Язык задания: Russian

Задание 5

Найти объем пирамиды и длину высоты, опущенной из вершины B.

Дано: Вершины пирамиды $A(3, -5, -2)$, $B(-4, 2, 3)$, $C(1, 5, 7)$, $D(-2, -4, 5)$.

Решение:

1. Находим объем пирамиды:

Объем пирамиды можно найти, используя смешанное произведение векторов. Сначала найдем векторы, исходящие из точки A:

$\vec{AC} = C - A = (1 - 3, 5 - (-5), 7 - (-2)) = (-2, 10, 9)$
$\vec{AD} = D - A = (-2 - 3, -4 - (-5), 5 - (-2)) = (-5, 1, 7)$
$\vec{AB} = B - A = (-4 - 3, 2 - (-5), 3 - (-2)) = (-7, 7, 5)$

Объем пирамиды равен $\frac{1}{6}$ модуля смешанного произведения векторов $\vec{AB}$, $\vec{AC}$ и $\vec{AD}$:

$V = \frac{1}{6} |(\vec{AB} \times \vec{AC}) \cdot \vec{AD}|$

Сначала найдем векторное произведение $\vec{AB} \times \vec{AC}$:

$\vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \ -7 & 7 & 5 \ -2 & 10 & 9 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(7 \cdot 9 - 5 \cdot 10) - \mathbf{j}(-7 \cdot 9 - 5 \cdot (-2)) + \mathbf{k}(-7 \cdot 10 - 7 \cdot (-2)) = (63 - 50)\mathbf{i} - (-63 + 10)\mathbf{j} + (-70 + 14)\mathbf{k} = 13\mathbf{i} + 53\mathbf{j} - 56\mathbf{k} = (13, 53, -56)$

Теперь найдем скалярное произведение $(\vec{AB} \times \vec{AC}) \cdot \vec{AD}$:

$(13, 53, -56) \cdot (-5, 1, 7) = 13 \cdot (-5) + 53 \cdot 1 + (-56) \cdot 7 = -65 + 53 - 392 = -404$

$V = \frac{1}{6} |-404| = \frac{404}{6} = \frac{202}{3}$

2. Находим длину высоты, опущенной из вершины B:

Длина высоты $h$ из вершины $B$ на основание $ACD$ может быть найдена по формуле:

$h = \frac{3V}{S_{ACD}}$

где $S_{ACD}$ - площадь треугольника $ACD$. Площадь треугольника $ACD$ можно найти как половину модуля векторного произведения векторов $\vec{AC}$ и $\vec{AD}$:

$S_{ACD} = \frac{1}{2} |\vec{AC} \times \vec{AD}|$

Найдем векторное произведение $\vec{AC} \times \vec{AD}$:

$\vec{AC} \times \vec{AD} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \ -2 & 10 & 9 \ -5 & 1 & 7 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(10 \cdot 7 - 9 \cdot 1) - \mathbf{j}(-2 \cdot 7 - 9 \cdot (-5)) + \mathbf{k}(-2 \cdot 1 - 10 \cdot (-5)) = (70 - 9)\mathbf{i} - (-14 + 45)\mathbf{j} + (-2 + 50)\mathbf{k} = 61\mathbf{i} - 31\mathbf{j} + 48\mathbf{k} = (61, -31, 48)$

$S_{ACD} = \frac{1}{2} \sqrt{61^2 + (-31)^2 + 48^2} = \frac{1}{2} \sqrt{3721 + 961 + 2304} = \frac{1}{2} \sqrt{6986}$

Теперь найдем высоту $h$:

$h = \frac{3V}{S_{ACD}} = \frac{3 \cdot \frac{202}{3}}{\frac{1}{2} \sqrt{6986}} = \frac{202}{\frac{1}{2} \sqrt{6986}} = \frac{404}{\sqrt{6986}} = \frac{404\sqrt{6986}}{6986} = \frac{202\sqrt{6986}}{3493}$

Ответ:

Объем пирамиды: $V = \frac{202}{3}$
Длина высоты, опущенной из вершины B: $h = \frac{202\sqrt{6986}}{3493}$