Привет! 👋 Давай разберем это задание.

Задание №14

Нужно найти, какие из предложенных точек принадлежат области определения функции $y = \frac{x-2}{\sqrt{6-x}}$.

Что такое область определения функции?
Это множество всех значений $x$, при которых функция имеет смысл (определена).

Шаги решения:
1. Подкоренное выражение: Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным: $6-x \ge 0$.
2. Знаменатель дроби: Знаменатель дроби не должен быть равен нулю: $\sqrt{6-x} \neq 0$.

Объединяем условия:
Чтобы оба условия выполнялись одновременно, выражение под корнем должно быть строго больше нуля:
$6-x > 0$

Решаем неравенство:
$6 - x > 0$
Переносим $x$ в правую часть:
$6 > x$
Или, что то же самое:
$x < 6$

Итак, область определения функции - это все значения $x$, которые меньше 6.

Проверяем предложенные точки:
* $x = 4$: $4 < 6$ ? Да, подходит. ✅
* $x = 8$: $8 < 6$ ? Нет, не подходит. ❌
* $x = -6$: $-6 < 6$ ? Да, подходит. ✅
* $x = 2$: $2 < 6$ ? Да, подходит. ✅

Ответ: Области определения функции принадлежат точки $x=4$, $x=-6$ и $x=2$. В задании просят выбрать не менее двух вариантов.

Задание 1: Найти область определения функции $y = \frac{\sqrt{x+2}}{x-6}$

Область определения функции (ОДЗ) - это множество всех значений аргумента $x$, при которых функция имеет смысл.

Для данной функции $y = \frac{\sqrt{x+2}}{x-6}$ должны выполняться два условия:

1. Подкоренное выражение должно быть неотрицательным:
   Выражение под знаком квадратного корня $\sqrt{x+2}$ должно быть больше или равно нулю.
   $x+2 \ge 0$
   $x \ge -2$

2. Знаменатель дроби не должен быть равен нулю:
   Знаменатель $x-6$ не может быть равен нулю, так как деление на ноль не определено.
   $x-6 \
   eq 0$
   $x \
   eq 6$

Объединяем условия:
Мы должны учитывать оба условия одновременно. Нам нужны значения $x$, которые удовлетворяют и $x \ge -2$, и $x \
eq 6$.

На числовой прямой это выглядит так:
* Отмечаем точку -2 (включительно) и все значения правее нее.
* Выкалываем (исключаем) точку 6.

Результат:
Область определения функции - это все числа от -2 до $+\infty$, за исключением числа 6.
В виде интервала: $x \in [-2, 6) \cup (6, +\infty)$.

Примечание: Среди предложенных вариантов ответа в исходном задании нет точного соответствия для этой функции. Наиболее близкий вариант, если предположить опечатку в задании или вариантах, может быть $x \in [-2; +\infty)$, но он не учитывает исключение $x=6$.

Задание 1

Найдем область определения для функции $y = \frac{\sqrt{x+2}}{x+6}$.

Область определения функции (ОДЗ) - это множество всех значений аргумента $x$, при которых выражение функции имеет смысл.

Для данной функции должны выполняться два условия:
1. Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $x+2 \ge 0$.
2. Знаменатель дроби не должен быть равен нулю: $x+6 \
eq 0$.

Решим эти условия:
1. $x+2 \ge 0 \implies x \ge -2$
2. $x+6 \
eq 0 \implies x \
eq -6$

Теперь объединим оба условия. Нам нужны значения $x$, которые одновременно удовлетворяют $x \ge -2$ и $x \
eq -6$.
Поскольку $-6$ не входит в промежуток $[-2, +\infty)$, второе условие ($x \
eq -6$) автоматически выполняется, если выполняется первое ($x \ge -2$).

Таким образом, область определения функции: $x \in [-2, +\infty)$.

Среди предложенных вариантов ответа это: $x \in [-2, +\infty)$.

Привет! 👋 Давай разберем это задание.

Задание 16

На рисунке изображен график функции. Нужно выбрать формулу, которая соответствует этому графику.

Давай проанализируем график шаг за шагом:

1. Форма графика: График похож на график функции косинуса, так как при $x=0$ функция принимает минимальное значение (или максимальное, если бы не было отражения).
2. Период: Функция совершает один полный цикл на отрезке от $x=0$ до $x=2\pi$. Значит, период $T = 2\pi$. Это стандартный период для $\sin(x)$ и $\cos(x)$, поэтому коэффициент при $x$ равен 1.
3. Амплитуда и вертикальный сдвиг:
   • Максимальное значение функции $y_{max} = 1$.
   • Минимальное значение функции $y_{min} = -3$.
   • Средняя линия графика проходит посередине между максимумом и минимумом: $D = \frac{y_{max} + y_{min}}{2} = \frac{1 + (-3)}{2} = \frac{-2}{2} = -1$. Это означает, что график сдвинут вниз на 1 единицу по оси Y.
   • Амплитуда $A$ - это расстояние от средней линии до максимума (или минимума): $A = y_{max} - D = 1 - (-1) = 2$ (или $A = D - y_{min} = -1 - (-3) = 2$).

4. Определение функции:

   • Общий вид функции: $y = A \cos(x) + D$ или $y = A \sin(x) + D$. Учитывая сдвиг $D=-1$ и амплитуду $A=2$, возможные варианты: $y = 2\cos(x) - 1$, $y = -2\cos(x) - 1$, $y = 2\sin(x) - 1$, $y = -2\sin(x) - 1$.
   • Проверим значение в точке $x=0$. На графике $y(0) = -3$.
   • Для $y = 2\cos(x) - 1$: $y(0) = 2\cos(0) - 1 = 2(1) - 1 = 1$. Не подходит.
   • Для $y = -2\cos(x) - 1$: $y(0) = -2\cos(0) - 1 = -2(1) - 1 = -3$. Подходит! 👍
   • Для $y = 2\sin(x) - 1$: $y(0) = 2\sin(0) - 1 = 2(0) - 1 = -1$. Не подходит.
   • Для $y = -2\sin(x) - 1$: $y(0) = -2\sin(0) - 1 = -2(0) - 1 = -1$. Не подходит.

   Итак, функция, соответствующая графику, это $y = -2\cos(x) - 1$.

5. Сравнение с вариантами ответа:

   • $y = \sin(x) - 2$
   • $y = -2\sin(x) + 1$
   • $y = \cos(x) + 2$
   • $y = -2\cos(x) - 1$

   Наш результат совпадает с четвертым вариантом ответа.

✅ Ответ: $y = -2\cos(x) - 1$

Привет! 👋 Давай разберемся с этим заданием.

Задание №17

Нужно определить, какие из предложенных функций являются монотонно убывающими.

Вспомним правило: Функция $f(x)$ является монотонно убывающей на некотором интервале, если её производная $f'(x)$ на этом интервале меньше или равна нулю ($f'(x) \le 0$), причем $f'(x)$ не равна нулю тождественно ни на каком подынтервале.

Давай найдем производные для каждой функции:

1. $f(x) = 4 + 5x^3$
   $f'(x) = (4 + 5x^3)' = 0 + 5 \cdot 3x^{3-1} = 15x^2$
   Поскольку $x^2 \ge 0$ для любого $x$, то $f'(x) = 15x^2 \ge 0$.
   Значит, эта функция монотонно возрастающая (не убывающая). 📈

2. $f(x) = -3 + 4x$
   $f'(x) = (-3 + 4x)' = 0 + 4 = 4$
   Поскольку $f'(x) = 4 > 0$, эта функция монотонно возрастающая. 📈

3. $f(x) = 6 - 2x$
   $f'(x) = (6 - 2x)' = 0 - 2 = -2$
   Поскольку $f'(x) = -2 < 0$, эта функция монотонно убывающая. ✅📉

4. $f(x) = -5 - 3x^3$
   $f'(x) = (-5 - 3x^3)' = 0 - 3 \cdot 3x^{3-1} = -9x^2$
   Поскольку $x^2 \ge 0$ для любого $x$, то $f'(x) = -9x^2 \le 0$.
   Значит, эта функция монотонно убывающая. ✅📉

Ответ: Монотонно убывающими являются функции $f(x) = 6 - 2x$ и $f(x) = -5 - 3x^3$.

В задании просят выбрать не менее двух вариантов, и мы как раз нашли два!

Привет! 👋 Давай разберем это задание.

Задание №18

На рисунке изображен график функции $y=f(x)$, определенной на интервале $[-3; 8]$. Найдите наименьшее значение функции на этом интервале.

Решение:

1. Определим интервал: Нам нужно найти наименьшее значение функции на отрезке от $x = -3$ до $x = 8$. Этот отрезок выделен на оси X.
2. Найдем наименьшее значение: Наименьшее значение функции на отрезке — это ордината (значение $y$) самой низкой точки графика на этом отрезке.
3. Анализ графика: Смотрим на график функции в пределах от $x = -3$ до $x = 8$. Видно, что самая низкая точка графика на этом интервале достигается при $x = 1$. Значение функции в этой точке равно $y = -5$.

Ответ: Наименьшее значение функции на интервале $[-3; 8]$ равно -5.

Привет! 👋 Давай разберем это задание.

Задание

Функция $y = f(x)$ определена как:
$f(x) = \begin{cases} 4, & \text{если } 1 \le x \le 3 \ \frac{x}{x-2}, & \text{если } 3 < x \le 4 \end{cases}$

Нужно найти значение $f(3)$.

Решение

1. Определим, какой части определения функции соответствует значение x = 3.
   Функция задана двумя разными формулами для разных интервалов $x$.

   • Первый интервал: $1 \le x \le 3$. Включает ли он $x=3$? Да, так как $1 \le 3 \le 3$.
   • Второй интервал: $3 < x \le 4$. Включает ли он $x=3$? Нет, так как условие $3 < 3$ неверно.

2. Используем соответствующую формулу.
   Поскольку $x=3$ попадает в интервал $1 \le x \le 3$, мы используем первую формулу: $f(x) = 4$.

3. Вычисляем значение функции.
   Для $x=3$ значение функции равно 4.
   $f(3) = 4$

Ответ: Значение $f(3)$ равно 4. ✅

Привет! 👋 Давай разберемся с этим заданием.

Задание

Нужно определить, какие из предложенных точек принадлежат графику функции $y = 3 - \log_{\frac{1}{3}}(x-7)$.

Варианты ответов:
1. (4; -1)
2. (8; -4)
3. (10; -7)
4. (4; -13)

Шаг 1: Определение области допустимых значений (ОДЗ)

Логарифмическая функция $\log_a(b)$ определена только для $b > 0$.
В нашем случае основание $a = \frac{1}{3}$ (удовлетворяет условиям $a>0, a \neq 1$), а аргумент $b = x-7$.
Следовательно, должно выполняться условие:
$x - 7 > 0$
$x > 7$

Это значит, что график функции существует только для значений $x$, строго больших 7. Прямая $x=7$ является вертикальной асимптотой графика.

Шаг 2: Проверка точек

Теперь проверим каждую точку, подставляя ее координаты $(x, y)$ в уравнение функции и проверяя ОДЗ.

1. Точка (4; -1):
   Проверяем ОДЗ: $x = 4$. Так как $4 \ngtr 7$, эта точка не входит в область определения функции. Следовательно, она не может лежать на графике. ❌

2. Точка (8; -4):
   Проверяем ОДЗ: $x = 8$. Так как $8 > 7$, точка входит в область определения.
   Подставим $x=8$ в уравнение функции:
   $y = 3 - \log_{\frac{1}{3}}(8-7)$
   $y = 3 - \log_{\frac{1}{3}}(1)$
   По свойству логарифма $\log_a(1) = 0$ для любого допустимого основания $a$.
   $y = 3 - 0 = 3$.
   Функция принимает значение $y=3$ при $x=8$. Однако, у точки указана координата $y=-4$.
   Так как $3 \neq -4$, точка (8; -4) не принадлежит графику функции. ❌

3. Точка (10; -7):
   Проверяем ОДЗ: $x = 10$. Так как $10 > 7$, точка входит в область определения.
   Подставим $x=10$ в уравнение функции:
   $y = 3 - \log_{\frac{1}{3}}(10-7)$
   $y = 3 - \log_{\frac{1}{3}}(3)$
   Используем свойство логарифма $\log_{\frac{1}{a}}(a) = -1$. В нашем случае $a=3$.
   $y = 3 - (-1)$
   $y = 3 + 1 = 4$.
   Функция принимает значение $y=4$ при $x=10$. Однако, у точки указана координата $y=-7$.
   Так как $4 \neq -7$, точка (10; -7) не принадлежит графику функции. ❌

4. Точка (4; -13):
   Проверяем ОДЗ: $x = 4$. Так как $4 \ngtr 7$, эта точка не входит в область определения функции. Следовательно, она не может лежать на графике. ❌

Вывод

На основании проверки ни одна из предложенных точек не принадлежит графику функции $y = 3 - \log_{\frac{1}{3}}(x-7)$.

🤔 В условии указано "Выберите не менее двух вариантов". Это может означать, что в самом задании (в формуле функции или в координатах точек) есть опечатка. Если бы, например, точка 3 была (10; 4), а точка 2 была (8; 3), то они бы подошли.

На графике ниже можно визуально увидеть, где находится функция и предложенные точки.

Привет! 👋 Давай разберем это задание.

Задание №21

Нужно установить последовательность значений функции $y = \log_2 x$ в порядке возрастания для следующих значений $x$: $2, \sqrt{2}, \sqrt{3}, 1.5$.

Шаг 1: Анализ функции
Функция $y = \log_2 x$ является логарифмической функцией с основанием $a = 2$.
Поскольку основание логарифма $a = 2 > 1$, эта функция является возрастающей на всей своей области определения ($x > 0$). Это означает, что чем больше значение аргумента $x$, тем больше значение функции $y$.

Шаг 2: Сравнение аргументов
Нам нужно сравнить значения $x$: $2, \sqrt{2}, \sqrt{3}, 1.5$.
Давай расположим их в порядке возрастания:
* $\sqrt{2} \approx 1.414$
* $1.5$
* $\sqrt{3} \approx 1.732$
* $2$

Таким образом, порядок возрастания аргументов следующий: $\sqrt{2} < 1.5 < \sqrt{3} < 2$.

Шаг 3: Сравнение значений функции
Так как функция $y = \log_2 x$ возрастающая, то порядок значений функции будет таким же, как и порядок аргументов:

$\log_2 \sqrt{2} < \log_2 1.5 < \log_2 \sqrt{3} < \log_2 2$

Шаг 4: Вычисление значений (для наглядности)
* $\log_2 \sqrt{2} = \log_2 2^{1/2} = \frac{1}{2} = 0.5$
* $\log_2 1.5 = \log_2 \frac{3}{2}$ (это значение находится между $\log_2 1 = 0$ и $\log_2 2 = 1$)
* $\log_2 \sqrt{3} = \frac{1}{2} \log_2 3$ (это значение находится между $\log_2 \sqrt{2} = 0.5$ и $\log_2 \sqrt{4} = \log_2 2 = 1$)
* $\log_2 2 = 1$

Подтверждаем порядок: $0.5 < \log_2 1.5 < \log_2 \sqrt{3} < 1$.

Ответ:
Последовательность значений функции в порядке возрастания: $\log_2 \sqrt{2}, \log_2 1.5, \log_2 \sqrt{3}, \log_2 2$.

Привет! 👋 Давай разберем это задание.

Задание №22

Установите последовательность значений функции $y = \cos(x)$ в порядке возрастания для следующих аргументов:
$\cos(\frac{7\pi}{11})$, $\cos(\frac{6\pi}{11})$, $\cos(\frac{8\pi}{11})$, $\cos(\frac{9\pi}{11})$

Решение:

1. Определим интервал аргументов:
   Все аргументы $x$: $\frac{6\pi}{11}$, $\frac{7\pi}{11}$, $\frac{8\pi}{11}$, $\frac{9\pi}{11}$ находятся в интервале $(\frac{\pi}{2}, \pi)$, так как $\frac{5.5\pi}{11} = \frac{\pi}{2}$ и $\frac{11\pi}{11} = \pi$.
   Этот интервал соответствует второй четверти единичной окружности.

2. Вспомним свойство функции косинуса:
   Функция $y = \cos(x)$ является убывающей на интервале $[0, \pi]$. Это значит, что для любых $x_1$ и $x_2$ из этого интервала, если $x_1 < x_2$, то $\cos(x_1) > \cos(x_2)$.

3. Сравним аргументы:
   Расположим аргументы в порядке возрастания:
   $\frac{6\pi}{11} < \frac{7\pi}{11} < \frac{8\pi}{11} < \frac{9\pi}{11}$

4. Применим свойство убывания косинуса:
   Поскольку функция косинуса убывает на данном интервале, то для наших аргументов будет верно обратное неравенство:
   $\cos(\frac{6\pi}{11}) > \cos(\frac{7\pi}{11}) > \cos(\frac{8\pi}{11}) > \cos(\frac{9\pi}{11})$

5. Запишем результат в порядке возрастания:
   Нам нужно расположить значения функции в порядке возрастания (от меньшего к большему):
   $\cos(\frac{9\pi}{11}) < \cos(\frac{8\pi}{11}) < \cos(\frac{7\pi}{11}) < \cos(\frac{6\pi}{11})$

Ответ: Последовательность значений функции $y = \cos(x)$ в порядке возрастания:
1. $\cos(\frac{9\pi}{11})$
2. $\cos(\frac{8\pi}{11})$
3. $\cos(\frac{7\pi}{11})$
4. $\cos(\frac{6\pi}{11})$

Привет! 👋 Давай решим это показательное уравнение вместе.

Задание №23

Решите уравнение: $16^{x - 7} = \frac{1}{4}$

Решение:

1. 🎯 Цель: Найти значение $x$, удовлетворяющее уравнению.
2. ⚙️ Метод: Приведем обе части уравнения к одному основанию. Заметим, что $16$ и $\frac{1}{4}$ можно представить как степени числа 4:
   • $16 = 4^2$
   • $\frac{1}{4} = 4^{-1}$
3. 📝 Подстановка: Заменим $16$ и $\frac{1}{4}$ их степенными представлениями в исходном уравнении:
   $(4^2)^{x - 7} = 4^{-1}$
4. 💡 Упрощение: Используем свойство степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ для левой части:
   $4^{2(x - 7)} = 4^{-1}$
   $4^{2x - 14} = 4^{-1}$
5. ⚖️ Приравнивание показателей: Так как основания степеней равны, мы можем приравнять их показатели:
   $2x - 14 = -1$
6. ➕ Решение линейного уравнения:
   • Перенесем $-14$ в правую часть, изменив знак:
     $2x = -1 + 14$
     $2x = 13$
   • Разделим обе части на 2:
     $x = \frac{13}{2}$
     $x = 6.5$

Ответ:
Корень уравнения $x = 6.5$.

🤔 Важное замечание: Среди предложенных вариантов ответа (7, -3.5, -7, 3.5) нет правильного ответа $6.5$. Возможно, в вариантах ответа есть опечатка.

Задание № 23

Привет! 👋 Давай решим это показательное уравнение вместе.

Уравнение: $16^{3-x} = \frac{1}{4}$

Шаг 1: Приведение к общему основанию 💡

Заметим, что и 16, и $\frac{1}{4}$ можно представить как степени числа 4:
* $16 = 4^2$
* $\frac{1}{4} = 4^{-1}$

Подставим эти значения в исходное уравнение:
$(4^2)^{3-x} = 4^{-1}$

Шаг 2: Упрощение левой части ✨

Используем свойство степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:
$4^{2(3-x)} = 4^{-1}$
$4^{6-2x} = 4^{-1}$

Шаг 3: Решение уравнения для показателей 🎯

Так как основания степеней равны (оба равны 4), мы можем приравнять показатели степеней:
$6 - 2x = -1$

Шаг 4: Нахождение x 🏁

Решим полученное линейное уравнение:
$-2x = -1 - 6$
$-2x = -7$
$x = \frac{-7}{-2}$
$x = \frac{7}{2}$
$x = 3.5$

Ответ: $x = 3.5$ ✅

Привет! 👋 Давай решим это иррациональное уравнение.

Задание №24

Найдите корень (наибольший корень, если их несколько) уравнения $x - \sqrt{5 - x^2} = 1$.

Решение:

1. Перенесем корень в правую часть, а 1 - в левую, чтобы изолировать радикал:
   $x - 1 = \sqrt{5 - x^2}$

2. Определим Область Допустимых Значений (ОДЗ):

   • Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $5 - x^2 \ge 0$. Это неравенство выполняется при $x^2 \le 5$, то есть $-\sqrt{5} \le x \le \sqrt{5}$.
   • Правая часть уравнения ($\sqrt{5 - x^2}$) по определению арифметического квадратного корня неотрицательна. Следовательно, левая часть ($x-1$) также должна быть неотрицательной: $x - 1 \ge 0$, то есть $x \ge 1$.
   • Объединяя оба условия, получаем ОДЗ: $1 \le x \le \sqrt{5}$.

3. Возведем обе части уравнения в квадрат:
   $(x - 1)^2 = (\sqrt{5 - x^2})^2$
   $x^2 - 2x + 1 = 5 - x^2$

4. Приведем полученное уравнение к стандартному квадратному виду:
   $x^2 - 2x + 1 - 5 + x^2 = 0$
   $2x^2 - 2x - 4 = 0$
   Разделим обе части на 2:
   $x^2 - x - 2 = 0$

5. Найдем корни квадратного уравнения:
   Можно использовать теорему Виета или дискриминант.
   По теореме Виета: $x_1 + x_2 = 1$, $x_1 \cdot x_2 = -2$.
   Подходят корни $x_1 = 2$ и $x_2 = -1$.

6. Проверим корни на соответствие ОДЗ ($1 \le x \le \sqrt{5}$):

   • $x_1 = 2$: Проверяем $1 \le 2 \le \sqrt{5}$. Так как $2 = \sqrt{4}$, а $\sqrt{4} < \sqrt{5}$, то неравенство $1 \le 2 \le \sqrt{5}$ верно. Значит, $x = 2$ является корнем исходного уравнения.
   • $x_2 = -1$: Проверяем $1 \le -1 \le \sqrt{5}$. Неравенство $1 \le -1$ неверно. Значит, $x = -1$ — посторонний корень.

7. Проверка подстановкой (необязательно, но полезно):
   Подставим $x=2$ в исходное уравнение:
   $2 - \sqrt{5 - 2^2} = 2 - \sqrt{5 - 4} = 2 - \sqrt{1} = 2 - 1 = 1$. Верно.

Ответ: Уравнение имеет единственный корень $x = 2$. Так как он единственный, он же и наибольший.

Ответ: 2

Привет! 👋 Давай разберем это задание.

Задание: Решения уравнения $0,5x^2 - 2 = x$, найденные графическим методом, принадлежат интервалам...
Нужно выбрать интервалы (не менее двух), которым принадлежат корни уравнения.

Шаг 1: Графический метод
Чтобы решить уравнение $0,5x^2 - 2 = x$ графически, построим графики двух функций:
1. $y_1 = 0,5x^2 - 2$ (парабола)
2. $y_2 = x$ (прямая)

Абсциссы (координаты x) точек пересечения этих графиков и будут решениями уравнения.

Шаг 2: Анализ графика и алгебраическое решение
Из графика видно, что есть две точки пересечения. Найдем их точные координаты, решив уравнение алгебраически:
$0,5x^2 - 2 = x$
$0,5x^2 - x - 2 = 0$
Умножим обе части на 2, чтобы избавиться от дроби:
$x^2 - 2x - 4 = 0$

Используем формулу корней квадратного уравнения $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$:
$x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4(1)(-4)}}{2(1)}$
$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 16}}{2}$
$x = \frac{2 \pm \sqrt{20}}{2}$
$x = \frac{2 \pm 2\sqrt{5}}{2}$
$x = 1 \pm \sqrt{5}$

Получаем два корня:
$x_1 = 1 - \sqrt{5} \approx 1 - 2.236 = -1.236$
$x_2 = 1 + \sqrt{5} \approx 1 + 2.236 = 3.236$

Шаг 3: Проверка интервалов
Теперь посмотрим, каким из предложенных интервалов принадлежат найденные корни:
- $x_1 \approx -1.236$
- $x_2 \approx 3.236$

Предложенные варианты:
1. (3; 2): Этот интервал записан некорректно (левая граница больше правой). Если предположить, что имелся в виду интервал (2; 3), то ни один из корней в него не попадает. Если имелся в виду интервал (3; 4), то корень $x_2 \approx 3.236$ в него попадает.
2. (-4; -3): Ни один из корней не принадлежит этому интервалу.
3. (0; 1): Ни один из корней не принадлежит этому интервалу.
4. (1; 2): Ни один из корней не принадлежит этому интервалу.

🤔 Важное замечание:
В задании указано выбрать не менее двух вариантов. Однако, для уравнения $0,5x^2 - 2 = x$ ни один из корней не попадает ни в один из корректно записанных интервалов (-4; -3), (0; 1), (1; 2). Корень $x_2 \approx 3.236$ попадает в интервал (3; 4), но в вариантах указан некорректный интервал (3; 2).

Возможно, в условии задачи опечатка, и имелось в виду уравнение $0,5x^2 - 2 = -x$. Давайте проверим эту гипотезу.

Шаг 4: Решение уравнения $0,5x^2 - 2 = -x$
$0,5x^2 + x - 2 = 0$
$x^2 + 2x - 4 = 0$
$x = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4(1)(-4)}}{2(1)}$
$x = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 16}}{2}$
$x = \frac{-2 \pm \sqrt{20}}{2}$
$x = \frac{-2 \pm 2\sqrt{5}}{2}$
$x = -1 \pm \sqrt{5}$

Корни:
$x'_1 = -1 - \sqrt{5} \approx -1 - 2.236 = -3.236$
$x'_2 = -1 + \sqrt{5} \approx -1 + 2.236 = 1.236$

Проверим принадлежность этих корней интервалам:
1. (3; 2) -> (2; 3)? Нет.
2. (-4; -3): $x'_1 \approx -3.236$ принадлежит этому интервалу. ✅
3. (0; 1): Нет.
4. (1; 2): $x'_2 \approx 1.236$ принадлежит этому интервалу. ✅

Вывод:
Если уравнение в задании было $0,5x^2 - 2 = -x$, то правильными ответами будут интервалы (-4; -3) и (1; 2), что соответствует требованию выбрать не менее двух вариантов.

Если же уравнение было записано верно ($0,5x^2 - 2 = x$), то среди предложенных вариантов нет двух интервалов, содержащих корни, и есть некорректно записанный интервал. Скорее всего, имела место опечатка в условии.

Задание №28

Привет! 👋 Давай решим эту задачу про такси вместе. 🚕

Условие:
Маршрутное такси из города до деревни ехало 4 часа, а назад – 3 часа, увеличив скорость на 10 км/ч. Нужно найти первоначальную скорость маршрутного такси.

Решение:

1. Обозначим переменные:
   Пусть $v$ (км/ч) – первоначальная скорость такси (из города в деревню).
   Тогда скорость такси на обратном пути (из деревни в город) будет $v + 10$ (км/ч).

2. Запишем время:
   Время в пути из города в деревню $t_1 = 4$ часа.
   Время в пути из деревни в город $t_2 = 3$ часа.

3. Выразим расстояние:
   Расстояние $S$ одинаково в обе стороны.
   Формула расстояния: $S = \text{скорость} \times \text{время}$.
   Расстояние из города в деревню: $S = v \times t_1 = v \times 4 = 4v$.
   Расстояние из деревни в город: $S = (v + 10) \times t_2 = (v + 10) \times 3 = 3(v + 10)$.

4. Составим уравнение:
   Так как расстояние одинаковое, приравняем два выражения для $S$:
   $4v = 3(v + 10)$

5. Решим уравнение:
   Раскроем скобки:
   $4v = 3v + 30$
   Перенесем слагаемые с $v$ в левую часть:
   $4v - 3v = 30$
   $v = 30$

Ответ:
Первоначальная скорость маршрутного такси составляла 30 км/ч. ✅

Привет! 👋 Давай разберем эту задачу по шагам.

Задание 1

За три дня вспахали 78 га пашни. Причем во второй день было вспахано на 6 га больше, чем в первый, а в третий день – в 1.5 раза больше, чем во второй день. Тогда во второй день было вспахано ___ га пашни.

Решение:

1. Обозначим неизвестное:
   Пусть $x$ га - это площадь, которую вспахали в первый день. 🚜

2. Выразим площади для других дней:

   • Во второй день вспахали на 6 га больше, чем в первый: $x + 6$ га.
   • В третий день вспахали в 1.5 раза больше, чем во второй: $1.5 \times (x + 6)$ га.

3. Составим уравнение:
   Сумма площадей, вспаханных за три дня, равна 78 га:
   $x + (x + 6) + 1.5(x + 6) = 78$

4. Решим уравнение:

   • Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
     $x + x + 6 + 1.5x + 1.5 \times 6 = 78$
     $2x + 6 + 1.5x + 9 = 78$
     $(2 + 1.5)x + (6 + 9) = 78$
     $3.5x + 15 = 78$
   • Найдем $3.5x$:
     $3.5x = 78 - 15$
     $3.5x = 63$
   • Найдем $x$:
     $x = \frac{63}{3.5}$
     $x = \frac{630}{35}$
     $x = 18$
     Значит, в первый день вспахали 18 га.

5. Найдем площадь, вспаханную во второй день:
   Нас интересует, сколько вспахали во второй день. Подставим найденное значение $x$ в выражение для второго дня:
   Площадь второго дня = $x + 6 = 18 + 6 = 24$ га.

6. Проверка (необязательно, но полезно):

   • Первый день: 18 га
   • Второй день: 24 га
   • Третий день: $1.5 \times 24 = 36$ га
   • Всего: $18 + 24 + 36 = 42 + 36 = 78$ га. Все сходится! ✅

Ответ: Во второй день было вспахано 24 га пашни.

Привет! 👋 Давай разберем это показательное неравенство.

Задание 1

Решите неравенство: $3 \cdot 7^{|x|} \le 5x - 11$

Решение:

1. Анализ неравенства:
   Рассмотрим левую и правую части неравенства:

   • Левая часть: $f(x) = 3 \cdot 7^{|x|}$. Поскольку $7^{|x|} \ge 7^0 = 1$ для любого $x$, то $f(x) \ge 3 \cdot 1 = 3$. Левая часть всегда положительна и не меньше 3.
   • Правая часть: $g(x) = 5x - 11$.

2. Необходимое условие:
   Так как левая часть $f(x) \ge 3$, то для выполнения неравенства $f(x) \le g(x)$ необходимо, чтобы правая часть $g(x)$ была также не меньше 3:
   $5x - 11 \ge 3$
   $5x \ge 14$
   $x \ge \frac{14}{5}$
   $x \ge 2.8$

3. Решение при $x \ge 2.8$:
   Если $x \ge 2.8$, то $x$ положительно, и значит $|x| = x$. Неравенство принимает вид:
   $3 \cdot 7^x \le 5x - 11$

4. Сравнение функций:
   Рассмотрим функции $h(x) = 3 \cdot 7^x$ и $g(x) = 5x - 11$ на промежутке $x \ge 2.8$.

   • $h(x)$ - возрастающая показательная функция.
   • $g(x)$ - возрастающая линейная функция.

   Найдем производные:
   * $h'(x) = 3 \cdot 7^x \cdot \ln(7)$
   * $g'(x) = 5$

   Сравним скорости роста. При $x \ge 2.8$:
   $h'(x) = 3 \cdot 7^x \ln(7) \ge 3 \cdot 7^{2.8} \ln(7)$.
   Так как $7^{2.8} > 7^2 = 49$ и $\ln(7) \approx 1.946$, то
   $h'(x) \ge 3 \cdot 49 \cdot 1.946 = 147 \cdot 1.946 \approx 286$.
   Очевидно, что $h'(x) > g'(x) = 5$ при $x \ge 2.8$. Это означает, что функция $h(x)$ растет значительно быстрее, чем $g(x)$.

5. Проверка граничного значения:
   Проверим значение функций в точке $x = 2.8$:

   • $h(2.8) = 3 \cdot 7^{2.8}$. Мы знаем, что $7^{2.8} > 49$. Значит, $h(2.8) > 3 \cdot 49 = 147$.
   • $g(2.8) = 5(2.8) - 11 = 14 - 11 = 3$.

   Уже при $x = 2.8$ имеем $h(2.8) > g(2.8)$.

6. Вывод:
   Поскольку при $x = 2.8$ левая часть $h(x)$ уже больше правой части $g(x)$, и при $x > 2.8$ левая часть растет намного быстрее правой, то неравенство $3 \cdot 7^x \le 5x - 11$ не имеет решений на промежутке $x \ge 2.8$.

7. Общий вывод:
   Мы установили, что решения могут существовать только при $x \ge 2.8$. Однако на этом промежутке решений нет.
   Следовательно, исходное неравенство $3 \cdot 7^{|x|} \le 5x - 11$ не имеет решений.

Ответ: Решений нет (пустое множество $\emptyset$).

🤔 Похоже, что среди предложенных вариантов ответа (которые видны на изображении) нет правильного. Возможно, в условии задачи или в вариантах ответа есть опечатка.