Язык задания: Russian.

Задание 1

Преобразовать выражение в тождественно равное ему:

$\frac{\frac{2}{b} + \frac{3}{a} + \frac{1}{ab}}{2a - 3b + 1} : \frac{a^2}{b}$

Решение:

1. Приведем дроби в числителе к общему знаменателю:

$\frac{2}{b} + \frac{3}{a} + \frac{1}{ab} = \frac{2a}{ab} + \frac{3b}{ab} + \frac{1}{ab} = \frac{2a + 3b + 1}{ab}$

2. Запишем исходное выражение с упрощенным числителем:

$\frac{\frac{2a + 3b + 1}{ab}}{2a - 3b + 1} : \frac{a^2}{b}$

3. Преобразуем деление дробей в умножение на обратную дробь:

$\frac{2a + 3b + 1}{ab} \cdot \frac{1}{2a - 3b + 1} : \frac{a^2}{b} = \frac{2a + 3b + 1}{ab(2a - 3b + 1)} : \frac{a^2}{b}$

$\frac{2a + 3b + 1}{ab(2a - 3b + 1)} \cdot \frac{b}{a^2}$

4. Сократим b:

$\frac{2a + 3b + 1}{a(2a - 3b + 1)} \cdot \frac{1}{a^2} = \frac{2a + 3b + 1}{a^3(2a - 3b + 1)}$

Ответ:

$\frac{2a + 3b + 1}{a^3(2a - 3b + 1)}$

Задание 1: Подробное решение

Преобразовать выражение в тождественно равное ему:

$\frac{\frac{2}{b} + \frac{3}{a} + \frac{1}{ab}}{2a - 3b + 1} : \frac{a^2}{b}$

Шаг 1: Упрощение числителя сложной дроби

• Цель: Сложить дроби $\frac{2}{b}$, $\frac{3}{a}$ и $\frac{1}{ab}$. Для этого нужно привести их к общему знаменателю.
• Нахождение общего знаменателя: Общий знаменатель для $b$, $a$ и $ab$ является $ab$.
• Приведение дробей к общему знаменателю:
  • $\frac{2}{b} = \frac{2 \cdot a}{b \cdot a} = \frac{2a}{ab}$
  • $\frac{3}{a} = \frac{3 \cdot b}{a \cdot b} = \frac{3b}{ab}$
  • $\frac{1}{ab}$ уже имеет нужный знаменатель.
• Сложение дробей:
  $\frac{2a}{ab} + \frac{3b}{ab} + \frac{1}{ab} = \frac{2a + 3b + 1}{ab}$

Шаг 2: Запись исходного выражения с упрощенным числителем

Теперь исходное выражение выглядит так:

$\frac{\frac{2a + 3b + 1}{ab}}{2a - 3b + 1} : \frac{a^2}{b}$

Шаг 3: Упрощение деления сложной дроби

• Представление сложной дроби как деления: Сложную дробь можно представить как деление числителя на знаменатель:
  $\frac{\frac{2a + 3b + 1}{ab}}{2a - 3b + 1} = \frac{2a + 3b + 1}{ab} : (2a - 3b + 1)$
• Запись деления в виде умножения на обратную дробь: Деление на выражение эквивалентно умножению на обратную величину:
  $\frac{2a + 3b + 1}{ab} : (2a - 3b + 1) = \frac{2a + 3b + 1}{ab} \cdot \frac{1}{2a - 3b + 1} = \frac{2a + 3b + 1}{ab(2a - 3b + 1)}$

Теперь исходное выражение выглядит так:

$\frac{2a + 3b + 1}{ab(2a - 3b + 1)} : \frac{a^2}{b}$

Шаг 4: Преобразование деления дробей в умножение на обратную дробь

• Замена деления умножением на обратную дробь:
  $\frac{2a + 3b + 1}{ab(2a - 3b + 1)} : \frac{a^2}{b} = \frac{2a + 3b + 1}{ab(2a - 3b + 1)} \cdot \frac{b}{a^2}$

Шаг 5: Сокращение дроби

• Сокращение общего множителя: В числителе и знаменателе есть общий множитель $b$. Сократим его:
  $\frac{2a + 3b + 1}{a(2a - 3b + 1)} \cdot \frac{1}{a^2}$

Шаг 6: Запись окончательного результата

• Перемножение дробей:
  $\frac{2a + 3b + 1}{a(2a - 3b + 1)a^2} = \frac{2a + 3b + 1}{a^3(2a - 3b + 1)}$

Ответ:

$\frac{2a + 3b + 1}{a^3(2a - 3b + 1)}$

Использованные правила и формулы:

1. Приведение дробей к общему знаменателю: $\frac{a}{c} + \frac{b}{c} = \frac{a+b}{c}$
2. Деление дробей: $\frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c}$
3. Умножение дробей: $\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd}$
4. Сокращение дробей: $\frac{ac}{bc} = \frac{a}{b}$ (если $c \neq 0$)