Задание № 28

Решите неравенство: $3 \cdot 7^{\log_7 x} \le 5x - 11$

Решение:

1. Определим область допустимых значений (ОДЗ):
   Выражение под логарифмом должно быть строго положительным:
   $x > 0$

2. Упростим левую часть неравенства:
   Воспользуемся основным логарифмическим тождеством $a^{\log_a b} = b$. Применительно к нашему случаю:
   $7^{\log_7 x} = x$
   Теперь неравенство принимает вид:
   $3x \le 5x - 11$

3. Решим полученное линейное неравенство:
   Перенесем все слагаемые с $x$ в правую часть, а числовые слагаемые - в левую:
   $11 \le 5x - 3x$
   $11 \le 2x$
   Разделим обе части неравенства на 2. Так как 2 > 0, знак неравенства сохраняется:
   $\frac{11}{2} \le x$
   $x \ge 5.5$

4. Найдем пересечение с ОДЗ:
   Мы получили решение $x \ge 5.5$. Условие ОДЗ: $x > 0$.
   Оба условия должны выполняться одновременно. Пересечением этих множеств является:
   $x \ge 5.5$

Ответ:
Решение неравенства: $x \in [5.5, +\infty)$. ✅

Привет! 👋 Давай решим это показательное неравенство.

Задание: Решением неравенства $2\sqrt{2} \cdot 2^x \ge \frac{1}{2}$ является промежуток...

Решение:

1. Преобразуем левую и правую части неравенства к степени с основанием 2:

   • $2 = 2^1$
   • $\sqrt{2} = 2^{1/2}$
   • $\frac{1}{2} = 2^{-1}$

2. Подставим эти значения в исходное неравенство:
   $2^1 \cdot 2^{1/2} \cdot 2^x \ge 2^{-1}$

3. Используем свойство степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:
   $2^{1 + 1/2 + x} \ge 2^{-1}$
   $2^{3/2 + x} \ge 2^{-1}$

4. Сравним показатели степеней:
   Так как основание степени $2 > 1$, знак неравенства сохраняется:
   $\frac{3}{2} + x \ge -1$

5. Решим полученное линейное неравенство:
   $x \ge -1 - \frac{3}{2}$
   $x \ge -\frac{2}{2} - \frac{3}{2}$
   $x \ge -\frac{5}{2}$
   $x \ge -2.5$

6. Запишем решение в виде промежутка:
   $x \in [-2.5, +\infty)$

7. Сравним с вариантами ответа:

   • $(-\infty; 0.5]$
   • $[0.5; +\infty)$
   • $[-2.5; +\infty)$ ✅
   • $[0.5; +\infty)$ (Похоже, этот вариант повторяется или опечатка в задании, но наш ответ совпадает с третьим вариантом)

Ответ: Решением неравенства является промежуток $[-2.5, +\infty)$.

Привет! 👋 Давай разберем это задание.

Задание №30

Нужно найти интервалы, которые удовлетворяют неравенству $x^2 > -4x - 1$, решенному графическим методом.

Шаг 1: Преобразование неравенства
Перенесем все члены в левую часть:
$x^2 + 4x + 1 > 0$

Шаг 2: Графический метод
Рассмотрим функцию $y = x^2 + 4x + 1$. Нам нужно найти значения $x$, при которых график этой функции находится выше оси Ox (то есть $y > 0$).
График функции $y = x^2 + 4x + 1$ — это парабола, ветви которой направлены вверх (так как коэффициент при $x^2$ равен 1, что больше 0).

Шаг 3: Нахождение точек пересечения с осью Ox
Найдем корни уравнения $x^2 + 4x + 1 = 0$. Это точки, в которых парабола пересекает ось Ox.
Используем формулу для корней квадратного уравнения:
$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$
$x = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$
$x = \frac{-4 \pm \sqrt{16 - 4}}{2}$
$x = \frac{-4 \pm \sqrt{12}}{2}$
$x = \frac{-4 \pm 2\sqrt{3}}{2}$
$x = -2 \pm \sqrt{3}$

Получаем два корня:
$x_1 = -2 - \sqrt{3} \approx -2 - 1.732 = -3.732$
$x_2 = -2 + \sqrt{3} \approx -2 + 1.732 = -0.268$

Шаг 4: Определение интервалов
Парабола $y = x^2 + 4x + 1$ находится выше оси Ox (то есть $x^2 + 4x + 1 > 0$) на интервалах, лежащих вне корней.
Решение неравенства: $x \in (-\infty; -2 - \sqrt{3}) \cup (-2 + \sqrt{3}; +\infty)$.
Приблизительно: $x \in (-\infty; -3.732) \cup (-0.268; +\infty)$.

Шаг 5: Проверка предложенных вариантов
Теперь проверим, какие из предложенных интервалов полностью входят в найденное решение:

a) $x \in (-5; -4)$: Этот интервал полностью лежит в $(-\infty; -3.732)$. ✅ Подходит.
b) $x \in (0; 1)$: Этот интервал полностью лежит в $(-0.268; +\infty)$. ✅ Подходит.
c) $x \in (-2; -1)$: Этот интервал лежит между корнями $(-3.732; -0.268)$, где $y < 0$. ❌ Не подходит.
d) $x \in (-3; -2)$: Этот интервал лежит между корнями $(-3.732; -0.268)$, где $y < 0$. ❌ Не подходит.

Ответ: Неравенству удовлетворяют значения $x$ из интервалов (-5; -4) и (0; 1).

Привет! 👋 Давай разберем это задание.

Задание №21

Числовая последовательность задана формулой n-го члена: $y_n = n^2 - 2n$.
Известно, что один из членов этой последовательности равен 15, то есть $y_n = 15$.
Нужно найти номер этого члена, то есть $n$.

Решение:

1. Подставим известное значение $y_n$ в формулу:
   $15 = n^2 - 2n$

2. Перенесем все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:
   $n^2 - 2n - 15 = 0$

3. Решим полученное квадратное уравнение. Это можно сделать двумя способами:

   • Способ 1: По теореме Виета
     Для уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$, если $a=1$, то сумма корней $n_1 + n_2 = -b$ и произведение корней $n_1 \cdot n_2 = c$.
     В нашем случае $a=1$, $b=-2$, $c=-15$.
     Ищем два числа, сумма которых равна $2$, а произведение равно $-15$.
     Подбором находим эти числа: $5$ и $-3$.
     $5 + (-3) = 2$
     $5 \cdot (-3) = -15$
     Значит, корни уравнения: $n_1 = 5$ и $n_2 = -3$.

   • Способ 2: Через дискриминант
     Формула дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$
     $D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 4 - (-60) = 4 + 60 = 64$
     Формулы корней: $n_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$
     $n_1 = \frac{-(-2) + \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 8}{2} = \frac{10}{2} = 5$
     $n_2 = \frac{-(-2) - \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{2 - 8}{2} = \frac{-6}{2} = -3$

4. Выбор правильного корня:
   По определению, номер члена последовательности $n$ должен быть натуральным числом (то есть целым положительным числом: $1, 2, 3, ...$).
   Из двух найденных корней ($5$ и $-3$) только $n=5$ является натуральным числом.

Ответ:
Номер члена последовательности, равного 15, равен 5. ✅

Привет! 👋 Давай разберем это задание.

Задание 32

Нужно найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии $(b_n)$, в которой первый член $b_1 = 5$ и знаменатель $q = \frac{1}{4}$.

Шаг 1: Проверка условия убывания прогрессии

Геометрическая прогрессия является бесконечно убывающей, если модуль её знаменателя $|q|$ меньше 1.
В нашем случае $q = \frac{1}{4}$.
$|q| = |\frac{1}{4}| = \frac{1}{4}$.
Так как $\frac{1}{4} < 1$, прогрессия действительно является бесконечно убывающей, и мы можем найти её сумму.

Шаг 2: Формула суммы

Сумма $S$ бесконечно убывающей геометрической прогрессии вычисляется по формуле:
$S = \frac{b_1}{1 - q}$

Шаг 3: Подстановка значений и вычисление

Подставим известные значения $b_1 = 5$ и $q = \frac{1}{4}$ в формулу:
$S = \frac{5}{1 - \frac{1}{4}}$

Сначала вычислим знаменатель дроби:
$1 - \frac{1}{4} = \frac{4}{4} - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$

Теперь подставим это значение обратно в формулу суммы:
$S = \frac{5}{\frac{3}{4}}$

Чтобы разделить число на дробь, нужно умножить это число на перевернутую дробь:
$S = 5 \times \frac{4}{3} = \frac{5 \times 4}{3} = \frac{20}{3}$

Ответ: Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна $\frac{20}{3}$. ✅

Привет! 👋 Давай разберем это задание.

Задание 33

Нужно найти предел числовой последовательности:
$\lim_{n \to \infty} (\frac{11}{n^3} - \frac{2}{n} + 5)$

Решение:

1. Используем свойство предела суммы/разности: предел суммы/разности равен сумме/разности пределов.
   $\lim_{n \to \infty} (\frac{11}{n^3} - \frac{2}{n} + 5) = \lim_{n \to \infty} \frac{11}{n^3} - \lim_{n \to \infty} \frac{2}{n} + \lim_{n \to \infty} 5$

2. Найдем каждый предел по отдельности:

   • Когда $n$ стремится к бесконечности ($n \to \infty$), знаменатель $n^3$ также стремится к бесконечности. Дробь, у которой числитель - константа (11), а знаменатель стремится к бесконечности, стремится к нулю.
     $\lim_{n \to \infty} \frac{11}{n^3} = 0$
   • Аналогично, когда $n \to \infty$, знаменатель $n$ стремится к бесконечности. Дробь $\frac{2}{n}$ стремится к нулю.
     $\lim_{n \to \infty} \frac{2}{n} = 0$
   • Предел константы равен самой константе.
     $\lim_{n \to \infty} 5 = 5$

3. Подставим найденные значения обратно в выражение:
   $0 - 0 + 5 = 5$

Ответ: Предел данной последовательности равен 5. ✅

Привет! 👋 Давай разберем это задание.

Задание 34

Нужно найти предел числовой последовательности:
$x_n = \frac{1 + 4n - 6n^2}{4n^2 - n + 12}$

Мы ищем предел при $n$, стремящемся к бесконечности:
$\lim_{n \to \infty} \frac{1 + 4n - 6n^2}{4n^2 - n + 12}$

Шаг 1: Определение типа неопределенности
Когда $n \to \infty$, и числитель, и знаменатель стремятся к бесконечности ($rac{-\infty}{+\infty}$). Это неопределенность типа $\frac{\infty}{\infty}$.

Шаг 2: Деление на старшую степень n
Чтобы раскрыть эту неопределенность, разделим каждый член числителя и знаменателя на наивысшую степень $n$ в дроби. В данном случае это $n^2$.

$\lim_{n \to \infty} \frac{\frac{1}{n^2} + \frac{4n}{n^2} - \frac{6n^2}{n^2}}{\frac{4n^2}{n^2} - \frac{n}{n^2} + \frac{12}{n^2}}$

Шаг 3: Упрощение выражения
Упростим полученное выражение:

$\lim_{n \to \infty} \frac{\frac{1}{n^2} + \frac{4}{n} - 6}{4 - \frac{1}{n} + \frac{12}{n^2}}$

Шаг 4: Вычисление предела
Теперь найдем предел при $n \to \infty$. Мы знаем, что:
$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^2} = 0$
$\lim_{n \to \infty} \frac{4}{n} = 0$
$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0$
$\lim_{n \to \infty} \frac{12}{n^2} = 0$

Подставим эти значения в выражение:

$\frac{0 + 0 - 6}{4 - 0 + 0} = \frac{-6}{4}$

Шаг 5: Окончательный ответ
Упростим дробь:

$\frac{-6}{4} = -\frac{3}{2} = -1.5$

✅ Ответ: Предел последовательности равен -1.5.

Привет! 👋 Давай разберем это задание.

Задание 1

Нужно найти значение производной функции $f(x) = \frac{4}{x} - \frac{1}{4}$ в точке $x_0 = -\frac{1}{3}$.

Шаг 1: Найдем производную функции $f(x)$

Функцию можно переписать в виде $f(x) = 4x^{-1} - \frac{1}{4}$.

Используем правила дифференцирования:
1. Производная степенной функции: $(x^n)' = nx^{n-1}$
2. Производная константы: $(C)' = 0$
3. Производная разности: $(u - v)' = u' - v'$

Применяем эти правила:
$f'(x) = (4x^{-1} - \frac{1}{4})' = (4x^{-1})' - (\frac{1}{4})'$

$f'(x) = 4 \cdot (-1)x^{-1-1} - 0$
$f'(x) = -4x^{-2}$

Перепишем производную в более привычном виде:
$f'(x) = -\frac{4}{x^2}$

Шаг 2: Вычислим значение производной в точке $x_0 = -\frac{1}{3}$

Подставим $x_0 = -\frac{1}{3}$ в выражение для производной $f'(x)$:

$f'(-\frac{1}{3}) = -\frac{4}{(-\frac{1}{3})^2}$

$f'(-\frac{1}{3}) = -\frac{4}{\frac{1}{9}}$

$f'(-\frac{1}{3}) = -4 \cdot 9$

$f'(-\frac{1}{3}) = -36$

Ответ: Значение производной функции $f(x)$ в точке $x_0 = -\frac{1}{3}$ равно -36. ✅

Задание 1: Найти производную функции $y = 6\sqrt{x} - 8\cos x + 3x$

Привет! Давай разберем, как найти производную этой функции шаг за шагом.

Шаг 1: Перепишем функцию в удобном виде

Функцию можно переписать, используя степенное представление корня:
$y = 6x^{1/2} - 8\cos x + 3x$

Шаг 2: Применим правила дифференцирования

Используем правило производной суммы/разности: $(u \pm v)' = u' \pm v'$.
Найдем производную каждого слагаемого отдельно:

• Производная степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$.
  $(6x^{1/2})' = 6 \cdot \frac{1}{2}x^{1/2 - 1} = 3x^{-1/2} = \frac{3}{x^{1/2}} = \frac{3}{\sqrt{x}}$
• Производная косинуса $(\cos x)' = -\sin x$.
  $(-8\cos x)' = -8(-\sin x) = 8\sin x$
• Производная линейной функции $(kx)' = k$.
  $(3x)' = 3$

Шаг 3: Соберем все вместе

Сложим производные всех слагаемых:
$y' = \frac{3}{\sqrt{x}} + 8\sin x + 3$

Результат:
Производная функции $y = 6\sqrt{x} - 8\cos x + 3x$ равна $y' = \frac{3}{\sqrt{x}} + 8\sin x + 3$.

Это соответствует варианту ответа D.

Задание 2: Найти производную функции $y = 3\sqrt[3]{x} + 11$

Давай найдем производную и для этой функции.

Шаг 1: Перепишем функцию

Представим кубический корень как степень:
$y = 3x^{1/3} + 11$

Шаг 2: Применим правила дифференцирования

Используем правило производной суммы $(u + v)' = u' + v'$ и правило производной степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$.

• Найдем производную первого слагаемого:
  $(3x^{1/3})' = 3 \cdot \frac{1}{3}x^{1/3 - 1} = 1 \cdot x^{-2/3} = x^{-2/3}$
  Перепишем результат в виде корня:
  $x^{-2/3} = \frac{1}{x^{2/3}} = \frac{1}{\sqrt[3]{x^2}}$
• Производная константы равна нулю: $(11)' = 0$.

Шаг 3: Соберем все вместе

$y' = \frac{1}{\sqrt[3]{x^2}} + 0 = \frac{1}{\sqrt[3]{x^2}}$

Результат:
Производная функции $y = 3\sqrt[3]{x} + 11$ равна $y' = \frac{1}{\sqrt[3]{x^2}}$.

Важное замечание:
Среди предложенных вариантов ответа есть вариант E: $y' = \frac{12}{\sqrt[3]{x^2}}$.
Наш результат $y' = \frac{1}{\sqrt[3]{x^2}}$ не совпадает с вариантом E.

Возможно, в условии задания или в варианте ответа E есть опечатка. Если предположить, что в варианте E опечатка и должно быть $y' = \frac{1}{\sqrt[3]{x^2}}$, то тогда функция 2 соответствует варианту E.

Если же опечатка в самой функции, и она должна была быть, например, $y = 18\sqrt[3]{x^2} + 11$, то производная была бы $y' = 18 \cdot \frac{2}{3}x^{2/3 - 1} = 12x^{-1/3} = \frac{12}{\sqrt[3]{x}}$, что тоже не совпадает с вариантом E.

Исходя из стандартных правил дифференцирования, производная $y = 3\sqrt[3]{x} + 11$ равна $y' = \frac{1}{\sqrt[3]{x^2}}$. Будем считать, что вариант E содержит опечатку и соответствует нашему результату.

Привет! 👋 Давай найдем производную для первой функции.

Задание 1

Найдите производную функции $y = 6\sqrt{x} - 8\cos x + 3x$.

Решение:

1. Перепишем функцию: Удобнее представить корень как степень: $\sqrt{x} = x^{1/2}$.
   $y = 6x^{1/2} - 8\cos x + 3x$

2. Применим правила дифференцирования:

   • Правило суммы/разности: $(u \pm v)' = u' \pm v'$
   • Производная степенной функции: $(x^n)' = nx^{n-1}$
   • Производная косинуса: $(\cos x)' = -\sin x$
   • Производная $kx$: $(kx)' = k$
   • Производная константы, умноженной на функцию: $(c \cdot u)' = c \cdot u'$

3. Найдем производную каждого слагаемого:

   • $(6x^{1/2})' = 6 \cdot (x^{1/2})' = 6 \cdot \frac{1}{2}x^{1/2 - 1} = 3x^{-1/2} = \frac{3}{x^{1/2}} = \frac{3}{\sqrt{x}}$
   • $(-8\cos x)' = -8 \cdot (\cos x)' = -8 \cdot (-\sin x) = 8\sin x$
   • $(3x)' = 3$

4. Сложим производные:
   $y' = (6x^{1/2})' + (-8\cos x)' + (3x)' = \frac{3}{\sqrt{x}} + 8\sin x + 3$

Ответ: Производная функции $y = 6\sqrt{x} - 8\cos x + 3x$ равна $y' = \frac{3}{\sqrt{x}} + 8\sin x + 3$.

Задание 2

Найдите производную функции $y = 3\sqrt{8x + 11}$.

Решение:

1. Перепишем функцию: Представим корень как степень:
   $y = 3(8x + 11)^{1/2}$

2. Применим правила дифференцирования:

   • Правило производной сложной функции (цепное правило): $(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$
   • Производная степенной функции: $(u^n)' = nu^{n-1}$
   • Производная линейной функции: $(ax+b)' = a$
   • Производная константы, умноженной на функцию: $(c \cdot u)' = c \cdot u'$

3. Определим внешнюю и внутреннюю функции:

   • Внешняя функция: $f(u) = 3u^{1/2}$, где $u = g(x)$
   • Внутренняя функция: $g(x) = 8x + 11$

4. Найдем производные внешней и внутренней функций:

   • $f'(u) = (3u^{1/2})' = 3 \cdot \frac{1}{2}u^{1/2 - 1} = \frac{3}{2}u^{-1/2} = \frac{3}{2\sqrt{u}}$
   • $g'(x) = (8x + 11)' = 8$

5. Применим цепное правило:
   $y' = f'(g(x)) \cdot g'(x) = \frac{3}{2\sqrt{8x + 11}} \cdot 8$

6. Упростим выражение:
   $y' = \frac{3 \cdot 8}{2\sqrt{8x + 11}} = \frac{24}{2\sqrt{8x + 11}} = \frac{12}{\sqrt{8x + 11}}$

Ответ: Производная функции $y = 3\sqrt{8x + 11}$ равна $y' = \frac{12}{\sqrt{8x + 11}}$.

Привет! 👋 Давай найдем производную для первой функции.

Задание 1

Найдите производную функции $y = 6\sqrt{x} - 8\cos x + 3x$.

Решение:

1. Перепишем функцию: Удобнее представить корень как степень: $\sqrt{x} = x^{1/2}$.
   $y = 6x^{1/2} - 8\cos x + 3x$

2. Применим правила дифференцирования:

   • Правило суммы/разности: $(u \pm v)' = u' \pm v'$
   • Производная степенной функции: $(x^n)' = nx^{n-1}$
   • Производная косинуса: $(\cos x)' = -\sin x$
   • Производная $kx$: $(kx)' = k$
   • Производная константы, умноженной на функцию: $(c \cdot u)' = c \cdot u'$

3. Найдем производную каждого слагаемого:

   • $(6x^{1/2})' = 6 \cdot (x^{1/2})' = 6 \cdot \frac{1}{2}x^{1/2 - 1} = 3x^{-1/2} = \frac{3}{x^{1/2}} = \frac{3}{\sqrt{x}}$
   • $(-8\cos x)' = -8 \cdot (\cos x)' = -8 \cdot (-\sin x) = 8\sin x$
   • $(3x)' = 3$

4. Сложим производные:
   $y' = (6x^{1/2})' + (-8\cos x)' + (3x)' = \frac{3}{\sqrt{x}} + 8\sin x + 3$

Ответ: Производная функции $y = 6\sqrt{x} - 8\cos x + 3x$ равна $y' = \frac{3}{\sqrt{x}} + 8\sin x + 3$.

Задание 2

Найдите производную функции $y = 3\sqrt{8x + 11}$.

Решение:

1. Перепишем функцию: Представим корень как степень:
   $y = 3(8x + 11)^{1/2}$

2. Применим правила дифференцирования:

   • Правило производной сложной функции (цепное правило): $(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$
   • Производная степенной функции: $(u^n)' = nu^{n-1}$
   • Производная линейной функции: $(ax+b)' = a$
   • Производная константы, умноженной на функцию: $(c \cdot u)' = c \cdot u'$

3. Определим внешнюю и внутреннюю функции:

   • Внешняя функция: $f(u) = 3u^{1/2}$, где $u = g(x)$
   • Внутренняя функция: $g(x) = 8x + 11$

4. Найдем производные внешней и внутренней функций:

   • $f'(u) = (3u^{1/2})' = 3 \cdot \frac{1}{2}u^{1/2 - 1} = \frac{3}{2}u^{-1/2} = \frac{3}{2\sqrt{u}}$
   • $g'(x) = (8x + 11)' = 8$

5. Применим цепное правило:
   $y' = f'(g(x)) \cdot g'(x) = \frac{3}{2\sqrt{8x + 11}} \cdot 8$

6. Упростим выражение:
   $y' = \frac{3 \cdot 8}{2\sqrt{8x + 11}} = \frac{24}{2\sqrt{8x + 11}} = \frac{12}{\sqrt{8x + 11}}$

Ответ: Производная функции $y = 3\sqrt{8x + 11}$ равна $y' = \frac{12}{\sqrt{8x + 11}}$.

Привет! 👋 Давай разберем это задание вместе.

Задание 1

Нужно найти уравнение касательной к графику функции $f(x) = x^2 - 4x + 2$ в точке с абсциссой $x = 1$.

Шаг 1: Найдем значение функции в точке касания

Абсцисса точки касания $x_0 = 1$. Найдем ординату $y_0$, подставив $x_0$ в уравнение функции:
$y_0 = f(x_0) = f(1) = (1)^2 - 4(1) + 2 = 1 - 4 + 2 = -1$

Итак, точка касания имеет координаты $(1, -1)$.

Шаг 2: Найдем производную функции

Производная функции $f(x)$ показывает угловой коэффициент касательной в любой точке $x$.
$f'(x) = (x^2 - 4x + 2)' = (x^2)' - (4x)' + (2)' = 2x - 4$

Шаг 3: Найдем угловой коэффициент касательной в точке $x_0 = 1$

Подставим $x_0 = 1$ в производную:
$k = f'(1) = 2(1) - 4 = 2 - 4 = -2$

Угловой коэффициент касательной $k = -2$.

Шаг 4: Составим уравнение касательной

Общее уравнение касательной в точке $(x_0, y_0)$ имеет вид: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.
Подставим найденные значения $x_0 = 1$, $y_0 = f(1) = -1$ и $k = f'(1) = -2$:
$y = -1 + (-2)(x - 1)$
$y = -1 - 2x + 2$
$y = -2x + 1$

Ответ: Уравнение касательной: $y = -2x + 1$. Это соответствует последнему варианту ответа. ✅

Привет! 👋 Давай разберем это задание по физике.

Задание № 38

Закон прямолинейного движения материальной точки задается формулой $s(t) = t^3 - t^2 + 18$, где $t$ — время (в секундах), а $s(t)$ — расстояние (в метрах), пройденное точкой к моменту времени $t$. Ускорение движения точки будет равно $6 \, м/с^2$ в момент времени $t$, равном ...

Решение:

Чтобы найти момент времени $t$, когда ускорение равно $6 \, м/с^2$, нам нужно выполнить следующие шаги:

1. Найти функцию скорости $v(t)$. Скорость — это первая производная от функции расстояния $s(t)$ по времени $t$.
   $v(t) = s'(t) = \frac{d}{dt}(t^3 - t^2 + 18)$
   Используя правила дифференцирования степенной функции ($(x^n)' = nx^{n-1}$), получаем:
   $v(t) = 3t^{3-1} - 2t^{2-1} + 0 = 3t^2 - 2t$

2. Найти функцию ускорения $a(t)$. Ускорение — это первая производная от функции скорости $v(t)$ по времени $t$ (или вторая производная от функции расстояния $s(t)$).
   $a(t) = v'(t) = s''(t) = \frac{d}{dt}(3t^2 - 2t)$
   Снова применяем правило дифференцирования:
   $a(t) = 3 \cdot 2t^{2-1} - 2 \cdot 1t^{1-1} = 6t - 2$

3. Приравнять ускорение к заданному значению и решить уравнение относительно $t$. Нам дано, что ускорение $a(t) = 6 \, м/с^2$.
   $a(t) = 6$
   $6t - 2 = 6$
   Теперь решим это линейное уравнение:
   $6t = 6 + 2$
   $6t = 8$
   $t = \frac{8}{6}$
   $t = \frac{4}{3}$

Ответ:

Ускорение движения точки будет равно $6 \, м/с^2$ в момент времени $t = \frac{4}{3}$ секунды. ✅

Привет! 👋 Давай найдем наименьшее значение функции $f(x) = -\frac{x^3}{3} + x^2 - 8x + 7$ на отрезке $[0, 3]$.

Шаг 1: Найдем производную функции
Производная функции $f(x)$ находится следующим образом:
$f'(x) = \frac{d}{dx} \left(-\frac{x^3}{3} + x^2 - 8x + 7\right)$
$f'(x) = -\frac{3x^2}{3} + 2x - 8$
$f'(x) = -x^2 + 2x - 8$

Шаг 2: Найдем критические точки
Критические точки - это точки, в которых производная равна нулю или не существует. Приравняем производную к нулю:
$-x^2 + 2x - 8 = 0$
Умножим на -1:
$x^2 - 2x + 8 = 0$
Найдем дискриминант квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$: $\Delta = b^2 - 4ac$.
$\Delta = (-2)^2 - 4(1)(8) = 4 - 32 = -28$
Поскольку дискриминант $\Delta < 0$, у уравнения нет действительных корней. Это значит, что у функции нет стационарных точек (точек, где производная равна нулю).

Шаг 3: Проверим знак производной
Производная $f'(x) = -x^2 + 2x - 8 = -(x^2 - 2x + 8) = -((x-1)^2 - 1 + 8) = -((x-1)^2 + 7)$.
Так как $(x-1)^2 \ge 0$, то $(x-1)^2 + 7 \ge 7$.
Следовательно, $f'(x) = -((x-1)^2 + 7) \le -7$ для всех $x$.
Поскольку производная всегда отрицательна ($f'(x) < 0$), функция $f(x)$ является убывающей на всей числовой прямой, и в частности на отрезке $[0, 3]$.

Шаг 4: Найдем значения функции на концах отрезка
Для убывающей функции наименьшее значение на отрезке достигается в его правом конце.
Вычислим значения функции в точках $x=0$ и $x=3$:
* $f(0) = -\frac{0^3}{3} + 0^2 - 8(0) + 7 = 7$
* $f(3) = -\frac{3^3}{3} + 3^2 - 8(3) + 7 = -\frac{27}{3} + 9 - 24 + 7 = -9 + 9 - 24 + 7 = -17$

Шаг 5: Определим наименьшее значение
Сравниваем значения функции на концах отрезка: $f(0) = 7$ и $f(3) = -17$.
Наименьшее значение функции на отрезке $[0, 3]$ равно $\mathbf{-17}$.

🤔 Важное замечание: Среди предложенных вариантов ответа ($ -4\frac{2}{3}, 7, 2\frac{1}{3}, 1$) нет значения $-17$. Возможно, в условии задачи или в вариантах ответа есть опечатка. Согласно расчетам, верный ответ -17.

Привет! 👋 Давай найдем наименьшее значение функции $f(x) = \frac{x^3}{3} + x^2 - 8x + 7$ на отрезке $[0; 3]$.

Задание № 39

Чтобы найти наименьшее значение функции на отрезке, нужно выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции $f'(x)$.
   $f'(x) = \left( \frac{x^3}{3} + x^2 - 8x + 7 \right)' = \frac{3x^2}{3} + 2x - 8 = x^2 + 2x - 8$.

2. Найти критические точки функции. Для этого приравниваем производную к нулю и решаем уравнение:
   $f'(x) = 0$
   $x^2 + 2x - 8 = 0$
   Решим это квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета или дискриминант.
   По теореме Виета:
   Сумма корней $x_1 + x_2 = -2$
   Произведение корней $x_1 \cdot x_2 = -8$
   Подходят корни $x_1 = -4$ и $x_2 = 2$.
   Критические точки: $x = -4$ и $x = 2$.

3. Проверить, какие критические точки принадлежат заданному отрезку $[0; 3]$.

   • $x = -4$ не принадлежит отрезку $[0; 3]$.
   • $x = 2$ принадлежит отрезку $[0; 3]$.

4. Вычислить значения функции в критических точках, принадлежащих отрезку, и на концах отрезка.
   Нам нужно вычислить значения функции в точках $x=0$, $x=2$ и $x=3$.

   • $f(0) = \frac{0^3}{3} + 0^2 - 8(0) + 7 = 7$
   • $f(2) = \frac{2^3}{3} + 2^2 - 8(2) + 7 = \frac{8}{3} + 4 - 16 + 7 = \frac{8}{3} - 5 = \frac{8 - 15}{3} = -\frac{7}{3}$
   • $f(3) = \frac{3^3}{3} + 3^2 - 8(3) + 7 = \frac{27}{3} + 9 - 24 + 7 = 9 + 9 - 24 + 7 = 18 - 24 + 7 = 1$

5. Выбрать наименьшее из полученных значений.
   Сравним значения: $f(0) = 7$, $f(2) = -\frac{7}{3}$, $f(3) = 1$.
   Наименьшее значение равно $-\frac{7}{3}$.

✅ Ответ: Наименьшее значение функции на отрезке $[0; 3]$ равно $-\frac{7}{3}$.

Привет! 👋 Давай разберем эту задачу по шагам.

Задание 5746

Сумма двух положительных чисел равна 15. Найдите наибольшее из этих чисел, чтобы сумма квадрата одного из них и удвоенного квадрата другого была наименьшей.

Решение:

1. Обозначим переменные:
   Пусть $x$ и $y$ — два искомых положительных числа.
   По условию, $x > 0$ и $y > 0$.

2. Составим уравнения по условию задачи:

   • Сумма чисел равна 15: $x + y = 15$.
   • Нужно минимизировать сумму $S = x^2 + 2y^2$.

3. Выразим одну переменную через другую:
   Из первого уравнения выразим $y$: $y = 15 - x$.
   Поскольку $y > 0$, то $15 - x > 0$, откуда $x < 15$. Учитывая, что $x > 0$, получаем ограничение $0 < x < 15$.

4. Подставим выражение для $y$ в формулу для $S$:
   $S(x) = x^2 + 2(15 - x)^2$
   Раскроем скобки и упростим:
   $S(x) = x^2 + 2(225 - 30x + x^2)$
   $S(x) = x^2 + 450 - 60x + 2x^2$
   $S(x) = 3x^2 - 60x + 450$

5. Найдем минимум функции $S(x)$:
   Функция $S(x) = 3x^2 - 60x + 450$ является квадратичной функцией вида $ax^2 + bx + c$, где $a = 3$, $b = -60$, $c = 450$.
   Поскольку коэффициент $a = 3 > 0$, ветви параболы направлены вверх, и функция имеет точку минимума.
   Координата $x$ вершины параболы (точки минимума) находится по формуле: $x_{верш} = -\frac{b}{2a}$.
   $x = -\frac{-60}{2 \times 3} = \frac{60}{6} = 10$.

6. Проверим, входит ли найденное значение $x$ в допустимый интервал:
   Значение $x = 10$ удовлетворяет условию $0 < x < 15$.

7. Найдем второе число $y$:
   $y = 15 - x = 15 - 10 = 5$.

8. Проверим положительность чисел:
   $x = 10 > 0$ и $y = 5 > 0$. Оба числа положительные.

9. Определим наибольшее из чисел:
   Мы нашли два числа: 10 и 5.
   Наибольшее из них равно 10.

Ответ: Наибольшее из чисел равно 10. ✅

Привет! 👋 Давай разберем это задание.

Задание № 4

Нужно найти первообразную для функции $f(x) = 6x + 11$. Первообразная $F(x)$ — это такая функция, производная которой равна исходной функции $f(x)$, то есть $F'(x) = f(x)$.

Чтобы найти первообразную, нужно вычислить неопределенный интеграл от функции $f(x)$:
$F(x) = \int f(x) dx = \int (6x + 11) dx$

Используем свойства интегралов:
$\int (6x + 11) dx = \int 6x dx + \int 11 dx$

Теперь применяем формулу интегрирования степенной функции $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$:

1. Для первого слагаемого ($n=1$):
   $\int 6x dx = 6 \int x^1 dx = 6 \cdot \frac{x^{1+1}}{1+1} + C_1 = 6 \cdot \frac{x^2}{2} + C_1 = 3x^2 + C_1$

2. Для второго слагаемого ($n=0$, так как $11 = 11x^0$):
   $\int 11 dx = 11 \int x^0 dx = 11 \cdot \frac{x^{0+1}}{0+1} + C_2 = 11x + C_2$

Объединяем результаты:
$F(x) = 3x^2 + 11x + (C_1 + C_2)$

Поскольку $C_1$ и $C_2$ — это произвольные константы, их сумма $(C_1 + C_2)$ также является произвольной константой, которую мы обозначим как $C$.

Итак, общий вид первообразной для функции $f(x) = 6x + 11$:
$F(x) = 3x^2 + 11x + C$

Теперь посмотрим на предложенные варианты ответов:

1. $F(x) = 3x^2 + 11x + 0$. Это соответствует общему виду при $C=0$. ✅ Подходит.
2. $F(x) = 3x^2 + 11x - 3$. Это соответствует общему виду при $C=-3$. ✅ Подходит.
3. $f(x) = -6 + C$. Это не является первообразной. ❌ Не подходит.
4. $F(x) = 3x^2 + 6$. Отсутствует слагаемое $11x$. ❌ Не подходит.

В задании указано "Выберите не менее двух вариантов", и мы нашли два подходящих.

🎉 Ответ: Правильные варианты первообразных:
* $F(x) = 3x^2 + 11x + 0$
* $F(x) = 3x^2 + 11x - 3$

Привет! 👋 Давай разберем это задание.

Задание № 4

Нужно найти первообразную для функции $f(x) = 6x + 11$. Первообразная $F(x)$ — это такая функция, производная которой равна исходной функции $f(x)$, то есть $F'(x) = f(x)$.

Чтобы найти первообразную, нужно вычислить неопределенный интеграл от функции $f(x)$:
$F(x) = \int f(x) dx = \int (6x + 11) dx$

Используем свойства интегралов:
$\int (6x + 11) dx = \int 6x dx + \int 11 dx$

Теперь применяем формулу интегрирования степенной функции $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$:

1. Для первого слагаемого ($n=1$):
   $\int 6x dx = 6 \int x^1 dx = 6 \cdot \frac{x^{1+1}}{1+1} + C_1 = 6 \cdot \frac{x^2}{2} + C_1 = 3x^2 + C_1$

2. Для второго слагаемого ($n=0$, так как $11 = 11x^0$):
   $\int 11 dx = 11 \int x^0 dx = 11 \cdot \frac{x^{0+1}}{0+1} + C_2 = 11x + C_2$

Объединяем результаты:
$F(x) = 3x^2 + 11x + (C_1 + C_2)$

Поскольку $C_1$ и $C_2$ — это произвольные константы, их сумма $(C_1 + C_2)$ также является произвольной константой, которую мы обозначим как $C$.

Итак, общий вид первообразной для функции $f(x) = 6x + 11$:
$F(x) = 3x^2 + 11x + C$

Теперь посмотрим на предложенные варианты ответов:

1. $F(x) = 3x^2 + 11x + 0$. Это соответствует общему виду при $C=0$. ✅ Подходит.
2. $F(x) = 3x^2 + 11x - 3$. Это соответствует общему виду при $C=-3$. ✅ Подходит.
3. $f(x) = -6 + C$. Это не является первообразной. ❌ Не подходит.
4. $F(x) = 3x^2 + 6$. Отсутствует слагаемое $11x$. ❌ Не подходит.

В задании указано "Выберите не менее двух вариантов", и мы нашли два подходящих.

🎉 Ответ: Правильные варианты первообразных:
* $F(x) = 3x^2 + 11x + 0$
* $F(x) = 3x^2 + 11x - 3$