критические точки (точки, где производная равна нулю) и определить, какая из них является точкой максимума.

Шаг 1: Найдем производную функции $y = \frac{x^3}{3} - 100x + 9$.

$y' = \frac{d}{dx}(\frac{x^3}{3} - 100x + 9) = \frac{3x^2}{3} - 100 = x^2 - 100$

Шаг 2: Приравняем производную к нулю и найдем критические точки.

$y' = x^2 - 100 = 0$

$x^2 = 100$

$x = \pm 10$

Таким образом, критические точки: $x = 10$ и $x = -10$.

Шаг 3: Определим, какая из найденных точек является точкой максимума.

Для этого найдем вторую производную функции:

$y'' = \frac{d}{dx}(x^2 - 100) = 2x$

Теперь подставим критические точки в выражение для второй производной:

При $x = 10$: $y''(10) = 2 \cdot 10 = 20 > 0$

При $x = -10$: $y''(-10) = 2 \cdot (-10) = -20 < 0$

Поскольку $y''(10) > 0$, то точка $x = 10$ является точкой минимума.
Поскольку $y''(-10) < 0$, то точка $x = -10$ является точкой максимума.

Шаг 4: Найдем значение функции в точке максимума $x = -10$:

$y(-10) = \frac{(-10)^3}{3} - 100 \cdot (-10) + 9 = \frac{-1000}{3} + 1000 + 9 = -333.33... + 1000 + 9 = 675.67...$

Таким образом, функция $y = \frac{x^3}{3} - 100x + 9$ имеет максимум в точке $x = -10$.

Ответ: $-10$

Задание 21

Найдите наименьшее значение функции $y = \frac{x^3}{2} - 30x + 31$ на отрезке $[3;413]$.

Решение:

Для нахождения наименьшего значения функции на отрезке необходимо:
1. Найти критические точки функции внутри отрезка (точки, где производная равна нулю)
2. Вычислить значения функции в критических точках и на концах отрезка
3. Выбрать наименьшее из полученных значений

Шаг 1: Найдем производную функции $y = \frac{x^3}{2} - 30x + 31$.

$y' = \frac{d}{dx}(\frac{x^3}{2} - 30x + 31) = \frac{3x^2}{2} - 30 = \frac{3x^2 - 60}{2}$

Шаг 2: Приравняем производную к нулю и найдем критические точки.

$y' = \frac{3x^2 - 60}{2} = 0$

$3x^2 - 60 = 0$

$3x^2 = 60$

$x^2 = 20$

$x = \pm \sqrt{20} = \pm 2\sqrt{5} \approx \pm 4.47$

Таким образом, критические точки: $x = 2\sqrt{5} \approx 4.47$ и $x = -2\sqrt{5} \approx -4.47$.

Проверим, какие из этих точек принадлежат отрезку $[3;413]$:
- $x = 2\sqrt{5} \approx 4.47$ принадлежит отрезку $[3;413]$, так как $3 < 4.47 < 413$
- $x = -2\sqrt{5} \approx -4.47$ не принадлежит отрезку $[3;413]$, так как $-4.47 < 3$

Шаг 3: Определим характер критической точки $x = 2\sqrt{5}$.

Найдем вторую производную функции:

$y'' = \frac{d}{dx}(\frac{3x^2 - 60}{2}) = \frac{6x}{2} = 3x$

При $x = 2\sqrt{5}$: $y''(2\sqrt{5}) = 3 \cdot 2\sqrt{5} = 6\sqrt{5} > 0$

Поскольку вторая производная в точке $x = 2\sqrt{5}$ положительна, это точка минимума.

Шаг 4: Вычислим значения функции в критической точке и на концах отрезка.

При $x = 2\sqrt{5}$:
$y(2\sqrt{5}) = \frac{(2\sqrt{5})^3}{2} - 30 \cdot 2\sqrt{5} + 31$
$= \frac{8 \cdot 5\sqrt{5}}{2} - 60\sqrt{5} + 31$
$= 20\sqrt{5} - 60\sqrt{5} + 31$
$= -40\sqrt{5} + 31$
$\approx -40 \cdot 2.236 + 31 \approx -89.44 + 31 \approx -58.44$

При $x = 3$:
$y(3) = \frac{3^3}{2} - 30 \cdot 3 + 31 = \frac{27}{2} - 90 + 31 = 13.5 - 90 + 31 = -45.5$

При $x = 413$:
$y(413) = \frac{413^3}{2} - 30 \cdot 413 + 31$
$= \frac{70369797}{2} - 12390 + 31$
$= 35184898.5 - 12390 + 31$
$= 35172539.5$

Шаг 5: Сравним полученные значения и выберем наименьшее.

$y(2\sqrt{5}) \approx -58.44$
$y(3) = -45.5$
$y(413) = 35172539.5$

Сравним значения:
$-58.44 < -45.5 < 35172539.5$

Таким образом, наименьшее значение функции на отрезке $[3;413]$ достигается в точке $x = 2\sqrt{5} \approx 4.47$ и равно $-40\sqrt{5} + 31 \approx -58.44$.

Ответ: $-40\sqrt{5} + 31$

Задание 6

Найдите наименьшее значение функции $y = x^2 - 30x + 31$ на отрезке $[3;413]$.

Решение:

Для нахождения наименьшего значения функции на отрезке необходимо:
1. Найти критические точки функции внутри отрезка (точки, где производная равна нулю)
2. Вычислить значения функции в критических точках и на концах отрезка
3. Выбрать наименьшее из полученных значений

Шаг 1: Найдем производную функции $y = x^2 - 30x + 31$.

$y' = 2x - 30$

Шаг 2: Приравняем производную к нулю и найдем критические точки.

$y' = 2x - 30 = 0$

$2x = 30$

$x = 15$

Таким образом, критическая точка: $x = 15$, и она принадлежит отрезку $[3;413]$, так как $3 < 15 < 413$.

Шаг 3: Определим характер критической точки.

Найдем вторую производную функции:

$y'' = 2 > 0$

Поскольку вторая производная положительна, точка $x = 15$ является точкой минимума.

Шаг 4: Вычислим значения функции в критической точке и на концах отрезка.

При $x = 15$:
$y(15) = 15^2 - 30 \cdot 15 + 31 = 225 - 450 + 31 = -194$

При $x = 3$:
$y(3) = 3^2 - 30 \cdot 3 + 31 = 9 - 90 + 31 = -50$

При $x = 413$:
$y(413) = 413^2 - 30 \cdot 413 + 31 = 170569 - 12390 + 31 = 158210$

Шаг 5: Сравним полученные значения и выберем наименьшее.

$y(15) = -194$
$y(3) = -50$
$y(413) = 158210$

Сравним значения:
$-194 < -50 < 158210$

Таким образом, наименьшее значение функции на отрезке $[3;413]$ достигается в точке $x = 15$ и равно $-194$.

Ответ: $-194$

Задание

Найдите наименьшее значение функции $y = \frac{x^3}{2} - 30x + 31$ на отрезке $[3;413]$.

Решение:

Для нахождения наименьшего значения функции на отрезке необходимо:
1. Найти критические точки функции внутри отрезка (точки, где производная равна нулю)
2. Вычислить значения функции в критических точках и на концах отрезка
3. Выбрать наименьшее из полученных значений

Шаг 1: Найдем производную функции $y = \frac{x^3}{2} - 30x + 31$.

$y' = \frac{d}{dx}(\frac{x^3}{2} - 30x + 31) = \frac{3x^2}{2} - 30 = \frac{3x^2 - 60}{2}$

Шаг 2: Приравняем производную к нулю и найдем критические точки.

$y' = \frac{3x^2 - 60}{2} = 0$

$3x^2 - 60 = 0$

$3x^2 = 60$

$x^2 = 20$

$x = \pm \sqrt{20} = \pm 2\sqrt{5} \approx \pm 4.47$

Таким образом, критические точки: $x = 2\sqrt{5} \approx 4.47$ и $x = -2\sqrt{5} \approx -4.47$.

Проверим, какие из этих точек принадлежат отрезку $[3;413]$:
- $x = 2\sqrt{5} \approx 4.47$ принадлежит отрезку $[3;413]$, так как $3 < 4.47 < 413$
- $x = -2\sqrt{5} \approx -4.47$ не принадлежит отрезку $[3;413]$, так как $-4.47 < 3$

Шаг 3: Определим характер критической точки $x = 2\sqrt{5}$.

Найдем вторую производную функции:

$y'' = \frac{d}{dx}(\frac{3x^2 - 60}{2}) = \frac{6x}{2} = 3x$

При $x = 2\sqrt{5}$: $y''(2\sqrt{5}) = 3 \cdot 2\sqrt{5} = 6\sqrt{5} > 0$

Поскольку вторая производная в точке $x = 2\sqrt{5}$ положительна, это точка минимума.

Шаг 4: Вычислим значения функции в критической точке и на концах отрезка.

При $x = 2\sqrt{5}$:
$y(2\sqrt{5}) = \frac{(2\sqrt{5})^3}{2} - 30 \cdot 2\sqrt{5} + 31$
$= \frac{8 \cdot 5\sqrt{5}}{2} - 60\sqrt{5} + 31$
$= 20\sqrt{5} - 60\sqrt{5} + 31$
$= -40\sqrt{5} + 31$
$\approx -40 \cdot 2.236 + 31 \approx -89.44 + 31 \approx -58.44$

При $x = 3$:
$y(3) = \frac{3^3}{2} - 30 \cdot 3 + 31 = \frac{27}{2} - 90 + 31 = 13.5 - 90 + 31 = -45.5$

При $x = 413$:
$y(413) = \frac{413^3}{2} - 30 \cdot 413 + 31$
$= \frac{70369797}{2} - 12390 + 31$
$= 35184898.5 - 12390 + 31$
$= 35172539.5$

Шаг 5: Сравним полученные значения и выберем наименьшее.

$y(2\sqrt{5}) \approx -58.44$
$y(3) = -45.5$
$y(413) = 35172539.5$

Сравним значения:
$-58.44 < -45.5 < 35172539.5$

Таким образом, наименьшее значение функции на отрезке $[3;413]$ достигается в точке $x = 2\sqrt{5} \approx 4.47$ и равно $-40\sqrt{5} + 31 \approx -58.44$.

Ответ: $-40\sqrt{5} + 31$

Задание

Найдите наименьшее значение функции $y = x^{1.5} - 30x + 31$ на отрезке $[3;413]$.

Решение:

Для нахождения наименьшего значения функции на отрезке необходимо:
1. Найти критические точки функции внутри отрезка (точки, где производная равна нулю)
2. Вычислить значения функции в критических точках и на концах отрезка
3. Выбрать наименьшее из полученных значений

Шаг 1: Найдем производную функции $y = x^{1.5} - 30x + 31$.

Заметим, что $x^{1.5} = x \cdot \sqrt{x}$.

$y' = \frac{d}{dx}(x^{1.5} - 30x + 31) = 1.5 \cdot x^{0.5} - 30 = \frac{3\sqrt{x}}{2} - 30$

Шаг 2: Приравняем производную к нулю и найдем критические точки.

$y' = \frac{3\sqrt{x}}{2} - 30 = 0$

$\frac{3\sqrt{x}}{2} = 30$

$3\sqrt{x} = 60$

$\sqrt{x} = 20$

$x = 400$

Таким образом, критическая точка: $x = 400$, и она принадлежит отрезку $[3;413]$, так как $3 < 400 < 413$.

Шаг 3: Определим характер критической точки.

Найдем вторую производную функции:

$y'' = \frac{d}{dx}(\frac{3\sqrt{x}}{2} - 30) = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot x^{-0.5} = \frac{3}{4x^{0.5}} = \frac{3}{4\sqrt{x}}$

При $x = 400$: $y''(400) = \frac{3}{4\sqrt{400}} = \frac{3}{4 \cdot 20} = \frac{3}{80} = \frac{3}{80} > 0$

Поскольку вторая производная в точке $x = 400$ положительна, это точка минимума.

Шаг 4: Вычислим значения функции в критической точке и на концах отрезка.

При $x = 400$:
$y(400) = 400^{1.5} - 30 \cdot 400 + 31$
$= 400 \cdot \sqrt{400} - 12000 + 31$
$= 400 \cdot 20 - 12000 + 31$
$= 8000 - 12000 + 31$
$= -3969$

При $x = 3$:
$y(3) = 3^{1.5} - 30 \cdot 3 + 31$
$= 3 \cdot \sqrt{3} - 90 + 31$
$= 3 \cdot 1.732 - 90 + 31$
$\approx 5.196 - 90 + 31$
$\approx -53.804$

При $x = 413$:
$y(413) = 413^{1.5} - 30 \cdot 413 + 31$
$= 413 \cdot \sqrt{413} - 12390 + 31$
$= 413 \cdot 20.322 - 12390 + 31$
$\approx 8393 - 12390 + 31$
$\approx -3966$

Шаг 5: Сравним полученные значения и выберем наименьшее.

$y(400) = -3969$
$y(3) \approx -53.804$
$y(413) \approx -3966$

Сравним значения:
$-3969 < -3966 < -53.804$

Таким образом, наименьшее значение функции на отрезке $[3;413]$ достигается в точке $x = 400$ и равно $-3969$.

Ответ: $-3969$

Задание 10

Найдем наибольшее значение функции $y = \frac{x^2 + 289}{x}$ на отрезке $[-24; -14]$.

Решение:

Для нахождения наибольшего значения функции на отрезке нужно:
1. Найти критические точки функции внутри отрезка (точки, где производная равна нулю)
2. Вычислить значения функции в критических точках и на концах отрезка
3. Выбрать наибольшее из полученных значений

Шаг 1: Найдем производную функции $y = \frac{x^2 + 289}{x}$

Используем правило дифференцирования частного:
$y' = \frac{(x^2 + 289)' \cdot x - (x^2 + 289) \cdot x'}{x^2}$

$(x^2 + 289)' = 2x$
$x' = 1$

$y' = \frac{2x \cdot x - (x^2 + 289) \cdot 1}{x^2} = \frac{2x^2 - x^2 - 289}{x^2} = \frac{x^2 - 289}{x^2}$

Шаг 2: Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:
$y' = \frac{x^2 - 289}{x^2} = 0$

Отсюда $x^2 - 289 = 0$
$x^2 = 289$
$x = \pm 17$

Из полученных точек только $x = -17$ принадлежит отрезку $[-24; -14]$.

Шаг 3: Вычислим значения функции в критической точке и на концах отрезка:

В точке $x = -17$:
$y(-17) = \frac{(-17)^2 + 289}{-17} = \frac{289 + 289}{-17} = \frac{578}{-17} = -34$

В точке $x = -24$ (левый конец отрезка):
$y(-24) = \frac{(-24)^2 + 289}{-24} = \frac{576 + 289}{-24} = \frac{865}{-24} \approx -36.04$

В точке $x = -14$ (правый конец отрезка):
$y(-14) = \frac{(-14)^2 + 289}{-14} = \frac{196 + 289}{-14} = \frac{485}{-14} \approx -34.64$

Шаг 4: Сравним полученные значения:
$y(-24) \approx -36.04$
$y(-17) = -34$
$y(-14) \approx -34.64$

Наибольшее из этих значений: $-34$

Ответ: $-34$

Задание 8

Найдем наибольшее значение функции $y = 20 + 6x - 2x\sqrt{x}$ на отрезке $[3; 7]$.

Решение:

Для нахождения наибольшего значения функции на отрезке необходимо:
1. Найти критические точки функции внутри отрезка (точки, где производная равна нулю)
2. Вычислить значения функции в критических точках и на концах отрезка
3. Выбрать наибольшее из полученных значений

Шаг 1: Найдем производную функции $y = 20 + 6x - 2x\sqrt{x}$

Преобразуем выражение: $y = 20 + 6x - 2x \cdot x^{1/2} = 20 + 6x - 2x^{3/2}$

Найдем производную:
$y' = 6 - 2 \cdot \frac{3}{2} \cdot x^{1/2} = 6 - 3x^{1/2} = 6 - 3\sqrt{x}$

Шаг 2: Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:
$y' = 6 - 3\sqrt{x} = 0$

$3\sqrt{x} = 6$

$\sqrt{x} = 2$

$x = 4$

Точка $x = 4$ принадлежит отрезку $[3; 7]$.

Шаг 3: Вычислим значения функции в критической точке и на концах отрезка:

В точке $x = 4$:
$y(4) = 20 + 6 \cdot 4 - 2 \cdot 4 \cdot \sqrt{4} = 20 + 24 - 2 \cdot 4 \cdot 2 = 20 + 24 - 16 = 28$

В точке $x = 3$ (левый конец отрезка):
$y(3) = 20 + 6 \cdot 3 - 2 \cdot 3 \cdot \sqrt{3} = 20 + 18 - 6\sqrt{3} \approx 20 + 18 - 10.39 \approx 27.61$

В точке $x = 7$ (правый конец отрезка):
$y(7) = 20 + 6 \cdot 7 - 2 \cdot 7 \cdot \sqrt{7} = 20 + 42 - 14\sqrt{7} \approx 20 + 42 - 37.04 \approx 24.96$

Шаг 4: Сравним полученные значения:
$y(3) \approx 27.61$
$y(4) = 28$
$y(7) \approx 24.96$

Наибольшее из этих значений: $28$

Ответ: $28$

Задание

Вычислить определенный интеграл: $\int_{1}^{2} (2x - \frac{1}{x^2})dx$

Решение

Для вычисления данного определенного интеграла разобьем его на сумму двух интегралов и найдем первообразную для каждого слагаемого.

1️⃣ Разделим интеграл на две части:
$\int_{1}^{2} (2x - \frac{1}{x^2})dx = \int_{1}^{2} 2x\,dx - \int_{1}^{2} \frac{1}{x^2}\,dx$

2️⃣ Найдем первообразные для каждого интеграла:

• Для $\int 2x\,dx$: первообразная равна $x^2 + C_1$
• Для $\int \frac{1}{x^2}\,dx$: первообразная равна $-\frac{1}{x} + C_2$

3️⃣ Применим формулу Ньютона-Лейбница:
$\int_{1}^{2} (2x - \frac{1}{x^2})dx = [x^2 + \frac{1}{x}]_{1}^{2}$

4️⃣ Вычислим значение:
$[x^2 + \frac{1}{x}]_{1}^{2} = (2^2 + \frac{1}{2}) - (1^2 + \frac{1}{1}) = (4 + \frac{1}{2}) - (1 + 1) = 4 + \frac{1}{2} - 2 = 2 + \frac{1}{2} = \frac{5}{2}$

Ответ: $\frac{5}{2}$

Задание №2 (1 балл)

На рисунке изображён график функции $y = F(x)$ — одной из первообразных функции $f(x)$, определённой на интервале $(-3; 5)$. Найдите количество решений уравнения $f(x) = 0$ на отрезке $[-2; 4]$.

Решение:

Вспомним связь между функцией и её первообразной: если $F(x)$ — первообразная функции $f(x)$, то $F'(x) = f(x)$.

Таким образом, нам нужно найти количество точек, в которых производная функции $F(x)$ равна нулю на отрезке $[-2; 4]$.

Геометрически производная функции равна нулю в точках, где касательная к графику функции параллельна оси $Ox$, то есть в точках экстремума функции (максимумах и минимумах).

Проанализируем график функции $F(x)$ на отрезке $[-2; 4]$:

1. Начиная с точки $x = -2$ и двигаясь вправо, находим:
   - Локальный минимум примерно при $x ≈ -1.5$
   - Локальный максимум примерно при $x ≈ -1$
   - Локальный минимум примерно при $x ≈ -0.5$
   - Локальный максимум примерно при $x ≈ 0.5$
   - Локальный минимум примерно при $x ≈ 1$
   - Локальный максимум примерно при $x ≈ 2$
   - Локальный минимум примерно при $x ≈ 2.5$
   - Локальный максимум примерно при $x ≈ 3$
   - Локальный минимум примерно при $x ≈ 3.5$

Всего на отрезке $[-2; 4]$ мы обнаружили 9 точек экстремума, где производная функции $F(x)$ равна нулю.

Ответ: 9

Задание №3 (1 балл)

Для функции $f(x) = \cos \frac{x}{2}$ найдите значение константы в записи первообразной для этой функции $F(x)$, график которой проходит через точку $A(\frac{\pi}{3}; 1)$.

Решение:

1️⃣ Найдем первообразную функции $f(x) = \cos \frac{x}{2}$.

Используем формулу интегрирования: $\int \cos ax \, dx = \frac{1}{a} \sin ax + C$

В нашем случае $a = \frac{1}{2}$, поэтому:

$F(x) = \int \cos \frac{x}{2} \, dx = 2 \sin \frac{x}{2} + C$

2️⃣ Используем условие, что график первообразной проходит через точку $A(\frac{\pi}{3}; 1)$.

Подставим координаты точки $A$ в выражение для $F(x)$:

$F(\frac{\pi}{3}) = 2 \sin \frac{\pi}{6} + C = 1$

Вычислим $\sin \frac{\pi}{6}$:

$\sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$

Подставим это значение:

$2 \cdot \frac{1}{2} + C = 1$

$1 + C = 1$

$C = 0$

Ответ: $C = 0$

Задание №4 (1 балл)

На рисунке изображён график некоторой функции $F(x)$ (два луча с общей начальной точкой). Пользуясь рисунком, вычислите $F(8) - F(2)$, где $F(x)$ — одна из первообразных функции $f(x)$.

Решение:

По рисунку видим, что график функции $F(x)$ состоит из двух лучей с общей начальной точкой $(3, 2)$. Левый луч идет горизонтально влево от точки $(3, 2)$, а правый луч идет вниз вправо от точки $(3, 2)$ до точки $(8, 0)$.

Нам нужно найти разность $F(8) - F(2)$.

Из графика определяем:
- $F(2) = 2$ (точка на горизонтальном луче с координатой $x = 2$)
- $F(8) = 0$ (точка на наклонном луче с координатой $x = 8$)

Таким образом:
$F(8) - F(2) = 0 - 2 = -2$

Ответ: $-2$

Задание №5 (1 балл)

Найдите площадь фигуры, ограниченной следующими графиками функций. В ответе запишите число, умноженное на 6.

Решение:

На рисунке изображены два графика функций: черная парабола (ветви направлены вверх) и красная парабола (ветви направлены вниз). Нам нужно найти площадь фигуры, ограниченной этими графиками.

По графику можно определить следующие характеристики функций:

1. Черная парабола имеет минимум в точке примерно $(2, 2)$
2. Красная парабола имеет максимум в точке примерно $(2, 4)$
3. Параболы пересекаются в двух точках: примерно в $(1, 3)$ и $(3, 3)$

Площадь фигуры, ограниченной двумя кривыми, можно найти как интеграл от разности функций на интервале между точками пересечения:

$S = \int_{1}^{3} [f_{\text{красная}}(x) - f_{\text{черная}}(x)] \, dx$

Где $f_{\text{красная}}(x)$ - функция красной параболы, а $f_{\text{черная}}(x)$ - функция черной параболы.

По графику видно, что красная парабола находится выше черной на интервале $[1, 3]$.

Из условий симметрии и расположения вершин можно предположить, что:
- Красная парабола: $f_{\text{красная}}(x) = -x^2 + 4x$
- Черная парабола: $f_{\text{черная}}(x) = x^2 - 2$

Проверим точки пересечения, решив уравнение:
$-x^2 + 4x = x^2 - 2$
$-2x^2 + 4x + 2 = 0$
$-x^2 + 2x + 1 = 0$
$x^2 - 2x - 1 = 0$

По формуле корней квадратного уравнения:
$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{2}}{2} = 1 \pm \sqrt{2}$

Получаем $x_1 = 1 + \sqrt{2} \approx 2.41$ и $x_2 = 1 - \sqrt{2} \approx -0.41$

Это не соответствует наблюдаемым точкам пересечения. Скорректируем наши предположения.

По графику видно, что точки пересечения находятся примерно при $x = 1$ и $x = 3$, а значение функций в этих точках равно примерно $y = 3$.

Предположим, что функции имеют вид:
- Красная парабола: $f_{\text{красная}}(x) = -x^2 + 4x$
- Черная парабола: $f_{\text{черная}}(x) = (x-2)^2 + 2 = x^2 - 4x + 6$

Проверим точки пересечения:
$-x^2 + 4x = x^2 - 4x + 6$
$-2x^2 + 8x - 6 = 0$
$-x^2 + 4x - 3 = 0$
$x^2 - 4x + 3 = 0$
$(x - 1)(x - 3) = 0$

Получаем $x_1 = 1$ и $x_2 = 3$, что соответствует наблюдаемым точкам пересечения.

Теперь найдем площадь фигуры:

$S = \int_{1}^{3} [(-x^2 + 4x) - (x^2 - 4x + 6)] \, dx$
$S = \int_{1}^{3} [-x^2 + 4x - x^2 + 4x - 6] \, dx$
$S = \int_{1}^{3} [-2x^2 + 8x - 6] \, dx$

Вычислим интеграл:
$S = [-\frac{2x^3}{3} + 4x^2 - 6x]_{1}^{3}$
$S = [-\frac{2 \cdot 27}{3} + 4 \cdot 9 - 6 \cdot 3] - [-\frac{2 \cdot 1}{3} + 4 \cdot 1 - 6 \cdot 1]$
$S = [-18 + 36 - 18] - [-\frac{2}{3} + 4 - 6]$
$S = [0] - [-\frac{2}{3} - 2]$
$S = [0] - [-\frac{8}{3}]$
$S = \frac{8}{3}$

По условию задачи, в ответе нужно записать число, умноженное на 6:
$S \cdot 6 = \frac{8}{3} \cdot 6 = \frac{48}{3} = 16$

Ответ: 16

Задание №6 (1,5 балла)

Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями $y = x^2 + 4x + 4$, $y = 4 + x$.

Решение:

Для нахождения площади фигуры, ограниченной двумя кривыми, нам нужно:

1. Найти точки пересечения кривых
2. Определить, какая функция выше на интересующем нас интервале
3. Вычислить интеграл разности функций на этом интервале

Шаг 1: Найдем точки пересечения кривых, приравняв их:

$x^2 + 4x + 4 = 4 + x$

$x^2 + 4x + 4 - 4 - x = 0$

$x^2 + 3x = 0$

$x(x + 3) = 0$

Отсюда получаем $x = 0$ или $x = -3$.

Подставим эти значения в любое из уравнений, чтобы найти соответствующие значения $y$:

При $x = 0$: $y = 4 + 0 = 4$
При $x = -3$: $y = 4 + (-3) = 1$

Таким образом, точки пересечения: $(0, 4)$ и $(-3, 1)$.

Шаг 2: Определим, какая функция выше на интервале $[-3, 0]$.

Преобразуем первую функцию: $y = x^2 + 4x + 4 = (x + 2)^2$. Это парабола с вершиной в точке $(-2, 0)$, ветви направлены вверх.

Вторая функция $y = 4 + x$ - это прямая линия.

Проверим значение функций в точке $x = -2$ (между точками пересечения):
- Для параболы: $y = (-2)^2 + 4(-2) + 4 = 4 - 8 + 4 = 0$
- Для прямой: $y = 4 + (-2) = 2$

При $x = -2$ прямая находится выше параболы. Значит, на интервале $[-3, 0]$ прямая $y = 4 + x$ расположена выше параболы $y = x^2 + 4x + 4$.

Шаг 3: Вычислим площадь фигуры как интеграл разности функций:

$S = \int_{-3}^{0} [(4 + x) - (x^2 + 4x + 4)] \, dx$

$S = \int_{-3}^{0} [4 + x - x^2 - 4x - 4] \, dx$

$S = \int_{-3}^{0} [-x^2 - 3x] \, dx$

$S = \int_{-3}^{0} [-(x^2 + 3x)] \, dx$

$S = -\int_{-3}^{0} [x^2 + 3x] \, dx$

$S = -[\frac{x^3}{3} + \frac{3x^2}{2}]_{-3}^{0}$

$S = -[(\frac{0^3}{3} + \frac{3 \cdot 0^2}{2}) - (\frac{(-3)^3}{3} + \frac{3 \cdot (-3)^2}{2})]$

$S = -[0 - (\frac{-27}{3} + \frac{3 \cdot 9}{2})]$

$S = -[0 - (-9 + \frac{27}{2})]$

$S = -[0 - (-9 + 13.5)]$

$S = -[0 - 4.5]$

$S = 4.5$

Ответ: $4.5$ или $\frac{9}{2}$

Задание №7 (1,5 балла)

Вычислите $\int_{-2}^{0} (0,5x + 1)^4 dx$

Решение:

Для вычисления данного интеграла сделаем замену переменной, чтобы упростить подынтегральное выражение.

Пусть $u = 0,5x + 1$, тогда $du = 0,5 \, dx$ или $dx = 2 \, du$.

При $x = -2$: $u = 0,5 \cdot (-2) + 1 = -1 + 1 = 0$
При $x = 0$: $u = 0,5 \cdot 0 + 1 = 1$

Таким образом, интеграл преобразуется:

$\int_{-2}^{0} (0,5x + 1)^4 dx = \int_{0}^{1} u^4 \cdot 2 \, du = 2 \int_{0}^{1} u^4 \, du$

Вычислим интеграл $\int u^4 \, du$:

$\int u^4 \, du = \frac{u^5}{5} + C$

Теперь подставим пределы интегрирования:

$2 \int_{0}^{1} u^4 \, du = 2 \left[ \frac{u^5}{5} \right]_{0}^{1} = 2 \left( \frac{1^5}{5} - \frac{0^5}{5} \right) = 2 \cdot \frac{1}{5} = \frac{2}{5}$

Ответ: $\frac{2}{5}$ или $0,4$

Задание №8 (2 балла)

Вычислите $\int_{0}^{\pi} x\sin x\,dx$. В ответе запишите число, делённое на $\pi$.

Решение:

Для вычисления интеграла $\int x\sin x\,dx$ воспользуемся методом интегрирования по частям.

Формула интегрирования по частям: $\int u(x)v'(x)\,dx = u(x)v(x) - \int v(x)u'(x)\,dx$

Пусть:
- $u(x) = x$, тогда $u'(x) = 1$
- $v'(x) = \sin x$, тогда $v(x) = -\cos x$

Применяем формулу интегрирования по частям:

$\int x\sin x\,dx = x(-\cos x) - \int (-\cos x) \cdot 1\,dx$

$\int x\sin x\,dx = -x\cos x + \int \cos x\,dx$

$\int x\sin x\,dx = -x\cos x + \sin x + C$

Теперь вычислим определенный интеграл $\int_{0}^{\pi} x\sin x\,dx$:

$\int_{0}^{\pi} x\sin x\,dx = [-x\cos x + \sin x]_{0}^{\pi}$

$= [-\pi\cos \pi + \sin \pi] - [-0\cos 0 + \sin 0]$

$= [-\pi\cos \pi + \sin \pi] - [0 + 0]$

$= [-\pi\cos \pi + \sin \pi]$

Вычислим значения тригонометрических функций:
- $\cos \pi = -1$
- $\sin \pi = 0$

Подставляем:

$\int_{0}^{\pi} x\sin x\,dx = [-\pi \cdot (-1) + 0] = [\pi] = \pi$

По условию задачи, в ответе нужно записать число, делённое на $\pi$. Поскольку результат равен $\pi$, то после деления на $\pi$ получаем:

$\frac{\pi}{\pi} = 1$

Ответ: $1$

Задание №9 (2 балла)

Для функции $f(x)$ найдите первообразную, обладающую указанным свойством: график первообразной имеет только одну общую точку с прямой $y$, если $f(x) = 4x + 8, y = 3$. В ответе запишите значение этой первообразной в точке $0$.

Решение:

Пусть $F(x)$ — искомая первообразная функции $f(x) = 4x + 8$.

Шаг 1: Найдем общий вид первообразной функции $f(x) = 4x + 8$.

$F(x) = \int (4x + 8) dx = 4 \cdot \frac{x^2}{2} + 8x + C = 2x^2 + 8x + C$, где $C$ — произвольная константа.

Шаг 2: По условию, график первообразной $F(x)$ имеет только одну общую точку с прямой $y = 3$. Это означает, что уравнение $F(x) = 3$ имеет ровно один корень.

Запишем это уравнение:
$2x^2 + 8x + C = 3$

Преобразуем его к стандартному виду квадратного уравнения:
$2x^2 + 8x + (C - 3) = 0$

Для того чтобы квадратное уравнение имело ровно один корень, необходимо, чтобы его дискриминант был равен нулю:

$D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4 \cdot 2 \cdot (C - 3) = 64 - 8(C - 3) = 64 - 8C + 24 = 88 - 8C = 0$

Отсюда находим $C$:
$88 - 8C = 0$
$-8C = -88$
$C = 11$

Шаг 3: Теперь, когда мы нашли значение константы $C = 11$, запишем окончательный вид первообразной:

$F(x) = 2x^2 + 8x + 11$

Шаг 4: Найдем значение первообразной $F(x)$ в точке $x = 0$:

$F(0) = 2 \cdot 0^2 + 8 \cdot 0 + 11 = 0 + 0 + 11 = 11$

Ответ: $11$