Задание 1

Условие: Какие из предложенных уравнений являются равносильными?

Решение:
Два уравнения называются равносильными, если они имеют одни и те же корни. Для определения равносильности уравнений, необходимо решить каждое из них.

1. Уравнение А: $5x = -20$
   Разделим обе части уравнения на 5:
   $x = \frac{-20}{5}$
   $x = -4$

2. Уравнение Б: $(x-3)(x+8) = 0$
   Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.
   $x-3 = 0$ или $x+8 = 0$
   $x = 3$ или $x = -8$

3. Уравнение В: $x-4 = -8$
   Прибавим 4 к обеим частям уравнения:
   $x = -8 + 4$
   $x = -4$

4. Уравнение Г: $3(x+8) = 1$
   Разделим обе части на 3:
   $x+8 = \frac{1}{3}$
   Вычтем 8 из обеих частей:
   $x = \frac{1}{3} - 8$
   $x = \frac{1}{3} - \frac{24}{3}$
   $x = -\frac{23}{3}$

Сравнивая корни уравнений, видим, что уравнения А и В имеют одинаковый корень $x = -4$.

Ответ: А и В

Задание 2

Условие: Из данных изображений выберите те, которые имеют ось симметрии.

Решение:
Ось симметрии — это прямая, которая делит фигуру на две симметричные части так, что при перегибании по этой прямой части фигуры совпадают.

• A) Звезда: У данной звезды есть несколько осей симметрии, проходящих через центр и вершины, а также через центр и середины сторон.
• B) Сегмент круга: Этот объект не имеет оси симметрии.
• C) Фигура, похожая на букву "Г": Эта фигура не имеет оси симметрии.
• D) Стрелки вверх и вниз: Эта композиция имеет вертикальную ось симметрии, проходящую между стрелками.
• E) Квадраты внутри квадратов: Эта фигура имеет несколько осей симметрии: горизонтальную, вертикальную и диагональные.
• F) Ноутбук: Изображение ноутбука имеет вертикальную ось симметрии, если считать его закрытым, но в данном изображении, скорее всего, подразумевается его форма, которая симметрична по вертикали.

В контексте заданий, где обычно рассматриваются простые геометрические фигуры, наиболее очевидными фигурами с осями симметрии являются A, D, E, F. Если считать, что изображение D представляет собой два симметрично расположенных элемента, то оно также имеет ось симметрии.

Ответ: А, D, E, F

Задание 3

Условие: Изобразите вектор $\vec{MP}$. Запишите начало и конец вектора.

Решение:
Вектор — это направленный отрезок. Он имеет начало и конец. Для изображения вектора $\vec{MP}$ нам нужно выбрать две точки на координатной плоскости, обозначить их как M (начало) и P (конец).

1. Выбор точек:

   • Пусть начало вектора M будет в точке с координатами $(x_M, y_M)$.
   • Пусть конец вектора P будет в точке с координатами $(x_P, y_P)$.

2. Изображение:
   На координатной плоскости отмечаем точку M, затем точку P. Проводим направленный отрезок от точки M к точке P. Стрелка на конце отрезка указывает направление вектора.

3. Запись начала и конца:

   • Начало вектора: точка M с координатами $(x_M, y_M)$.
   • Конец вектора: точка P с координатами $(x_P, y_P)$.

Пример:
Если выбрать M(1, 2) и P(4, 5), то вектор $\vec{MP}$ будет изображен как направленный отрезок от точки (1, 2) к точке (4, 5).
Начало вектора: M(1; 2)
Конец вектора: P(4; 5)

Ответ: Зависит от конкретного выбора точек M и P. Начало вектора - точка M, конец - точка P.

Задание 4

Условие: Плот за 2 часа по озеру и за 3 часа против течения реки проплывает такое же расстояние, что и за 2,5 часа по течению реки. Найдите собственную скорость плота, если скорость течения реки равна 0,6 км/ч.

Решение:
Обозначим:
* $v_с$ - собственная скорость плота (км/ч)
* $v_т$ - скорость течения реки (км/ч)

По условию, $v_т = 0.6$ км/ч.

Скорость плота по озеру (без течения) равна его собственной скорости: $v_{озеро} = v_с$.
Скорость плота против течения: $v_{против} = v_с - v_т$.
Скорость плота по течению: $v_{по \ течению} = v_с + v_т$.

Расстояние находится по формуле: $S = v \cdot t$, где $v$ - скорость, $t$ - время.

Из условия задачи следует, что расстояния равны:
Расстояние по озеру за 2 часа: $S_{озеро} = v_с \cdot 2$
Расстояние против течения за 3 часа: $S_{против} = (v_с - v_т) \cdot 3$
Расстояние по течению за 2.5 часа: $S_{по \ течению} = (v_с + v_т) \cdot 2.5$

По условию, $S_{озеро} = S_{против}$ и $S_{озеро} = S_{по \ течению}$.
Значит, можно составить уравнения, приравняв расстояния. Возьмем за основу равенство расстояния по озеру и расстояния против течения, а также расстояния по озеру и по течению.

1. $S_{озеро} = S_{против}$:
   $2v_с = (v_с - v_т) \cdot 3$
   $2v_с = 3v_с - 3v_т$
   $3v_т = 3v_с - 2v_с$
   $3v_т = v_с$

2. $S_{озеро} = S_{по \ течению}$:
   $2v_с = (v_с + v_т) \cdot 2.5$
   $2v_с = 2.5v_с + 2.5v_т$
   $2.5v_т = 2.5v_с - 2v_с$
   $2.5v_т = 0.5v_с$

Теперь у нас есть система уравнений. Мы можем использовать одно из них, так как они должны давать одинаковый результат, если условие задачи корректно.
Подставим известное значение $v_т = 0.6$ км/ч в первое уравнение:
$v_с = 3 \cdot v_т$
$v_с = 3 \cdot 0.6$
$v_с = 1.8$ км/ч

Проверим с помощью второго уравнения:
$0.5v_с = 2.5v_т$
$v_с = \frac{2.5}{0.5} v_т$
$v_с = 5 \cdot v_т$
$v_с = 5 \cdot 0.6$
$v_с = 3.0$ км/ч

Возникло противоречие. Проверим условие еще раз. "Плот за 2 часа по озеру и за 3 часа против течения реки проплывает такое же расстояние, что и за 2,5 часа по течению реки."
Это означает, что сумма расстояний, пройденных по озеру и против течения, равна расстоянию, пройденному по течению. Или же, что все три расстояния равны между собой. Фраза "такое же расстояние" обычно подразумевает равенство. Давайте перечитаем внимательно.

"Плот за 2 часа по озеру И за 3 часа против течения реки проплывает такое же расстояние, что и за 2,5 часа по течению реки."

Это можно интерпретировать двумя способами:
1. Расстояние по озеру за 2ч = Расстояние против течения за 3ч = Расстояние по течению за 2.5ч. (что мы проверили и получили противоречие).
2. (Расстояние по озеру за 2ч + Расстояние против течения за 3ч) = Расстояние по течению за 2.5ч.

Давайте попробуем вторую интерпретацию.
$S_{озеро} = 2v_с$
$S_{против} = 3(v_с - v_т)$
$S_{по \ течению} = 2.5(v_с + v_т)$

Уравнение: $2v_с + 3(v_с - v_т) = 2.5(v_с + v_т)$
Подставим $v_т = 0.6$:
$2v_с + 3(v_с - 0.6) = 2.5(v_с + 0.6)$
$2v_с + 3v_с - 1.8 = 2.5v_с + 1.5$
$5v_с - 1.8 = 2.5v_с + 1.5$
$5v_с - 2.5v_с = 1.5 + 1.8$
$2.5v_с = 3.3$
$v_с = \frac{3.3}{2.5} = \frac{33}{25} = 1.32$ км/ч.

Проверим, если первая интерпретация верна, возможно, в условии ошибка, или я неправильно понял.
"Плот за 2 часа по озеру и за 3 часа против течения реки проплывает такое же расстояние, что и за 2,5 часа по течению реки."
Это предложение составлено не совсем однозначно. Чаще всего "А и Б делают то же, что и В" означает, что А делает то же, что В, и Б делает то же, что В. Или же (А+Б) делают то же, что В.

Если допустить, что все три расстояния равны:
$2v_с = 3(v_с - 0.6) \implies 2v_с = 3v_с - 1.8 \implies v_с = 1.8$
$2v_с = 2.5(v_с + 0.6) \implies 2v_с = 2.5v_с + 1.5 \implies 0.5v_с = -1.5 \implies v_с = -3$ (что невозможно)

Значит, первая интерпретация ошибочна. Вторая интерпретация, где суммарное расстояние равно, выглядит более логичной в контексте решения.
$2v_с + 3(v_с - 0.6) = 2.5(v_с + 0.6)$
$2v_с + 3v_с - 1.8 = 2.5v_с + 1.5$
$5v_с - 1.8 = 2.5v_с + 1.5$
$2.5v_с = 3.3$
$v_с = 1.32$ км/ч.

Давайте еще раз попробуем первую интерпретацию, но с другими парами уравнений.
Расстояние против течения за 3 часа = Расстояние по течению за 2.5 часа:
$3(v_с - v_т) = 2.5(v_с + v_т)$
$3(v_с - 0.6) = 2.5(v_с + 0.6)$
$3v_с - 1.8 = 2.5v_с + 1.5$
$0.5v_с = 3.3$
$v_с = 6.6$ км/ч.

Если $v_с = 6.6$ км/ч, то:
$S_{озеро} = 6.6 \cdot 2 = 13.2$ км.
$S_{против} = (6.6 - 0.6) \cdot 3 = 6 \cdot 3 = 18$ км.
$S_{по \ течению} = (6.6 + 0.6) \cdot 2.5 = 7.2 \cdot 2.5 = 18$ км.

В этом случае, расстояние против течения за 3 часа равно расстоянию по течению за 2.5 часа. А расстояние по озеру за 2 часа (13.2 км) отличается.
Это значит, что фраза "Плот за 2 часа по озеру и за 3 часа против течения реки проплывает такое же расстояние, что и за 2,5 часа по течению реки" означает, что два отдельных условия про равные расстояния:
1. Расстояние, пройденное плотом по озеру за 2 часа, равно расстоянию, пройденному плотом по течению реки за 2,5 часа.
2. Расстояние, пройденное плотом против течения реки за 3 часа, равно расстоянию, пройденному плотом по течению реки за 2,5 часа.

Именно это мы получили в последней проверке.
1. $2v_с = 2.5(v_с + v_т)$
2. $3(v_с - v_т) = 2.5(v_с + v_т)$

Решим второе уравнение:
$3(v_с - 0.6) = 2.5(v_с + 0.6)$
$3v_с - 1.8 = 2.5v_с + 1.5$
$0.5v_с = 3.3$
$v_с = 6.6$ км/ч.

Теперь проверим, выполняется ли первое уравнение с этим значением $v_с$:
$2 \cdot 6.6 = 2.5(6.6 + 0.6)$
$13.2 = 2.5(7.2)$
$13.2 = 18$ (Неверно)

Такое противоречие говорит о том, что условие задачи, скорее всего, сформулировано как:
"Расстояние, пройденное плотом по озеру за 2 часа, РАВНО расстоянию, пройденному плотом против течения за 3 часа. И это же расстояние равно расстоянию, пройденному плотом по течению реки за 2,5 часа."
Это первая интерпретация, которую мы проверили.

Если предположить, что "Плот за 2 часа по озеру И за 3 часа против течения реки" означает, что суммарное расстояние, пройденное за эти два отрезка времени, равно расстоянию, пройденному за 2.5 часа по течению.
$S_{озеро} + S_{против} = S_{по \ течению}$
$2v_с + 3(v_с - v_т) = 2.5(v_с + v_т)$
$2v_с + 3(v_с - 0.6) = 2.5(v_с + 0.6)$
$2v_с + 3v_с - 1.8 = 2.5v_с + 1.5$
$5v_с - 1.8 = 2.5v_с + 1.5$
$2.5v_с = 3.3$
$v_с = \frac{3.3}{2.5} = 1.32$ км/ч.

Проверим эту интерпретацию.
$v_с = 1.32$ км/ч, $v_т = 0.6$ км/ч.
$S_{озеро} = 1.32 \cdot 2 = 2.64$ км.
$S_{против} = (1.32 - 0.6) \cdot 3 = 0.72 \cdot 3 = 2.16$ км.
$S_{по \ течению} = (1.32 + 0.6) \cdot 2.5 = 1.92 \cdot 2.5 = 4.8$ км.

Сумма $S_{озеро} + S_{против} = 2.64 + 2.16 = 4.8$ км.
Это равно $S_{по \ течению}$.
Таким образом, вторая интерпретация условия ("Сумма расстояний равна расстоянию") оказалась верной.

Ответ: Собственная скорость плота равна 1.32 км/ч.

Задание 5

Условие: Решите уравнение: $7|x|+6=3|x|+12$

Решение:
Это уравнение содержит модуль $|x|$. Для его решения нужно сгруппировать слагаемые с модулем и свободные члены.

1. Перенесем слагаемые с $|x|$ в одну часть уравнения, а свободные члены — в другую.
   $7|x| - 3|x| = 12 - 6$

2. Выполним вычитание:
   $(7-3)|x| = 6$
   $4|x| = 6$

3. Теперь выразим $|x|$:
   $|x| = \frac{6}{4}$
   $|x| = \frac{3}{2}$
   $|x| = 1.5$

4. Уравнение $|x| = a$, где $a > 0$, имеет два корня: $x = a$ и $x = -a$.
   В нашем случае $a = 1.5$.
   Следовательно, $x = 1.5$ или $x = -1.5$.

Ответ: $x = 1.5$, $x = -1.5$

Задание 6

Условие: Приведите неравенство к виду $kx \ge b$ или $kx \le b$:
$\frac{4x+1}{3} - x \ge \frac{x+1}{2} - \frac{x-3}{4}$

Решение:
Для приведения неравенства к заданному виду, необходимо раскрыть скобки, привести подобные слагаемые и сгруппировать их таким образом, чтобы слева остались слагаемые с $x$, а справа — свободные числа.

1. Найдем общий знаменатель для всех дробей в неравенстве. Общий знаменатель для 3, 2 и 4 равен 12.
   Умножим обе части неравенства на 12. При умножении на положительное число знак неравенства не меняется.

   $12 \cdot \left( \frac{4x+1}{3} - x \right) \ge 12 \cdot \left( \frac{x+1}{2} - \frac{x-3}{4} \right)$

2. Раскроем скобки и выполним умножение:
   $12 \cdot \frac{4x+1}{3} - 12 \cdot x \ge 12 \cdot \frac{x+1}{2} - 12 \cdot \frac{x-3}{4}$
   $4(4x+1) - 12x \ge 6(x+1) - 3(x-3)$

3. Раскроем внутренние скобки:
   $16x + 4 - 12x \ge 6x + 6 - 3x + 9$

4. Приведем подобные слагаемые в каждой части неравенства:
   Левая часть: $16x - 12x + 4 = 4x + 4$
   Правая часть: $6x - 3x + 6 + 9 = 3x + 15$

   Неравенство примет вид:
   $4x + 4 \ge 3x + 15$

5. Сгруппируем слагаемые с $x$ в левой части и свободные члены в правой части.
   Перенесем $3x$ в левую часть (со сменой знака) и $4$ в правую часть (со сменой знака):
   $4x - 3x \ge 15 - 4$

6. Выполним вычитание:
   $x \ge 11$

Мы получили неравенство в виде $kx \ge b$, где $k=1$ и $b=11$.

Ответ: $x \ge 11$

Задание 7

Условие: Отметьте на координатной плоскости точки M (-4;-4), N (-8;2), K (3;2) и P (-1;-5).
1. Проведите прямые MN и KP.
2. Найдите координаты точки пересечения прямых MN и KP.
3. Найдите координаты точки пересечения прямой MN с осью абсцисс.
4. Найдите координаты точки пересечения прямой KP с осью ординат.

Решение:

1. Отметка точек и проведение прямых:
Отмечаем точки на координатной плоскости:
* M (-4; -4)
* N (-8; 2)
* K (3; 2)
* P (-1; -5)

Проводим прямую через точки M и N.
Проводим прямую через точки K и P.

2. Нахождение координат точки пересечения прямых MN и KP:

Сначала найдем уравнения прямых MN и KP.

• Уравнение прямой MN:
  Найдем угловой коэффициент $k_{MN} = \frac{y_N - y_M}{x_N - x_M} = \frac{2 - (-4)}{-8 - (-4)} = \frac{2+4}{-8+4} = \frac{6}{-4} = -\frac{3}{2}$.
  Используем уравнение прямой $y - y_M = k_{MN}(x - x_M)$:
  $y - (-4) = -\frac{3}{2}(x - (-4))$
  $y + 4 = -\frac{3}{2}(x + 4)$
  $y + 4 = -\frac{3}{2}x - 6$
  $y = -\frac{3}{2}x - 10$

• Уравнение прямой KP:
  Найдем угловой коэффициент $k_{KP} = \frac{y_P - y_K}{x_P - x_K} = \frac{-5 - 2}{-1 - 3} = \frac{-7}{-4} = \frac{7}{4}$.
  Используем уравнение прямой $y - y_K = k_{KP}(x - x_K)$:
  $y - 2 = \frac{7}{4}(x - 3)$
  $y - 2 = \frac{7}{4}x - \frac{21}{4}$
  $y = \frac{7}{4}x - \frac{21}{4} + 2$
  $y = \frac{7}{4}x - \frac{21}{4} + \frac{8}{4}$
  $y = \frac{7}{4}x - \frac{13}{4}$

Теперь приравняем уравнения прямых, чтобы найти точку их пересечения:
$-\frac{3}{2}x - 10 = \frac{7}{4}x - \frac{13}{4}$
Умножим обе части на 4, чтобы избавиться от дробей:
$4 \cdot (-\frac{3}{2}x) - 4 \cdot 10 = 4 \cdot (\frac{7}{4}x) - 4 \cdot (\frac{13}{4})$
$-6x - 40 = 7x - 13$
Перенесем $x$ в правую часть, а числа — в левую:
$-40 + 13 = 7x + 6x$
$-27 = 13x$
$x = -\frac{27}{13}$

Теперь найдем $y$, подставив $x$ в одно из уравнений прямой. Возьмем уравнение прямой MN:
$y = -\frac{3}{2}x - 10$
$y = -\frac{3}{2} \left(-\frac{27}{13}\right) - 10$
$y = \frac{81}{26} - 10$
$y = \frac{81}{26} - \frac{260}{26}$
$y = -\frac{179}{26}$

Координаты точки пересечения прямых MN и KP: $(-\frac{27}{13}; -\frac{179}{26})$.

3. Нахождение координат точки пересечения прямой MN с осью абсцисс:
Ось абсцисс — это ось $x$. На оси абсцисс $y=0$.
Используем уравнение прямой MN: $y = -\frac{3}{2}x - 10$.
Подставим $y=0$:
$0 = -\frac{3}{2}x - 10$
$\frac{3}{2}x = -10$
$x = -10 \cdot \frac{2}{3}$
$x = -\frac{20}{3}$

Координаты точки пересечения прямой MN с осью абсцисс: $(-\frac{20}{3}; 0)$.

4. Нахождение координат точки пересечения прямой KP с осью ординат:
Ось ординат — это ось $y$. На оси ординат $x=0$.
Используем уравнение прямой KP: $y = \frac{7}{4}x - \frac{13}{4}$.
Подставим $x=0$:
$y = \frac{7}{4}(0) - \frac{13}{4}$
$y = -\frac{13}{4}$

Координаты точки пересечения прямой KP с осью ординат: $(0; -\frac{13}{4})$.

Ответ:
2. Координаты точки пересечения прямых MN и KP: $(-\frac{27}{13}; -\frac{179}{26})$.
3. Координаты точки пересечения прямой MN с осью абсцисс: $(-\frac{20}{3}; 0)$.
4. Координаты точки пересечения прямой KP с осью ординат: $(0; -\frac{13}{4})$.