Решение неравенств: показательные и логарифмические неравенства

Задание № 28

Решите неравенство: \(3 \\cdot 7^{\\log_7 x} \\le 5x - 11\)

Решение:

1. Определим область допустимых значений (ОДЗ):
   Выражение под логарифмом должно быть строго положительным:
   \(x > 0\)

2. Упростим левую часть неравенства:
   Воспользуемся основным логарифмическим тождеством \(a^{\\log_a b} = b\). Применительно к нашему случаю:
   \(7^{\\log_7 x} = x\)
   Теперь неравенство принимает вид:
   \(3x \\le 5x - 11\)

3. Решим полученное линейное неравенство:
   Перенесем все слагаемые с \(x\) в правую часть, а числовые слагаемые - в левую:
   \(11 \\le 5x - 3x\)
   \(11 \\le 2x\)
   Разделим обе части неравенства на 2. Так как 2 > 0, знак неравенства сохраняется:
   \(\\frac{11}{2} \\le x\)
   \(x \\ge 5.5\)

4. Найдем пересечение с ОДЗ:
   Мы получили решение \(x \\ge 5.5\). Условие ОДЗ: \(x > 0\).
   Оба условия должны выполняться одновременно. Пересечением этих множеств является:
   \(x \\ge 5.5\)

Ответ:
Решение неравенства: \(x \\in [5.5, +\\infty)\). ✅

Привет! 👋 Давай решим это показательное неравенство.

Задание: Решением неравенства \(2\\sqrt{2} \\cdot 2^x \\ge \\frac{1}{2}\) является промежуток...

Решение:

1. Преобразуем левую и правую части неравенства к степени с основанием 2:

   • \(2 = 2^1\)
   • \(\\sqrt{2} = 2^{1/2}\)
   • \(\frac{1}{2} = 2^{-1}\)

2. Подставим эти значения в исходное неравенство:
   \(2^1 \\cdot 2^{1/2} \\cdot 2^x \\ge 2^{-1}\)

3. Используем свойство степеней \(a^m \\cdot a^n = a^{m+n}\):
   \(2^{1 + 1/2 + x} \\ge 2^{-1}\)
   \(2^{3/2 + x} \\ge 2^{-1}\)

4. Сравним показатели степеней:
   Так как основание степени \(2 > 1\), знак неравенства сохраняется:
   \(\\frac{3}{2} + x \\ge -1\)

5. Решим полученное линейное неравенство:
   \(x \\ge -1 - \\frac{3}{2}\)
   \(x \\ge -\\frac{2}{2} - \\frac{3}{2}\)
   \(x \\ge -\\frac{5}{2}\)
   \(x \\ge -2.5\)

6. Запишем решение в виде промежутка:
   \(x \\in [-2.5, +\\infty)\)

7. Сравним с вариантами ответа:

   • \((-\\infty; 0.5]\)
   • \([0.5; +\\infty)\)
   • \([-2.5; +\\infty)\) ✅
   • \([0.5; +\\infty)\) (Похоже, этот вариант повторяется или опечатка в задании, но наш ответ совпадает с третьим вариантом)

Ответ: Решением неравенства является промежуток \([-2.5, +\\infty)\).

Привет! 👋 Давай разберем это задание.

Задание №30

Нужно найти интервалы, которые удовлетворяют неравенству \(x^2 > -4x - 1\), решенному графическим методом.

Шаг 1: Преобразование неравенства
Перенесем все члены в левую часть:
\(x^2 + 4x + 1 > 0\)

Шаг 2: Графический метод
Рассмотрим функцию \(y = x^2 + 4x + 1\). Нам нужно найти значения \(x\), при которых график этой функции находится выше оси Ox (то есть \(y > 0\)).
График функции \(y = x^2 + 4x + 1\) — это парабола, ветви которой направлены вверх (так как коэффициент при \(x^2\) равен 1, что больше 0).

Шаг 3: Нахождение точек пересечения с осью Ox
Найдем корни уравнения \(x^2 + 4x + 1 = 0\). Это точки, в которых парабола пересекает ось Ox.
Используем формулу для корней квадратного уравнения:
\(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\)
\(x = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}\)
\(x = \frac{-4 \pm \sqrt{16 - 4}}{2}\)
\(x = \frac{-4 \pm \sqrt{12}}{2}\)
\(x = \frac{-4 \pm 2\sqrt{3}}{2}\)
\(x = -2 \pm \sqrt{3}\)

Получаем два корня:
\(x_1 = -2 - \sqrt{3} \approx -2 - 1.732 = -3.732\)
\(x_2 = -2 + \sqrt{3} \approx -2 + 1.732 = -0.268\)

Шаг 4: Определение интервалов
Парабола \(y = x^2 + 4x + 1\) находится выше оси Ox (то есть \(x^2 + 4x + 1 > 0\)) на интервалах, лежащих вне корней.
Решение неравенства: \(x \in (-\infty; -2 - \sqrt{3}) \cup (-2 + \sqrt{3}; +\infty)\).
Приблизительно: \(x \in (-\infty; -3.732) \cup (-0.268; +\infty)\).

Шаг 5: Проверка предложенных вариантов
Теперь проверим, какие из предложенных интервалов полностью входят в найденное решение:

a) \(x \in (-5; -4)\): Этот интервал полностью лежит в \((-\infty; -3.732)\). ✅ Подходит.
b) \(x \in (0; 1)\): Этот интервал полностью лежит в \((-0.268; +\infty)\). ✅ Подходит.
c) \(x \in (-2; -1)\): Этот интервал лежит между корнями \((-3.732; -0.268)\), где \(y < 0\). ❌ Не подходит.
d) \(x \in (-3; -2)\): Этот интервал лежит между корнями \((-3.732; -0.268)\), где \(y < 0\). ❌ Не подходит.

Ответ: Неравенству удовлетворяют значения \(x\) из интервалов (-5; -4) и (0; 1).

Привет! 👋 Давай разберем это задание.

Задание №21

Числовая последовательность задана формулой n-го члена: \(y_n = n^2 - 2n\).
Известно, что один из членов этой последовательности равен 15, то есть \(y_n = 15\).
Нужно найти номер этого члена, то есть \(n\).

Решение:

1. Подставим известное значение \(y_n\) в формулу:
   \(15 = n^2 - 2n\)

2. Перенесем все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:
   \(n^2 - 2n - 15 = 0\)

3. Решим полученное квадратное уравнение. Это можно сделать двумя способами:

   • Способ 1: По теореме Виета
     Для уравнения вида \(ax^2 + bx + c = 0\), если \(a=1\), то сумма корней \(n_1 + n_2 = -b\) и произведение корней \(n_1 \cdot n_2 = c\).
     В нашем случае \(a=1\), \(b=-2\), \(c=-15\).
     Ищем два числа, сумма которых равна \(2\), а произведение равно \(-15\).
     Подбором находим эти числа: \(5\) и \(-3\).
     \(5 + (-3) = 2\)
     \(5 \cdot (-3) = -15\)
     Значит, корни уравнения: \(n_1 = 5\) и \(n_2 = -3\).

   • Способ 2: Через дискриминант
     Формула дискриминанта: \(D = b^2 - 4ac\)
     \(D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 4 - (-60) = 4 + 60 = 64\)
     Формулы корней: \(n_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\)
     \(n_1 = \frac{-(-2) + \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 8}{2} = \frac{10}{2} = 5\)
     \(n_2 = \frac{-(-2) - \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{2 - 8}{2} = \frac{-6}{2} = -3\)

4. Выбор правильного корня:
   По определению, номер члена последовательности \(n\) должен быть натуральным числом (то есть целым положительным числом: \(1, 2, 3, ...\)).
   Из двух найденных корней (\(5\) и \(-3\)) только \(n=5\) является натуральным числом.

Ответ:
Номер члена последовательности, равного 15, равен 5. ✅

Привет! 👋 Давай разберем это задание.

Задание 32

Нужно найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии \((b_n)\), в которой первый член \(b_1 = 5\) и знаменатель \(q = \frac{1}{4}\).

Шаг 1: Проверка условия убывания прогрессии

Геометрическая прогрессия является бесконечно убывающей, если модуль её знаменателя \(|q|\) меньше 1.
В нашем случае \(q = \frac{1}{4}\).
\(|q| = |\frac{1}{4}| = \frac{1}{4}\).
Так как \(\frac{1}{4} < 1\), прогрессия действительно является бесконечно убывающей, и мы можем найти её сумму.

Шаг 2: Формула суммы

Сумма \(S\) бесконечно убывающей геометрической прогрессии вычисляется по формуле:
\(S = \frac{b_1}{1 - q}\)

Шаг 3: Подстановка значений и вычисление

Подставим известные значения \(b_1 = 5\) и \(q = \frac{1}{4}\) в формулу:
\(S = \frac{5}{1 - \frac{1}{4}}\)

Сначала вычислим знаменатель дроби:
\(1 - \frac{1}{4} = \frac{4}{4} - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}\)

Теперь подставим это значение обратно в формулу суммы:
\(S = \frac{5}{\frac{3}{4}}\)

Чтобы разделить число на дробь, нужно умножить это число на перевернутую дробь:
\(S = 5 \times \frac{4}{3} = \frac{5 \times 4}{3} = \frac{20}{3}\)

Ответ: Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна \(\frac{20}{3}\). ✅

Привет! 👋 Давай разберем это задание.

Задание 33

Нужно найти предел числовой последовательности:
\(\lim_{n \to \infty} (\frac{11}{n^3} - \frac{2}{n} + 5)\)

Решение:

1. Используем свойство предела суммы/разности: предел суммы/разности равен сумме/разности пределов.
   \(\lim_{n \to \infty} (\frac{11}{n^3} - \frac{2}{n} + 5) = \lim_{n \to \infty} \frac{11}{n^3} - \lim_{n \to \infty} \frac{2}{n} + \lim_{n \to \infty} 5\)

2. Найдем каждый предел по отдельности:

   • Когда \(n\) стремится к бесконечности (\(n \to \infty\)), знаменатель \(n^3\) также стремится к бесконечности. Дробь, у которой числитель - константа (11), а знаменатель стремится к бесконечности, стремится к нулю.
     \(\lim_{n \to \infty} \frac{11}{n^3} = 0\)
   • Аналогично, когда \(n \to \infty\), знаменатель \(n\) стремится к бесконечности. Дробь \(\frac{2}{n}\) стремится к нулю.
     \(\lim_{n \to \infty} \frac{2}{n} = 0\)
   • Предел константы равен самой константе.
     \(\lim_{n \to \infty} 5 = 5\)

3. Подставим найденные значения обратно в выражение:
   \(0 - 0 + 5 = 5\)

Ответ: Предел данной последовательности равен 5. ✅

Привет! 👋 Давай разберем это задание.

Задание 34

Нужно найти предел числовой последовательности:
\(x_n = \frac{1 + 4n - 6n^2}{4n^2 - n + 12}\)

Мы ищем предел при \(n\), стремящемся к бесконечности:
\(\lim_{n \to \infty} \frac{1 + 4n - 6n^2}{4n^2 - n + 12}\)

Шаг 1: Определение типа неопределенности
Когда \(n \to \infty\), и числитель, и знаменатель стремятся к бесконечности ($rac{-\infty}{+\infty}$). Это неопределенность типа \(\frac{\infty}{\infty}\).

Шаг 2: Деление на старшую степень n
Чтобы раскрыть эту неопределенность, разделим каждый член числителя и знаменателя на наивысшую степень \(n\) в дроби. В данном случае это \(n^2\).

\(\lim_{n \to \infty} \frac{\frac{1}{n^2} + \frac{4n}{n^2} - \frac{6n^2}{n^2}}{\frac{4n^2}{n^2} - \frac{n}{n^2} + \frac{12}{n^2}}\)

Шаг 3: Упрощение выражения
Упростим полученное выражение:

\(\lim_{n \to \infty} \frac{\frac{1}{n^2} + \frac{4}{n} - 6}{4 - \frac{1}{n} + \frac{12}{n^2}}\)

Шаг 4: Вычисление предела
Теперь найдем предел при \(n \to \infty\). Мы знаем, что:
\(\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^2} = 0\)
\(\lim_{n \to \infty} \frac{4}{n} = 0\)
\(\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0\)
\(\lim_{n \to \infty} \frac{12}{n^2} = 0\)

Подставим эти значения в выражение:

\(\frac{0 + 0 - 6}{4 - 0 + 0} = \frac{-6}{4}\)

Шаг 5: Окончательный ответ
Упростим дробь:

\(\frac{-6}{4} = -\frac{3}{2} = -1.5\)

✅ Ответ: Предел последовательности равен -1.5.

Привет! 👋 Давай разберем это задание.

Задание 1

Нужно найти значение производной функции \(f(x) = \frac{4}{x} - \frac{1}{4}\) в точке \(x_0 = -\frac{1}{3}\).

Шаг 1: Найдем производную функции \(f(x)\)

Функцию можно переписать в виде \(f(x) = 4x^{-1} - \frac{1}{4}\).

Используем правила дифференцирования:
1. Производная степенной функции: \((x^n)' = nx^{n-1}\)
2. Производная константы: \((C)' = 0\)
3. Производная разности: \((u - v)' = u' - v'\)

Применяем эти правила:
\(f'(x) = (4x^{-1} - \frac{1}{4})' = (4x^{-1})' - (\frac{1}{4})'\)

\(f'(x) = 4 \cdot (-1)x^{-1-1} - 0\)
\(f'(x) = -4x^{-2}\)

Перепишем производную в более привычном виде:
\(f'(x) = -\frac{4}{x^2}\)

Шаг 2: Вычислим значение производной в точке \(x_0 = -\frac{1}{3}\)

Подставим \(x_0 = -\frac{1}{3}\) в выражение для производной \(f'(x)\):

\(f'(-\frac{1}{3}) = -\frac{4}{(-\frac{1}{3})^2}\)

\(f'(-\frac{1}{3}) = -\frac{4}{\frac{1}{9}}\)

\(f'(-\frac{1}{3}) = -4 \cdot 9\)

\(f'(-\frac{1}{3}) = -36\)

Ответ: Значение производной функции \(f(x)\) в точке \(x_0 = -\frac{1}{3}\) равно -36. ✅

Задание 1: Найти производную функции \(y = 6\sqrt{x} - 8\cos x + 3x\)

Привет! Давай разберем, как найти производную этой функции шаг за шагом.

Шаг 1: Перепишем функцию в удобном виде

Функцию можно переписать, используя степенное представление корня:
\(y = 6x^{1/2} - 8\cos x + 3x\)

Шаг 2: Применим правила дифференцирования

Используем правило производной суммы/разности: \((u \pm v)' = u' \pm v'\).
Найдем производную каждого слагаемого отдельно:

• Производная степенной функции \((x^n)' = nx^{n-1}\).
  \((6x^{1/2})' = 6 \cdot \frac{1}{2}x^{1/2 - 1} = 3x^{-1/2} = \frac{3}{x^{1/2}} = \frac{3}{\sqrt{x}}\)
• Производная косинуса \((\cos x)' = -\sin x\).
  \((-8\cos x)' = -8(-\sin x) = 8\sin x\)
• Производная линейной функции \((kx)' = k\).
  \((3x)' = 3\)

Шаг 3: Соберем все вместе

Сложим производные всех слагаемых:
\(y' = \frac{3}{\sqrt{x}} + 8\sin x + 3\)

Результат:
Производная функции \(y = 6\sqrt{x} - 8\cos x + 3x\) равна \(y' = \frac{3}{\sqrt{x}} + 8\sin x + 3\).

Это соответствует варианту ответа D.

Задание 2: Найти производную функции \(y = 3\sqrt[3]{x} + 11\)

Давай найдем производную и для этой функции.

Шаг 1: Перепишем функцию

Представим кубический корень как степень:
\(y = 3x^{1/3} + 11\)

Шаг 2: Применим правила дифференцирования

Используем правило производной суммы \((u + v)' = u' + v'\) и правило производной степенной функции \((x^n)' = nx^{n-1}\).

• Найдем производную первого слагаемого:
  \((3x^{1/3})' = 3 \cdot \frac{1}{3}x^{1/3 - 1} = 1 \cdot x^{-2/3} = x^{-2/3}\)
  Перепишем результат в виде корня:
  \(x^{-2/3} = \frac{1}{x^{2/3}} = \frac{1}{\sqrt[3]{x^2}}\)
• Производная константы равна нулю: \((11)' = 0\).

Шаг 3: Соберем все вместе

\(y' = \frac{1}{\sqrt[3]{x^2}} + 0 = \frac{1}{\sqrt[3]{x^2}}\)

Результат:
Производная функции \(y = 3\sqrt[3]{x} + 11\) равна \(y' = \frac{1}{\sqrt[3]{x^2}}\).

Важное замечание:
Среди предложенных вариантов ответа есть вариант E: \(y' = \frac{12}{\sqrt[3]{x^2}}\).
Наш результат \(y' = \frac{1}{\sqrt[3]{x^2}}\) не совпадает с вариантом E.

Возможно, в условии задания или в варианте ответа E есть опечатка. Если предположить, что в варианте E опечатка и должно быть \(y' = \frac{1}{\sqrt[3]{x^2}}\), то тогда функция 2 соответствует варианту E.

Если же опечатка в самой функции, и она должна была быть, например, \(y = 18\sqrt[3]{x^2} + 11\), то производная была бы \(y' = 18 \cdot \frac{2}{3}x^{2/3 - 1} = 12x^{-1/3} = \frac{12}{\sqrt[3]{x}}\), что тоже не совпадает с вариантом E.

Исходя из стандартных правил дифференцирования, производная \(y = 3\sqrt[3]{x} + 11\) равна \(y' = \frac{1}{\sqrt[3]{x^2}}\). Будем считать, что вариант E содержит опечатку и соответствует нашему результату.

Привет! 👋 Давай найдем производную для первой функции.

Задание 1

Найдите производную функции \(y = 6\sqrt{x} - 8\cos x + 3x\).

Решение:

1. Перепишем функцию: Удобнее представить корень как степень: \(\sqrt{x} = x^{1/2}\).
   \(y = 6x^{1/2} - 8\cos x + 3x\)

2. Применим правила дифференцирования:

   • Правило суммы/разности: \((u \pm v)' = u' \pm v'\)
   • Производная степенной функции: \((x^n)' = nx^{n-1}\)
   • Производная косинуса: \((\cos x)' = -\sin x\)
   • Производная \(kx\): \((kx)' = k\)
   • Производная константы, умноженной на функцию: \((c \cdot u)' = c \cdot u'\)

3. Найдем производную каждого слагаемого:

   • \((6x^{1/2})' = 6 \cdot (x^{1/2})' = 6 \cdot \frac{1}{2}x^{1/2 - 1} = 3x^{-1/2} = \frac{3}{x^{1/2}} = \frac{3}{\sqrt{x}}\)
   • \((-8\cos x)' = -8 \cdot (\cos x)' = -8 \cdot (-\sin x) = 8\sin x\)
   • \((3x)' = 3\)

4. Сложим производные:
   \(y' = (6x^{1/2})' + (-8\cos x)' + (3x)' = \frac{3}{\sqrt{x}} + 8\sin x + 3\)

Ответ: Производная функции \(y = 6\sqrt{x} - 8\cos x + 3x\) равна \(y' = \frac{3}{\sqrt{x}} + 8\sin x + 3\).

Задание 2

Найдите производную функции \(y = 3\sqrt{8x + 11}\).

Решение:

1. Перепишем функцию: Представим корень как степень:
   \(y = 3(8x + 11)^{1/2}\)

2. Применим правила дифференцирования:

   • Правило производной сложной функции (цепное правило): \((f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)\)
   • Производная степенной функции: \((u^n)' = nu^{n-1}\)
   • Производная линейной функции: \((ax+b)' = a\)
   • Производная константы, умноженной на функцию: \((c \cdot u)' = c \cdot u'\)

3. Определим внешнюю и внутреннюю функции:

   • Внешняя функция: \(f(u) = 3u^{1/2}\), где \(u = g(x)\)
   • Внутренняя функция: \(g(x) = 8x + 11\)

4. Найдем производные внешней и внутренней функций:

   • \(f'(u) = (3u^{1/2})' = 3 \cdot \frac{1}{2}u^{1/2 - 1} = \frac{3}{2}u^{-1/2} = \frac{3}{2\sqrt{u}}\)
   • \(g'(x) = (8x + 11)' = 8\)

5. Применим цепное правило:
   \(y' = f'(g(x)) \cdot g'(x) = \frac{3}{2\sqrt{8x + 11}} \cdot 8\)

6. Упростим выражение:
   \(y' = \frac{3 \cdot 8}{2\sqrt{8x + 11}} = \frac{24}{2\sqrt{8x + 11}} = \frac{12}{\sqrt{8x + 11}}\)

Ответ: Производная функции \(y = 3\sqrt{8x + 11}\) равна \(y' = \frac{12}{\sqrt{8x + 11}}\).

Привет! 👋 Давай найдем производную для первой функции.

Задание 1

Найдите производную функции \(y = 6\sqrt{x} - 8\cos x + 3x\).

Решение:

1. Перепишем функцию: Удобнее представить корень как степень: \(\sqrt{x} = x^{1/2}\).
   \(y = 6x^{1/2} - 8\cos x + 3x\)

2. Применим правила дифференцирования:

   • Правило суммы/разности: \((u \pm v)' = u' \pm v'\)
   • Производная степенной функции: \((x^n)' = nx^{n-1}\)
   • Производная косинуса: \((\cos x)' = -\sin x\)
   • Производная \(kx\): \((kx)' = k\)
   • Производная константы, умноженной на функцию: \((c \cdot u)' = c \cdot u'\)

3. Найдем производную каждого слагаемого:

   • \((6x^{1/2})' = 6 \cdot (x^{1/2})' = 6 \cdot \frac{1}{2}x^{1/2 - 1} = 3x^{-1/2} = \frac{3}{x^{1/2}} = \frac{3}{\sqrt{x}}\)
   • \((-8\cos x)' = -8 \cdot (\cos x)' = -8 \cdot (-\sin x) = 8\sin x\)
   • \((3x)' = 3\)

4. Сложим производные:
   \(y' = (6x^{1/2})' + (-8\cos x)' + (3x)' = \frac{3}{\sqrt{x}} + 8\sin x + 3\)

Ответ: Производная функции \(y = 6\sqrt{x} - 8\cos x + 3x\) равна \(y' = \frac{3}{\sqrt{x}} + 8\sin x + 3\).

Задание 2

Найдите производную функции \(y = 3\sqrt{8x + 11}\).

Решение:

1. Перепишем функцию: Представим корень как степень:
   \(y = 3(8x + 11)^{1/2}\)

2. Применим правила дифференцирования:

   • Правило производной сложной функции (цепное правило): \((f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)\)
   • Производная степенной функции: \((u^n)' = nu^{n-1}\)
   • Производная линейной функции: \((ax+b)' = a\)
   • Производная константы, умноженной на функцию: \((c \cdot u)' = c \cdot u'\)

3. Определим внешнюю и внутреннюю функции:

   • Внешняя функция: \(f(u) = 3u^{1/2}\), где \(u = g(x)\)
   • Внутренняя функция: \(g(x) = 8x + 11\)

4. Найдем производные внешней и внутренней функций:

   • \(f'(u) = (3u^{1/2})' = 3 \cdot \frac{1}{2}u^{1/2 - 1} = \frac{3}{2}u^{-1/2} = \frac{3}{2\sqrt{u}}\)
   • \(g'(x) = (8x + 11)' = 8\)

5. Применим цепное правило:
   \(y' = f'(g(x)) \cdot g'(x) = \frac{3}{2\sqrt{8x + 11}} \cdot 8\)

6. Упростим выражение:
   \(y' = \frac{3 \cdot 8}{2\sqrt{8x + 11}} = \frac{24}{2\sqrt{8x + 11}} = \frac{12}{\sqrt{8x + 11}}\)

Ответ: Производная функции \(y = 3\sqrt{8x + 11}\) равна \(y' = \frac{12}{\sqrt{8x + 11}}\).

Привет! 👋 Давай разберем это задание вместе.

Задание 1

Нужно найти уравнение касательной к графику функции \(f(x) = x^2 - 4x + 2\) в точке с абсциссой \(x = 1\).

Шаг 1: Найдем значение функции в точке касания

Абсцисса точки касания \(x_0 = 1\). Найдем ординату \(y_0\), подставив \(x_0\) в уравнение функции:
\(y_0 = f(x_0) = f(1) = (1)^2 - 4(1) + 2 = 1 - 4 + 2 = -1\)

Итак, точка касания имеет координаты \((1, -1)\).

Шаг 2: Найдем производную функции

Производная функции \(f(x)\) показывает угловой коэффициент касательной в любой точке \(x\).
\(f'(x) = (x^2 - 4x + 2)' = (x^2)' - (4x)' + (2)' = 2x - 4\)

Шаг 3: Найдем угловой коэффициент касательной в точке \(x_0 = 1\)

Подставим \(x_0 = 1\) в производную:
\(k = f'(1) = 2(1) - 4 = 2 - 4 = -2\)

Угловой коэффициент касательной \(k = -2\).

Шаг 4: Составим уравнение касательной

Общее уравнение касательной в точке \((x_0, y_0)\) имеет вид: \(y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)\).
Подставим найденные значения \(x_0 = 1\), \(y_0 = f(1) = -1\) и \(k = f'(1) = -2\):
\(y = -1 + (-2)(x - 1)\)
\(y = -1 - 2x + 2\)
\(y = -2x + 1\)

Ответ: Уравнение касательной: \(y = -2x + 1\). Это соответствует последнему варианту ответа. ✅

Привет! 👋 Давай разберем это задание по физике.

Задание № 38

Закон прямолинейного движения материальной точки задается формулой \(s(t) = t^3 - t^2 + 18\), где \(t\) — время (в секундах), а \(s(t)\) — расстояние (в метрах), пройденное точкой к моменту времени \(t\). Ускорение движения точки будет равно \(6 \, м/с^2\) в момент времени \(t\), равном ...

Решение:

Чтобы найти момент времени \(t\), когда ускорение равно \(6 \, м/с^2\), нам нужно выполнить следующие шаги:

1. Найти функцию скорости \(v(t)\). Скорость — это первая производная от функции расстояния \(s(t)\) по времени \(t\).
   \(v(t) = s'(t) = \frac{d}{dt}(t^3 - t^2 + 18)\)
   Используя правила дифференцирования степенной функции (\((x^n)' = nx^{n-1}\)), получаем:
   \(v(t) = 3t^{3-1} - 2t^{2-1} + 0 = 3t^2 - 2t\)

2. Найти функцию ускорения \(a(t)\). Ускорение — это первая производная от функции скорости \(v(t)\) по времени \(t\) (или вторая производная от функции расстояния \(s(t)\)).
   \(a(t) = v'(t) = s''(t) = \frac{d}{dt}(3t^2 - 2t)\)
   Снова применяем правило дифференцирования:
   \(a(t) = 3 \cdot 2t^{2-1} - 2 \cdot 1t^{1-1} = 6t - 2\)

3. Приравнять ускорение к заданному значению и решить уравнение относительно \(t\). Нам дано, что ускорение \(a(t) = 6 \, м/с^2\).
   \(a(t) = 6\)
   \(6t - 2 = 6\)
   Теперь решим это линейное уравнение:
   \(6t = 6 + 2\)
   \(6t = 8\)
   \(t = \frac{8}{6}\)
   \(t = \frac{4}{3}\)

Ответ:

Ускорение движения точки будет равно \(6 \, м/с^2\) в момент времени \(t = \frac{4}{3}\) секунды. ✅

Привет! 👋 Давай найдем наименьшее значение функции \(f(x) = -\frac{x^3}{3} + x^2 - 8x + 7\) на отрезке \([0, 3]\).

Шаг 1: Найдем производную функции
Производная функции \(f(x)\) находится следующим образом:
\(f'(x) = \frac{d}{dx} \left(-\frac{x^3}{3} + x^2 - 8x + 7\right)\)
\(f'(x) = -\frac{3x^2}{3} + 2x - 8\)
\(f'(x) = -x^2 + 2x - 8\)

Шаг 2: Найдем критические точки
Критические точки - это точки, в которых производная равна нулю или не существует. Приравняем производную к нулю:
\(-x^2 + 2x - 8 = 0\)
Умножим на -1:
\(x^2 - 2x + 8 = 0\)
Найдем дискриминант квадратного уравнения \(ax^2 + bx + c = 0\): \(\Delta = b^2 - 4ac\).
\(\Delta = (-2)^2 - 4(1)(8) = 4 - 32 = -28\)
Поскольку дискриминант \(\Delta < 0\), у уравнения нет действительных корней. Это значит, что у функции нет стационарных точек (точек, где производная равна нулю).

Шаг 3: Проверим знак производной
Производная \(f'(x) = -x^2 + 2x - 8 = -(x^2 - 2x + 8) = -((x-1)^2 - 1 + 8) = -((x-1)^2 + 7)\).
Так как \((x-1)^2 \ge 0\), то \((x-1)^2 + 7 \ge 7\).
Следовательно, \(f'(x) = -((x-1)^2 + 7) \le -7\) для всех \(x\).
Поскольку производная всегда отрицательна (\(f'(x) < 0\)), функция \(f(x)\) является убывающей на всей числовой прямой, и в частности на отрезке \([0, 3]\).

Шаг 4: Найдем значения функции на концах отрезка
Для убывающей функции наименьшее значение на отрезке достигается в его правом конце.
Вычислим значения функции в точках \(x=0\) и \(x=3\):
* \(f(0) = -\frac{0^3}{3} + 0^2 - 8(0) + 7 = 7\)
* \(f(3) = -\frac{3^3}{3} + 3^2 - 8(3) + 7 = -\frac{27}{3} + 9 - 24 + 7 = -9 + 9 - 24 + 7 = -17\)

Шаг 5: Определим наименьшее значение
Сравниваем значения функции на концах отрезка: \(f(0) = 7\) и \(f(3) = -17\).
Наименьшее значение функции на отрезке \([0, 3]\) равно \(\mathbf{-17}\).

🤔 Важное замечание: Среди предложенных вариантов ответа ($ -4\frac{2}{3}, 7, 2\frac{1}{3}, 1$) нет значения \(-17\). Возможно, в условии задачи или в вариантах ответа есть опечатка. Согласно расчетам, верный ответ -17.

Привет! 👋 Давай найдем наименьшее значение функции \(f(x) = \frac{x^3}{3} + x^2 - 8x + 7\) на отрезке \([0; 3]\).

Задание № 39

Чтобы найти наименьшее значение функции на отрезке, нужно выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции \(f'(x)\).
   \(f'(x) = \left( \frac{x^3}{3} + x^2 - 8x + 7 \right)' = \frac{3x^2}{3} + 2x - 8 = x^2 + 2x - 8\).

2. Найти критические точки функции. Для этого приравниваем производную к нулю и решаем уравнение:
   \(f'(x) = 0\)
   \(x^2 + 2x - 8 = 0\)
   Решим это квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета или дискриминант.
   По теореме Виета:
   Сумма корней \(x_1 + x_2 = -2\)
   Произведение корней \(x_1 \cdot x_2 = -8\)
   Подходят корни \(x_1 = -4\) и \(x_2 = 2\).
   Критические точки: \(x = -4\) и \(x = 2\).

3. Проверить, какие критические точки принадлежат заданному отрезку \([0; 3]\).

   • \(x = -4\) не принадлежит отрезку \([0; 3]\).
   • \(x = 2\) принадлежит отрезку \([0; 3]\).

4. Вычислить значения функции в критических точках, принадлежащих отрезку, и на концах отрезка.
   Нам нужно вычислить значения функции в точках \(x=0\), \(x=2\) и \(x=3\).

   • \(f(0) = \frac{0^3}{3} + 0^2 - 8(0) + 7 = 7\)
   • \(f(2) = \frac{2^3}{3} + 2^2 - 8(2) + 7 = \frac{8}{3} + 4 - 16 + 7 = \frac{8}{3} - 5 = \frac{8 - 15}{3} = -\frac{7}{3}\)
   • \(f(3) = \frac{3^3}{3} + 3^2 - 8(3) + 7 = \frac{27}{3} + 9 - 24 + 7 = 9 + 9 - 24 + 7 = 18 - 24 + 7 = 1\)

5. Выбрать наименьшее из полученных значений.
   Сравним значения: \(f(0) = 7\), \(f(2) = -\frac{7}{3}\), \(f(3) = 1\).
   Наименьшее значение равно \(-\frac{7}{3}\).

✅ Ответ: Наименьшее значение функции на отрезке \([0; 3]\) равно \(-\frac{7}{3}\).

Привет! 👋 Давай разберем эту задачу по шагам.

Задание 5746

Сумма двух положительных чисел равна 15. Найдите наибольшее из этих чисел, чтобы сумма квадрата одного из них и удвоенного квадрата другого была наименьшей.

Решение:

1. Обозначим переменные:
   Пусть \(x\) и \(y\) — два искомых положительных числа.
   По условию, \(x > 0\) и \(y > 0\).

2. Составим уравнения по условию задачи:

   • Сумма чисел равна 15: \(x + y = 15\).
   • Нужно минимизировать сумму \(S = x^2 + 2y^2\).

3. Выразим одну переменную через другую:
   Из первого уравнения выразим \(y\): \(y = 15 - x\).
   Поскольку \(y > 0\), то \(15 - x > 0\), откуда \(x < 15\). Учитывая, что \(x > 0\), получаем ограничение \(0 < x < 15\).

4. Подставим выражение для \(y\) в формулу для \(S\):
   \(S(x) = x^2 + 2(15 - x)^2\)
   Раскроем скобки и упростим:
   \(S(x) = x^2 + 2(225 - 30x + x^2)\)
   \(S(x) = x^2 + 450 - 60x + 2x^2\)
   \(S(x) = 3x^2 - 60x + 450\)

5. Найдем минимум функции \(S(x)\):
   Функция \(S(x) = 3x^2 - 60x + 450\) является квадратичной функцией вида \(ax^2 + bx + c\), где \(a = 3\), \(b = -60\), \(c = 450\).
   Поскольку коэффициент \(a = 3 > 0\), ветви параболы направлены вверх, и функция имеет точку минимума.
   Координата \(x\) вершины параболы (точки минимума) находится по формуле: \(x_{верш} = -\frac{b}{2a}\).
   \(x = -\frac{-60}{2 \times 3} = \frac{60}{6} = 10\).

6. Проверим, входит ли найденное значение \(x\) в допустимый интервал:
   Значение \(x = 10\) удовлетворяет условию \(0 < x < 15\).

7. Найдем второе число \(y\):
   \(y = 15 - x = 15 - 10 = 5\).

8. Проверим положительность чисел:
   \(x = 10 > 0\) и \(y = 5 > 0\). Оба числа положительные.

9. Определим наибольшее из чисел:
   Мы нашли два числа: 10 и 5.
   Наибольшее из них равно 10.

Ответ: Наибольшее из чисел равно 10. ✅

Привет! 👋 Давай разберем это задание.

Задание № 4

Нужно найти первообразную для функции \(f(x) = 6x + 11\). Первообразная \(F(x)\) — это такая функция, производная которой равна исходной функции \(f(x)\), то есть \(F'(x) = f(x)\).

Чтобы найти первообразную, нужно вычислить неопределенный интеграл от функции \(f(x)\):
\(F(x) = \int f(x) dx = \int (6x + 11) dx\)

Используем свойства интегралов:
\(\int (6x + 11) dx = \int 6x dx + \int 11 dx\)

Теперь применяем формулу интегрирования степенной функции \(\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C\):

1. Для первого слагаемого (\(n=1\)):
   \(\int 6x dx = 6 \int x^1 dx = 6 \cdot \frac{x^{1+1}}{1+1} + C_1 = 6 \cdot \frac{x^2}{2} + C_1 = 3x^2 + C_1\)

2. Для второго слагаемого (\(n=0\), так как \(11 = 11x^0\)):
   \(\int 11 dx = 11 \int x^0 dx = 11 \cdot \frac{x^{0+1}}{0+1} + C_2 = 11x + C_2\)

Объединяем результаты:
\(F(x) = 3x^2 + 11x + (C_1 + C_2)\)

Поскольку \(C_1\) и \(C_2\) — это произвольные константы, их сумма \((C_1 + C_2)\) также является произвольной константой, которую мы обозначим как \(C\).

Итак, общий вид первообразной для функции \(f(x) = 6x + 11\):
\(F(x) = 3x^2 + 11x + C\)

Теперь посмотрим на предложенные варианты ответов:

1. \(F(x) = 3x^2 + 11x + 0\). Это соответствует общему виду при \(C=0\). ✅ Подходит.
2. \(F(x) = 3x^2 + 11x - 3\). Это соответствует общему виду при \(C=-3\). ✅ Подходит.
3. \(f(x) = -6 + C\). Это не является первообразной. ❌ Не подходит.
4. \(F(x) = 3x^2 + 6\). Отсутствует слагаемое \(11x\). ❌ Не подходит.

В задании указано "Выберите не менее двух вариантов", и мы нашли два подходящих.

🎉 Ответ: Правильные варианты первообразных:
* \(F(x) = 3x^2 + 11x + 0\)
* \(F(x) = 3x^2 + 11x - 3\)

Привет! 👋 Давай разберем это задание.

Задание № 4

Нужно найти первообразную для функции \(f(x) = 6x + 11\). Первообразная \(F(x)\) — это такая функция, производная которой равна исходной функции \(f(x)\), то есть \(F'(x) = f(x)\).

Чтобы найти первообразную, нужно вычислить неопределенный интеграл от функции \(f(x)\):
\(F(x) = \int f(x) dx = \int (6x + 11) dx\)

Используем свойства интегралов:
\(\int (6x + 11) dx = \int 6x dx + \int 11 dx\)

Теперь применяем формулу интегрирования степенной функции \(\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C\):

1. Для первого слагаемого (\(n=1\)):
   \(\int 6x dx = 6 \int x^1 dx = 6 \cdot \frac{x^{1+1}}{1+1} + C_1 = 6 \cdot \frac{x^2}{2} + C_1 = 3x^2 + C_1\)

2. Для второго слагаемого (\(n=0\), так как \(11 = 11x^0\)):
   \(\int 11 dx = 11 \int x^0 dx = 11 \cdot \frac{x^{0+1}}{0+1} + C_2 = 11x + C_2\)

Объединяем результаты:
\(F(x) = 3x^2 + 11x + (C_1 + C_2)\)

Поскольку \(C_1\) и \(C_2\) — это произвольные константы, их сумма \((C_1 + C_2)\) также является произвольной константой, которую мы обозначим как \(C\).

Итак, общий вид первообразной для функции \(f(x) = 6x + 11\):
\(F(x) = 3x^2 + 11x + C\)

Теперь посмотрим на предложенные варианты ответов:

1. \(F(x) = 3x^2 + 11x + 0\). Это соответствует общему виду при \(C=0\). ✅ Подходит.
2. \(F(x) = 3x^2 + 11x - 3\). Это соответствует общему виду при \(C=-3\). ✅ Подходит.
3. \(f(x) = -6 + C\). Это не является первообразной. ❌ Не подходит.
4. \(F(x) = 3x^2 + 6\). Отсутствует слагаемое \(11x\). ❌ Не подходит.

В задании указано "Выберите не менее двух вариантов", и мы нашли два подходящих.

🎉 Ответ: Правильные варианты первообразных:
* \(F(x) = 3x^2 + 11x + 0\)
* \(F(x) = 3x^2 + 11x - 3\)