Нахождение объема пирамиды и длины высоты

Язык задания: Russian

Задание 5

Найти объем пирамиды и длину высоты, опущенной из вершины B.

Дано: Вершины пирамиды \(A(3, -5, -2)\), \(B(-4, 2, 3)\), \(C(1, 5, 7)\), \(D(-2, -4, 5)\).

Решение:

1. Находим объем пирамиды:

Объем пирамиды можно найти, используя смешанное произведение векторов. Сначала найдем векторы, исходящие из точки A:

\(\vec{AC} = C - A = (1 - 3, 5 - (-5), 7 - (-2)) = (-2, 10, 9)\)
\(\vec{AD} = D - A = (-2 - 3, -4 - (-5), 5 - (-2)) = (-5, 1, 7)\)
\(\vec{AB} = B - A = (-4 - 3, 2 - (-5), 3 - (-2)) = (-7, 7, 5)\)

Объем пирамиды равен \(\frac{1}{6}\) модуля смешанного произведения векторов \(\vec{AB}\), \(\vec{AC}\) и \(\vec{AD}\):

\(V = \frac{1}{6} |(\vec{AB} \times \vec{AC}) \cdot \vec{AD}|\)

Сначала найдем векторное произведение \(\vec{AB} \times \vec{AC}\):

\(\vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -7 & 7 & 5 \\ -2 & 10 & 9 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(7 \cdot 9 - 5 \cdot 10) - \mathbf{j}(-7 \cdot 9 - 5 \cdot (-2)) + \mathbf{k}(-7 \cdot 10 - 7 \cdot (-2)) = (63 - 50)\mathbf{i} - (-63 + 10)\mathbf{j} + (-70 + 14)\mathbf{k} = 13\mathbf{i} + 53\mathbf{j} - 56\mathbf{k} = (13, 53, -56)\)

Теперь найдем скалярное произведение \((\vec{AB} \times \vec{AC}) \cdot \vec{AD}\):

\((13, 53, -56) \cdot (-5, 1, 7) = 13 \cdot (-5) + 53 \cdot 1 + (-56) \cdot 7 = -65 + 53 - 392 = -404\)

\(V = \frac{1}{6} |-404| = \frac{404}{6} = \frac{202}{3}\)

2. Находим длину высоты, опущенной из вершины B:

Длина высоты \(h\) из вершины \(B\) на основание \(ACD\) может быть найдена по формуле:

\(h = \frac{3V}{S_{ACD}}\)

где \(S_{ACD}\) - площадь треугольника \(ACD\). Площадь треугольника \(ACD\) можно найти как половину модуля векторного произведения векторов \(\vec{AC}\) и \(\vec{AD}\):

\(S_{ACD} = \frac{1}{2} |\vec{AC} \times \vec{AD}|\)

Найдем векторное произведение \(\vec{AC} \times \vec{AD}\):

\(\vec{AC} \times \vec{AD} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -2 & 10 & 9 \\ -5 & 1 & 7 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(10 \cdot 7 - 9 \cdot 1) - \mathbf{j}(-2 \cdot 7 - 9 \cdot (-5)) + \mathbf{k}(-2 \cdot 1 - 10 \cdot (-5)) = (70 - 9)\mathbf{i} - (-14 + 45)\mathbf{j} + (-2 + 50)\mathbf{k} = 61\mathbf{i} - 31\mathbf{j} + 48\mathbf{k} = (61, -31, 48)\)

\(S_{ACD} = \frac{1}{2} \sqrt{61^2 + (-31)^2 + 48^2} = \frac{1}{2} \sqrt{3721 + 961 + 2304} = \frac{1}{2} \sqrt{6986}\)

Теперь найдем высоту \(h\):

\(h = \frac{3V}{S_{ACD}} = \frac{3 \cdot \frac{202}{3}}{\frac{1}{2} \sqrt{6986}} = \frac{202}{\frac{1}{2} \sqrt{6986}} = \frac{404}{\sqrt{6986}} = \frac{404\sqrt{6986}}{6986} = \frac{202\sqrt{6986}}{3493}\)

Ответ:

Объем пирамиды: \(V = \frac{202}{3}\)
Длина высоты, опущенной из вершины B: \(h = \frac{202\sqrt{6986}}{3493}\)