Здравствуйте! Давайте решим задания по порядку.

Задание 4

$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{147}}$

Сначала упростим выражение, разделив числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$:
$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{147}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3 \cdot 49}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{49}} = \frac{1}{\sqrt{49}} = \frac{1}{7}$

Ответ: $\frac{1}{7}$

Задание 5

$\sqrt{36} \cdot 15 + \sqrt{225} \cdot 15$

Сначала вычислим корни:
$\sqrt{36} = 6$
$\sqrt{225} = 15$

Теперь подставим значения в выражение:
$6 \cdot 15 + 15 \cdot 15 = 90 + 225 = 315$

Ответ: $315$

Задание 5

$\sqrt{36} \cdot 15 + \sqrt{225} \cdot 15$

Сначала вычислим корни:
$\sqrt{36} = 6$
$\sqrt{225} = 15$

Теперь подставим значения в выражение:
$6 \cdot 15 + 15 \cdot 15 = 90 + 225 = 315$

Ответ: $315$

Задание 6

$\sqrt{81a} - \sqrt{36a} + \sqrt{49a}$

Сначала вычислим корни:
$\sqrt{81a} = \sqrt{81} \cdot \sqrt{a} = 9\sqrt{a}$
$\sqrt{36a} = \sqrt{36} \cdot \sqrt{a} = 6\sqrt{a}$
$\sqrt{49a} = \sqrt{49} \cdot \sqrt{a} = 7\sqrt{a}$

Теперь подставим значения в выражение:
$9\sqrt{a} - 6\sqrt{a} + 7\sqrt{a} = (9 - 6 + 7)\sqrt{a} = 10\sqrt{a}$

Ответ: $10\sqrt{a}$

Задание 7

$4\sqrt{45} + 9\sqrt{5}$

Сначала упростим $\sqrt{45}$:
$\sqrt{45} = \sqrt{9 \cdot 5} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{5} = 3\sqrt{5}$

Теперь подставим упрощенное значение в выражение:
$4(3\sqrt{5}) + 9\sqrt{5} = 12\sqrt{5} + 9\sqrt{5} = (12 + 9)\sqrt{5} = 21\sqrt{5}$

Ответ: $21\sqrt{5}$

Задание 2

Внесите множитель под знак корня: $2\sqrt{42}$

Чтобы внести множитель под знак корня, нужно возвести его в квадрат и умножить на подкоренное выражение:
$2\sqrt{42} = \sqrt{2^2 \cdot 42} = \sqrt{4 \cdot 42} = \sqrt{168}$

Ответ: $\sqrt{168}$

Задание 3

Вынесите множитель из-под знака корня: $\sqrt{224}$

Сначала разложим число 224 на простые множители:
$224 = 2 \cdot 112 = 2 \cdot 2 \cdot 56 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 28 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 14 = 2^5 \cdot 7$

Теперь вынесем множители из-под знака корня:
$\sqrt{224} = \sqrt{2^5 \cdot 7} = \sqrt{2^4 \cdot 2 \cdot 7} = \sqrt{(2^2)^2 \cdot 14} = 2^2\sqrt{14} = 4\sqrt{14}$

Ответ: $4\sqrt{14}$

Ассистент: Конечно! Сейчас я объясню решение задачи 7 максимально подробно.

Задание 7: $4\sqrt{45} + 9\sqrt{5}$

Цель: Упростить выражение, содержащее корни, путем приведения подобных слагаемых.

Шаг 1: Упрощение радикала $\sqrt{45}$

• Разложим число 45 на множители, чтобы выделить полный квадрат:
  $45 = 9 \cdot 5$
• Представим корень как произведение корней:
  $\sqrt{45} = \sqrt{9 \cdot 5} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{5}$
• Вычислим корень из 9:
  $\sqrt{9} = 3$
• Таким образом:
  $\sqrt{45} = 3\sqrt{5}$

Шаг 2: Подстановка упрощенного радикала в исходное выражение

• Заменим $\sqrt{45}$ на $3\sqrt{5}$ в исходном выражении:
  $4\sqrt{45} + 9\sqrt{5} = 4(3\sqrt{5}) + 9\sqrt{5}$

Шаг 3: Умножение и приведение подобных слагаемых

• Выполним умножение:
  $4(3\sqrt{5}) = 12\sqrt{5}$
• Теперь выражение выглядит так:
  $12\sqrt{5} + 9\sqrt{5}$
• Сложим подобные слагаемые (слагаемые с одинаковым радикалом $\sqrt{5}$):
  $12\sqrt{5} + 9\sqrt{5} = (12 + 9)\sqrt{5} = 21\sqrt{5}$

Ответ: $21\sqrt{5}$

Использованные правила и формулы:

1. Разложение числа на множители: $45 = 9 \cdot 5$
2. Свойство корней: $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$
3. Вычисление квадратного корня: $\sqrt{9} = 3$
4. Приведение подобных слагаемых: $a\sqrt{c} + b\sqrt{c} = (a + b)\sqrt{c}$