Язык задания: Russian

Задание 1

Решить систему уравнений:

$\begin{cases}
x^3 + y^3 + x^3y^3 = 12, \
x + y + xy = 0.
\end{cases}$

Решение:

1. Выразим $x+y$ из второго уравнения:
   $x + y = -xy$

2. Возведем обе части в куб:
   $(x+y)^3 = (-xy)^3$
   $x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3 = -x^3y^3$
   $x^3 + y^3 + 3xy(x+y) = -x^3y^3$

3. Подставим $x+y = -xy$ в полученное уравнение:
   $x^3 + y^3 + 3xy(-xy) = -x^3y^3$
   $x^3 + y^3 - 3x^2y^2 = -x^3y^3$
   $x^3 + y^3 = 3x^2y^2 - x^3y^3$

4. Подставим выражение для $x^3 + y^3$ в первое уравнение системы:
   $3x^2y^2 - x^3y^3 + x^3y^3 = 12$
   $3x^2y^2 = 12$
   $x^2y^2 = 4$
   $xy = \pm 2$

5. Рассмотрим два случая:

   • Случай 1: $xy = 2$
     Тогда $x + y = -xy = -2$.
     По теореме Виета, $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 + 2t + 2 = 0$.
     $D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 4 - 8 = -4$
     $t_{1,2} = \frac{-2 \pm \sqrt{-4}}{2} = \frac{-2 \pm 2i}{2} = -1 \pm i$
     Таким образом, $x = -1 + i$, $y = -1 - i$ или наоборот.

   • Случай 2: $xy = -2$
     Тогда $x + y = -xy = 2$.
     По теореме Виета, $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - 2t - 2 = 0$.
     $D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 4 + 8 = 12$
     $t_{1,2} = \frac{2 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 1 \pm \sqrt{3}$
     Таким образом, $x = 1 + \sqrt{3}$, $y = 1 - \sqrt{3}$ или наоборот.

Ответ:

Решения системы уравнений:
* $x = -1 + i$, $y = -1 - i$
* $x = -1 - i$, $y = -1 + i$
* $x = 1 + \sqrt{3}$, $y = 1 - \sqrt{3}$
* $x = 1 - \sqrt{3}$, $y = 1 + \sqrt{3}$

Задание 1 (Альтернативное решение)

Решим систему уравнений:

$\begin{cases}
x^3 + y^3 + x^3y^3 = 12, \
x + y + xy = 0.
\end{cases}$

1. Введем новые переменные:
   $s = x + y$
   $p = xy$

2. Тогда второе уравнение системы можно записать как:
   $s + p = 0$
   $s = -p$

3. Выразим $x^3 + y^3$ через $s$ и $p$:
   $x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 - xy + y^2) = (x+y)((x+y)^2 - 3xy) = s(s^2 - 3p)$

4. Подставим $s = -p$ в выражение для $x^3 + y^3$:
   $x^3 + y^3 = -p((-p)^2 - 3p) = -p(p^2 - 3p) = -p^3 + 3p^2$

5. Подставим выражения для $x^3 + y^3$ и $xy$ в первое уравнение системы:
   $-p^3 + 3p^2 + p^3 = 12$
   $3p^2 = 12$
   $p^2 = 4$
   $p = \pm 2$

6. Рассмотрим два случая:

   • Случай 1: $p = xy = 2$
     Тогда $s = x + y = -p = -2$.
     По теореме Виета, $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 + 2t + 2 = 0$.
     $D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 4 - 8 = -4$
     $t_{1,2} = \frac{-2 \pm \sqrt{-4}}{2} = \frac{-2 \pm 2i}{2} = -1 \pm i$
     Таким образом, $x = -1 + i$, $y = -1 - i$ или наоборот.

   • Случай 2: $p = xy = -2$
     Тогда $s = x + y = -p = 2$.
     По теореме Виета, $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - 2t - 2 = 0$.
     $D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 4 + 8 = 12$
     $t_{1,2} = \frac{2 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 1 \pm \sqrt{3}$
     Таким образом, $x = 1 + \sqrt{3}$, $y = 1 - \sqrt{3}$ или наоборот.

Ответ:

Решения системы уравнений:
* $x = -1 + i$, $y = -1 - i$
* $x = -1 - i$, $y = -1 + i$
* $x = 1 + \sqrt{3}$, $y = 1 - \sqrt{3}$
* $x = 1 - \sqrt{3}$, $y = 1 + \sqrt{3}$

Сравнение решений:

Оба решения приводят к одному и тому же ответу. Альтернативное решение с использованием замены переменных $s = x + y$ и $p = xy$ может показаться более компактным и элегантным, так как позволяет избежать возведения в куб выражения $(x+y)$ и упрощает алгебраические преобразования. В первом решении мы сразу выражали $x^3 + y^3$ через $xy$, что требовало больше промежуточных вычислений.

Преимущество альтернативного решения заключается в более систематическом подходе и меньшем количестве сложных алгебраических манипуляций.