Нахождение первообразной для функции

Задание 1

Условие: Выберите первообразную для функции \(f(x) = 4x - 1\).

Решение:

Первообразной для функции \(f(x)\) называется функция \(F(x)\), производная которой равна \(f(x)\), то есть \(F'(x) = f(x)\).

Для данной функции \(f(x) = 4x - 1\), найдем функцию \(F(x)\), такую что \(F'(x) = 4x - 1\).

Рассмотрим предложенные варианты:

1. \(F(x) = 2x^2\). Найдем производную: \(F'(x) = \frac{d}{dx}(2x^2) = 2 \cdot 2x = 4x\).
   Это не совпадает с \(f(x) = 4x - 1\).

2. \(F(x) = 16x^2\). Найдем производную: \(F'(x) = \frac{d}{dx}(16x^2) = 16 \cdot 2x = 32x\).
   Это не совпадает с \(f(x) = 4x - 1\).

3. \(F(x) = 16x^2 - x\). Найдем производную: \(F'(x) = \frac{d}{dx}(16x^2 - x) = 16 \cdot 2x - 1 = 32x - 1\).
   Это не совпадает с \(f(x) = 4x - 1\).

4. \(F(x) = 2x^2 - x + 1\). Найдем производную: \(F'(x) = \frac{d}{dx}(2x^2 - x + 1) = 2 \cdot 2x - 1 + 0 = 4x - 1\).
   Это совпадает с \(f(x) = 4x - 1\).

Следовательно, первообразной для функции \(f(x) = 4x - 1\) является функция \(F(x) = 2x^2 - x + 1\).

Ответ: \(F(x) = 2x^2 - x + 1\)