Упрощение алгебраического выражения с дробями
Здравствуйте! Я Homiwork, и я помогу вам с решением этих заданий. Давайте разберем их по порядку.
Задание 1
Выражение:
$\frac{3}{m+3} + \frac{5m}{m+3} - \frac{14m}{m^2+6m+9} \cdot \frac{5m+1}{3}$
Решение:
-
Упростим знаменатель третьей дроби:
$m^2 + 6m + 9 = (m+3)^2$ -
Перепишем выражение с упрощенным знаменателем:
$\frac{3}{m+3} + \frac{5m}{m+3} - \frac{14m}{(m+3)^2} \cdot \frac{5m+1}{3}$ -
Приведем первые две дроби к общему знаменателю:
$\frac{3+5m}{m+3} - \frac{14m(5m+1)}{3(m+3)^2}$ -
Приведем обе дроби к общему знаменателю $3(m+3)^2$:
$\frac{3(3+5m)(m+3)}{3(m+3)^2} - \frac{14m(5m+1)}{3(m+3)^2}$ -
Раскроем скобки в числителе первой дроби:
$3(3+5m)(m+3) = 3(3m + 9 + 5m^2 + 15m) = 3(5m^2 + 18m + 9) = 15m^2 + 54m + 27$ -
Раскроем скобки в числителе второй дроби:
$14m(5m+1) = 70m^2 + 14m$ -
Объединим дроби:
$\frac{15m^2 + 54m + 27 - (70m^2 + 14m)}{3(m+3)^2}$ -
Упростим числитель:
$\frac{15m^2 + 54m + 27 - 70m^2 - 14m}{3(m+3)^2} = \frac{-55m^2 + 40m + 27}{3(m+3)^2}$
Ответ:
$\frac{-55m^2 + 40m + 27}{3(m+3)^2}$
Ассистент: Спасибо за уточнение! Я внимательно пересмотрел условие и внес исправления.
Задание 1 (Исправленное)
Выражение:
$\frac{3(m-3)}{m+3} + \frac{5m}{m+3} - \frac{14m}{m^2-9} \cdot \frac{5m+1}{3}$
Решение:
-
Упростим знаменатель третьей дроби:
$m^2 - 9 = (m-3)(m+3)$ -
Перепишем выражение с упрощенным знаменателем:
$\frac{3(m-3)}{m+3} + \frac{5m}{m+3} - \frac{14m}{(m-3)(m+3)} \cdot \frac{5m+1}{3}$ -
Приведем первые две дроби к общему знаменателю:
$\frac{3(m-3) + 5m}{m+3} - \frac{14m(5m+1)}{3(m-3)(m+3)}$ -
Упростим числитель первой дроби:
$3(m-3) + 5m = 3m - 9 + 5m = 8m - 9$ -
Перепишем выражение:
$\frac{8m-9}{m+3} - \frac{14m(5m+1)}{3(m-3)(m+3)}$ -
Приведем обе дроби к общему знаменателю $3(m-3)(m+3)$:
$\frac{3(8m-9)(m-3)}{3(m-3)(m+3)} - \frac{14m(5m+1)}{3(m-3)(m+3)}$ -
Раскроем скобки в числителе первой дроби:
$3(8m-9)(m-3) = 3(8m^2 - 24m - 9m + 27) = 3(8m^2 - 33m + 27) = 24m^2 - 99m + 81$ -
Раскроем скобки в числителе второй дроби:
$14m(5m+1) = 70m^2 + 14m$ -
Объединим дроби:
$\frac{24m^2 - 99m + 81 - (70m^2 + 14m)}{3(m-3)(m+3)}$ -
Упростим числитель:
$\frac{24m^2 - 99m + 81 - 70m^2 - 14m}{3(m-3)(m+3)} = \frac{-46m^2 - 113m + 81}{3(m-3)(m+3)}$
Ответ:
$\frac{-46m^2 - 113m + 81}{3(m-3)(m+3)}$
Ассистент: Хорошо, я учту все ваши замечания и исправлю решение.
Задание 1 (Исправленное с учетом порядка действий и знаменателей)
Выражение:
$\frac{3(m-3)}{m+3} + \frac{5m}{m+3} - \frac{14m}{m^2+6m+9} \cdot \frac{5m+1}{m^2-9}$
Решение:
-
Упростим знаменатели:
- $m^2 + 6m + 9 = (m+3)^2$
- $m^2 - 9 = (m-3)(m+3)$
-
Перепишем выражение с упрощенными знаменателями:
$\frac{3(m-3)}{m+3} + \frac{5m}{m+3} - \frac{14m}{(m+3)^2} \cdot \frac{5m+1}{(m-3)(m+3)}$ -
Выполним умножение дробей:
$\frac{14m}{(m+3)^2} \cdot \frac{5m+1}{(m-3)(m+3)} = \frac{14m(5m+1)}{(m+3)^3(m-3)}$ -
Перепишем выражение с результатом умножения:
$\frac{3(m-3)}{m+3} + \frac{5m}{m+3} - \frac{14m(5m+1)}{(m+3)^3(m-3)}$ -
Приведем первые две дроби к общему знаменателю:
$\frac{3(m-3) + 5m}{m+3} - \frac{14m(5m+1)}{(m+3)^3(m-3)}$ -
Упростим числитель первой дроби:
$3(m-3) + 5m = 3m - 9 + 5m = 8m - 9$ -
Перепишем выражение:
$\frac{8m-9}{m+3} - \frac{14m(5m+1)}{(m+3)^3(m-3)}$ -
Приведем обе дроби к общему знаменателю $(m+3)^3(m-3)$:
$\frac{(8m-9)(m+3)^2(m-3)}{(m+3)^3(m-3)} - \frac{14m(5m+1)}{(m+3)^3(m-3)}$ -
Раскроем скобки в числителе первой дроби:
$(8m-9)(m+3)^2(m-3) = (8m-9)(m^2+6m+9)(m-3) = (8m-9)(m^3 + 6m^2 + 9m - 3m^2 - 18m - 27) = (8m-9)(m^3 + 3m^2 - 9m - 27) = 8m^4 + 24m^3 - 72m^2 - 216m - 9m^3 - 27m^2 + 81m + 243 = 8m^4 + 15m^3 - 99m^2 - 135m + 243$ -
Раскроем скобки в числителе второй дроби:
$14m(5m+1) = 70m^2 + 14m$ -
Объединим дроби:
$\frac{8m^4 + 15m^3 - 99m^2 - 135m + 243 - (70m^2 + 14m)}{(m+3)^3(m-3)}$ -
Упростим числитель:
$\frac{8m^4 + 15m^3 - 99m^2 - 135m + 243 - 70m^2 - 14m}{(m+3)^3(m-3)} = \frac{8m^4 + 15m^3 - 169m^2 - 149m + 243}{(m+3)^3(m-3)}$
Ответ:
$\frac{8m^4 + 15m^3 - 169m^2 - 149m + 243}{(m+3)^3(m-3)}$
Ассистент: Хорошо, теперь я понял порядок действий. Выполняем действия строго в соответствии с указанным порядком.
Задание 1 (Исправленное с учетом порядка действий)
Выражение:
$\frac{3(m-3)}{m+3} + \frac{5m}{m+3} - \frac{14m}{m^2+6m+9} \cdot \frac{5m+1}{m^2-9}$
Решение:
-
Выполняем действие в скобках: вычитание дробей.
Сначала упростим знаменатели:- $m^2 + 6m + 9 = (m+3)^2$
- $m^2 - 9 = (m-3)(m+3)$
Тогда выражение в скобках:
$\frac{5m}{m+3} - \frac{14m}{(m+3)^2} \cdot \frac{5m+1}{(m-3)(m+3)}$Сначала выполним умножение:
$\frac{14m}{(m+3)^2} \cdot \frac{5m+1}{(m-3)(m+3)} = \frac{14m(5m+1)}{(m+3)^3(m-3)} = \frac{70m^2 + 14m}{(m+3)^3(m-3)}$Теперь вычитание:
$\frac{5m}{m+3} - \frac{70m^2 + 14m}{(m+3)^3(m-3)}$Приведем к общему знаменателю:
$\frac{5m(m+3)^2(m-3)}{(m+3)^3(m-3)} - \frac{70m^2 + 14m}{(m+3)^3(m-3)}$Раскроем скобки в числителе первой дроби:
$5m(m+3)^2(m-3) = 5m(m^2 + 6m + 9)(m-3) = 5m(m^3 + 6m^2 + 9m - 3m^2 - 18m - 27) = 5m(m^3 + 3m^2 - 9m - 27) = 5m^4 + 15m^3 - 45m^2 - 135m$Вычитаем дроби:
$\frac{5m^4 + 15m^3 - 45m^2 - 135m - (70m^2 + 14m)}{(m+3)^3(m-3)} = \frac{5m^4 + 15m^3 - 115m^2 - 149m}{(m+3)^3(m-3)}$ -
Теперь прибавляем первую дробь:
$\frac{3(m-3)}{m+3} + \frac{5m^4 + 15m^3 - 115m^2 - 149m}{(m+3)^3(m-3)}$Приведем к общему знаменателю:
$\frac{3(m-3)(m+3)^2(m-3)}{(m+3)^3(m-3)} + \frac{5m^4 + 15m^3 - 115m^2 - 149m}{(m+3)^3(m-3)}$Раскроем скобки в числителе первой дроби:
$3(m-3)(m+3)^2(m-3) = 3(m-3)^2(m+3)^2 = 3((m-3)(m+3))^2 = 3(m^2 - 9)^2 = 3(m^4 - 18m^2 + 81) = 3m^4 - 54m^2 + 243$Складываем дроби:
$\frac{3m^4 - 54m^2 + 243 + 5m^4 + 15m^3 - 115m^2 - 149m}{(m+3)^3(m-3)}$Упростим числитель:
$\frac{8m^4 + 15m^3 - 169m^2 - 149m + 243}{(m+3)^3(m-3)}$
Ответ:
$\frac{8m^4 + 15m^3 - 169m^2 - 149m + 243}{(m+3)^3(m-3)}$
Ассистент: Приношу извинения за предыдущие ошибки. Я учту порядок действий, указанный на изображении.
Задание 1 (Исправленное с учетом правильного порядка действий)
Выражение:
$\frac{3(m-3)}{m+3} + \left( \frac{5m}{m+3} - \frac{14m}{m^2+6m+9} \cdot \frac{5m+1}{m^2-9} \right)$
Решение:
-
Выполняем действие в скобках: умножение дробей.
Сначала упростим знаменатели:- $m^2 + 6m + 9 = (m+3)^2$
- $m^2 - 9 = (m-3)(m+3)$
Тогда умножение:
$\frac{14m}{(m+3)^2} \cdot \frac{5m+1}{(m-3)(m+3)} = \frac{14m(5m+1)}{(m+3)^3(m-3)} = \frac{70m^2 + 14m}{(m+3)^3(m-3)}$ -
Выполняем действие в скобках: вычитание дробей.
$\frac{5m}{m+3} - \frac{70m^2 + 14m}{(m+3)^3(m-3)}$Приведем к общему знаменателю:
$\frac{5m(m+3)^2(m-3)}{(m+3)^3(m-3)} - \frac{70m^2 + 14m}{(m+3)^3(m-3)}$Раскроем скобки в числителе первой дроби:
$5m(m+3)^2(m-3) = 5m(m^2 + 6m + 9)(m-3) = 5m(m^3 + 6m^2 + 9m - 3m^2 - 18m - 27) = 5m(m^3 + 3m^2 - 9m - 27) = 5m^4 + 15m^3 - 45m^2 - 135m$Вычитаем дроби:
$\frac{5m^4 + 15m^3 - 45m^2 - 135m - (70m^2 + 14m)}{(m+3)^3(m-3)} = \frac{5m^4 + 15m^3 - 115m^2 - 149m}{(m+3)^3(m-3)}$ -
Теперь прибавляем первую дробь:
$\frac{3(m-3)}{m+3} + \frac{5m^4 + 15m^3 - 115m^2 - 149m}{(m+3)^3(m-3)}$Приведем к общему знаменателю:
$\frac{3(m-3)(m+3)^2(m-3)}{(m+3)^3(m-3)} + \frac{5m^4 + 15m^3 - 115m^2 - 149m}{(m+3)^3(m-3)}$Раскроем скобки в числителе первой дроби:
$3(m-3)(m+3)^2(m-3) = 3(m-3)^2(m+3)^2 = 3((m-3)(m+3))^2 = 3(m^2 - 9)^2 = 3(m^4 - 18m^2 + 81) = 3m^4 - 54m^2 + 243$Складываем дроби:
$\frac{3m^4 - 54m^2 + 243 + 5m^4 + 15m^3 - 115m^2 - 149m}{(m+3)^3(m-3)}$Упростим числитель:
$\frac{8m^4 + 15m^3 - 169m^2 - 149m + 243}{(m+3)^3(m-3)}$
Ответ:
$\frac{8m^4 + 15m^3 - 169m^2 - 149m + 243}{(m+3)^3(m-3)}$
Ассистент: Хорошо, я внесу изменения в соответствии с вашим указанием.
Задание 1 (Исправленное с учетом скобок)
Выражение:
$\frac{3(m-3)}{m+3} + \left( \frac{5m}{m+3} - \frac{14m}{m^2+6m+9} \right) \cdot \frac{5m+1}{m^2-9}$
Решение:
-
Выполняем действие в скобках: вычитание дробей.
Сначала упростим знаменатель второй дроби:
$m^2 + 6m + 9 = (m+3)^2$Тогда выражение в скобках:
$\frac{5m}{m+3} - \frac{14m}{(m+3)^2}$Приведем к общему знаменателю:
$\frac{5m(m+3)}{(m+3)^2} - \frac{14m}{(m+3)^2}$Упростим числитель:
$\frac{5m^2 + 15m - 14m}{(m+3)^2} = \frac{5m^2 + m}{(m+3)^2}$ -
Выполняем умножение результата на последнюю дробь.
Сначала упростим знаменатель последней дроби:
$m^2 - 9 = (m-3)(m+3)$Тогда умножение:
$\frac{5m^2 + m}{(m+3)^2} \cdot \frac{5m+1}{(m-3)(m+3)} = \frac{(5m^2 + m)(5m+1)}{(m+3)^3(m-3)}$Раскроем скобки в числителе:
$(5m^2 + m)(5m+1) = 25m^3 + 5m^2 + 5m^2 + m = 25m^3 + 10m^2 + m$Получаем:
$\frac{25m^3 + 10m^2 + m}{(m+3)^3(m-3)}$ -
Теперь прибавляем первую дробь:
$\frac{3(m-3)}{m+3} + \frac{25m^3 + 10m^2 + m}{(m+3)^3(m-3)}$Приведем к общему знаменателю:
$\frac{3(m-3)(m+3)^2(m-3)}{(m+3)^3(m-3)} + \frac{25m^3 + 10m^2 + m}{(m+3)^3(m-3)}$Раскроем скобки в числителе первой дроби:
$3(m-3)(m+3)^2(m-3) = 3(m-3)^2(m+3)^2 = 3((m-3)(m+3))^2 = 3(m^2 - 9)^2 = 3(m^4 - 18m^2 + 81) = 3m^4 - 54m^2 + 243$Складываем дроби:
$\frac{3m^4 - 54m^2 + 243 + 25m^3 + 10m^2 + m}{(m+3)^3(m-3)}$Упростим числитель:
$\frac{3m^4 + 25m^3 - 44m^2 + m + 243}{(m+3)^3(m-3)}$
Ответ:
$\frac{3m^4 + 25m^3 - 44m^2 + m + 243}{(m+3)^3(m-3)}$
