Решение задач по теории вероятностей и стереометрии

Rozwiążę oba zadania, ponieważ nie podałeś/aś konkretnych numerów.

Zadanie 31.

1. Zrozumienie problemu:
Mamy obliczyć prawdopodobieństwo wylosowania trzycyfrowej liczby o różnych cyfrach, której iloczyn cyfr jest podzielny przez 7.

2. Określenie przestrzeni zdarzeń elementarnych (wszystkich możliwych liczb):
* Liczby trzycyfrowe to liczby od 100 do 999.
* Cyfry muszą być różne.
* Pierwsza cyfra (setek) nie może być zerem.

Obliczmy, ile jest takich liczb:
* Dla cyfry setek mamy 9 możliwości (od 1 do 9).
* Dla cyfry dziesiątek mamy 9 możliwości (wszystkie cyfry od 0 do 9 oprócz tej użytej jako cyfra setek).
* Dla cyfry jedności mamy 8 możliwości (wszystkie cyfry od 0 do 9 oprócz tych dwóch już użytych).

Całkowita liczba trzycyfrowych liczb o różnych cyfrach wynosi: \(9 \times 9 \times 8 = 648\).
Jest to liczność naszej przestrzeni zdarzeń elementarnych \(|\Omega| = 648\).

3. Określenie zdarzenia sprzyjającego (liczby, których iloczyn cyfr jest podzielny przez 7):
Iloczyn cyfr jest podzielny przez 7, jeśli co najmniej jedna z cyfr jest równa 7.

Łatwiej będzie obliczyć zdarzenie przeciwne: ile jest trzycyfrowych liczb o różnych cyfrach, w których ŻADNA cyfra nie jest siódemką, a następnie odjąć tę liczbę od całkowitej liczby możliwości.

4. Obliczanie zdarzenia przeciwnego:
Chcemy policzyć liczby trzycyfrowe o różnych cyfrach, gdzie cyfry pochodzą ze zbioru \(\{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9\}\) (czyli bez cyfry 7).

• Dla cyfry setek mamy 8 możliwości (1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9 - bez 0 i 7).
• Dla cyfry dziesiątek mamy 8 możliwości (wszystkie cyfry ze zbioru \(\{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9\}\) oprócz tej użytej jako cyfra setek).
• Dla cyfry jedności mamy 7 możliwości (wszystkie cyfry ze zbioru \(\{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9\}\) oprócz tych dwóch już użytych).

Liczba trzycyfrowych liczb o różnych cyfrach, które NIE zawierają siódemki, wynosi: \(8 \times 8 \times 7 = 448\).

5. Obliczanie liczby zdarzeń sprzyjających:
Liczba trzycyfrowych liczb o różnych cyfrach, w których iloczyn cyfr jest podzielny przez 7 (czyli zawiera cyfrę 7) wynosi:
\(|\Omega| - (\text{liczba liczb bez siódemki}) = 648 - 448 = 200\).

6. Obliczanie prawdopodobieństwa:
Prawdopodobieństwo zdarzenia A (wylosowanie liczby, której iloczyn cyfr jest podzielny przez 7) wynosi:
\(P(A) = \frac{\text{Liczba zdarzeń sprzyjających}}{\text{Liczba wszystkich zdarzeń elementarnych}} = \frac{200}{648}\).

Możemy uprościć ten ułamek:
\(\frac{200}{648} = \frac{100}{324} = \frac{50}{162} = \frac{25}{81}\).

Odpowiedź: Prawdopodobieństwo wylosowania liczby, której iloczyn cyfr jest podzielny przez 7, wynosi \(\frac{25}{81}\).

Zadanie 32.

1. Zrozumienie problemu:
Mamy obliczyć objętość czworościanu foremnego, którego wszystkie krawędzie mają długość \(a=5\).

2. Wzór na objętość czworościanu foremnego:
Czworościan foremny to bryła, która ma cztery ściany w kształcie trójkątów równobocznych i wszystkie krawędzie równej długości.
Objętość czworościanu foremnego o krawędzi długości \(a\) wyraża się wzorem:
\(V = \frac{a^3\sqrt{2}}{12}\)

3. Podstawienie danych i obliczenia:
Dostaliśmy informację, że długość krawędzi \(a = 5\). Podstawiamy tę wartość do wzoru:
\(V = \frac{5^3\sqrt{2}}{12}\)
\(V = \frac{125\sqrt{2}}{12}\)

Odpowiedź: Objętość czworościanu foremnego o krawędzi długości 5 wynosi \(\frac{125\sqrt{2}}{12}\).