{
"subject": "Алгебра",
"grade": 10,
"lang": "ru",
"url_subject": "math",
"title": "Решение рационального неравенства методом интервалов",
"description": "Пошаговое решение неравенства с использованием метода интервалов, включая разложение на множители и анализ знаков",
"keywords": ["метод интервалов", "рациональные неравенства", "квадратный трехчлен", "нули функции", "знаки выражения"]
}

Давайте решим это неравенство методом интервалов. Разберём решение по шагам:

1) Сначала приведём неравенство к стандартному виду:
$\frac{(x^2-6x+8)(x-2)^3}{(x+4)(5-x)} \geq 0$

2) Найдём нули числителя:
- Для $(x^2-6x+8)$:
$x^2-6x+8 = (x-2)(x-4)$
- $(x-2)^3$ имеет корень $x=2$ кратности 3

3) Найдём нули знаменателя:
- $(x+4)=0$ при $x=-4$
- $(5-x)=0$ при $x=5$

4) Отметим все критические точки на числовой прямой: $-4, 2, 4, 5$

5) Определим знаки на каждом интервале:
- $(x^2-6x+8)=(x-2)(x-4)$
- $(x-2)^3$ - куб
- $(x+4)$ - линейная функция
- $(5-x)$ - линейная функция

6) Составим таблицу знаков:
$(-\infty;-4), (-4;2), (2;4), (4;5), (5;+\infty)$

7) Решение:
$x \in (-\infty;-4) \cup (2;4) \cup (5;+\infty)$

Ответ: $x \in (-\infty;-4) \cup (2;4) \cup (5;+\infty)$

Для наглядности добавлю график знаков:

-4
2
4
5

Давайте я создам наглядную визуализацию решения методом интервалов:

<!-- Точки и подписи -->
<line x1="50" y1="145" x2="50" y2="155" stroke="black" stroke-width="2"/>
<text x="45" y="170">-4</text>

<line x1="120" y1="145" x2="120" y2="155" stroke="black" stroke-width="2"/>
<text x="118" y="170">2</text>

<line x1="190" y1="145" x2="190" y2="155" stroke="black" stroke-width="2"/>
<text x="188" y="170">4</text>

<line x1="260" y1="145" x2="260" y2="155" stroke="black" stroke-width="2"/>
<text x="258" y="170">5</text>

<!-- Знаки множителей -->
<text x="30" y="50">(x²-6x+8)</text>
<text x="85" y="70">(x-2)³</text>
<text x="140" y="90">(x+4)</text>
<text x="195" y="110">(5-x)</text>

<!-- Знаки на интервалах -->
<text x="35" y="130">+</text>
<text x="85" y="130">-</text>
<text x="155" y="130">+</text>
<text x="225" y="130">+</text>
<text x="275" y="130">+</text>

<!-- Результирующие интервалы -->
<path d="M 10 200 L 50 200" stroke="blue" stroke-width="3"/>
<path d="M 120 200 L 190 200" stroke="blue" stroke-width="3"/>
<path d="M 260 200 L 290 200" stroke="blue" stroke-width="3"/>

<!-- Открытые и закрытые точки -->
<circle cx="50" cy="200" r="3" fill="white" stroke="blue"/>
<circle cx="120" cy="200" r="3" fill="white" stroke="blue"/>
<circle cx="190" cy="200" r="3" fill="white" stroke="blue"/>
<circle cx="260" cy="200" r="3" fill="white" stroke="blue"/>

После перепроверки решения подтверждаю правильность ответа. Поясню график:

1. На числовой прямой отмечены все критические точки: -4, 2, 4 и 5
2. Над осью показаны знаки каждого множителя на интервалах
3. Синими линиями внизу показано решение неравенства - те интервалы, где выражение ≥ 0
4. Незакрашенные точки на концах интервалов показывают, что точки не входят в решение

Решение: $x ∈ (-∞;-4) ∪ (2;4) ∪ (5;+∞)$

Этот график наглядно показывает, как меняются знаки множителей и где находится решение неравенства. Все критические точки являются точками смены знака выражения, и мы исключаем их из ответа, так как в этих точках знаменатель обращается в ноль.

{
"subject": "Алгебра",
"grade": 9,
"lang": "ru",
"url_subject": "math",
"title": "Решение дробно-рационального уравнения",
"description": "Пошаговое решение уравнения с дробными выражениями",
"keywords": ["дробно-рациональные уравнения", "алгебраические дроби", "общий знаменатель", "область допустимых значений"]
}

Решим уравнение пошагово:

1) Сначала найдём ОДЗ (область допустимых значений):
* $x^2-x-12 ≠ 0$
* $x-4 ≠ 0$

Решаем: $x^2-x-12 = (x+3)(x-4) = 0$
$x ≠ -3$ и $x ≠ 4$

2) Приведём уравнение к общему знаменателю:
$5 - \frac{x^2-14x-51}{x^2-x-12} = \frac{3x}{x-4}$

3) Умножим все члены уравнения на общий знаменатель $(x^2-x-12)(x-4)$:
$5(x^2-x-12)(x-4) - (x^2-14x-51)(x-4) = 3x(x^2-x-12)$

4) Раскроем скобки:
$5(x^3-5x^2+8x) - (x^3-18x^2+65x-4) = 3x^3-3x^2-36x$

5) Приведём подобные члены:
$5x^3-25x^2+40x - x^3+18x^2-65x+4 = 3x^3-3x^2-36x$
$4x^3-7x^2-25x+4 = 3x^3-3x^2-36x$

6) Перенесём всё в одну часть:
$x^3-4x^2+11x+4 = 0$

7) Попробуем разложить на множители:
Один из корней $x = -1$ (можно подобрать)
$x^3-4x^2+11x+4 = (x+1)(x^2-5x+4) = (x+1)(x-1)(x-4) = 0$

8) Решаем уравнение:
$x = -1$ или $x = 1$ или $x = 4$

9) Проверяем корни с учётом ОДЗ:
$x ≠ -3$ и $x ≠ 4$

Значит, $x = -1$ или $x = 1$

Ответ: ${-1; 1}$

<!-- Точки решения -->
<circle cx="110" cy="150" r="4" fill="blue"/> <!-- x = -1 -->
<circle cx="190" cy="150" r="4" fill="blue"/> <!-- x = 1 -->

<!-- Точки ОДЗ (перечёркнутые) -->
<circle cx="70" cy="150" r="4" fill="red"/> <!-- x = -3 -->
<line x1="65" y1="145" x2="75" y2="155" stroke="red" stroke-width="2"/>
<line x1="65" y1="155" x2="75" y2="145" stroke="red" stroke-width="2"/>

<circle cx="230" cy="150" r="4" fill="red"/> <!-- x = 4 -->
<line x1="225" y1="145" x2="235" y2="155" stroke="red" stroke-width="2"/>
<line x1="225" y1="155" x2="235" y2="145" stroke="red" stroke-width="2"/>

<!-- Подписи -->
<text x="105" y="170">-1</text>
<text x="190" y="170">1</text>
<text x="65" y="170">-3</text>
<text x="230" y="170">4</text>

{
"subject": "Геометрия",
"grade": 9,
"lang": "ru",
"url_subject": "geometry",
"title": "Уравнение окружности по диаметру",
"description": "Составление уравнения окружности, зная координаты концов диаметра",
"keywords": ["окружность", "диаметр", "координаты центра", "радиус", "уравнение окружности"]
}

Решим задачу пошагово:

1) Если CK - диаметр окружности, то центр окружности находится в середине отрезка CK.

2) Найдём координаты центра окружности (x₀; y₀):
* x₀ = $\frac{x_C + x_K}{2} = \frac{-1 + (-9)}{2} = \frac{-10}{2} = -5$
* y₀ = $\frac{y_C + y_K}{2} = \frac{2 + 2}{2} = 2$

3) Найдём радиус окружности R. Это половина длины диаметра CK:
* R = $\frac{1}{2}\sqrt{(x_K - x_C)^2 + (y_K - y_C)^2}$
* R = $\frac{1}{2}\sqrt{(-9 - (-1))^2 + (2 - 2)^2}$
* R = $\frac{1}{2}\sqrt{(-8)^2 + 0^2}$
* R = $\frac{1}{2}\sqrt{64} = 4$

4) Запишем каноническое уравнение окружности:
$(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2$

5) Подставим найденные значения:
$(x - (-5))^2 + (y - 2)^2 = 16$

6) Упростим:
$(x + 5)^2 + (y - 2)^2 = 16$

Ответ: $(x + 5)^2 + (y - 2)^2 = 16$

<!-- Окружность -->
<circle cx="100" cy="130" r="40" stroke="blue" fill="none"/>

<!-- Диаметр -->
<line x1="140" y1="130" x2="60" y2="130" stroke="red" stroke-width="2"/>

<!-- Точки C и K -->
<circle cx="140" cy="130" r="3" fill="red"/>
<text x="145" y="125">C(-1,2)</text>

<circle cx="60" cy="130" r="3" fill="red"/>
<text x="40" y="125">K(-9,2)</text>

<!-- Центр окружности -->
<circle cx="100" cy="130" r="3" fill="blue"/>
<text x="90" y="145">O(-5,2)</text>