Решение задач по геометрии: правильные многоугольники и окружности

Задание 1. Внешний угол правильного многоугольника в 6 раз меньше его внутреннего угла

Дано:
- Внешний угол правильного многоугольника в 6 раз меньше его внутреннего угла
- Сторона многоугольника равна 3 см

Найти: периметр многоугольника

Решение:

1) Обозначим количество сторон правильного многоугольника как \(n\).

2) Найдем связь между внутренним и внешним углами многоугольника:
- Внутренний угол правильного \(n\)-угольника: \(\alpha = \frac{(n-2)\cdot 180°}{n}\)
- Внешний угол правильного \(n\)-угольника: \(\beta = 180° - \alpha = 180° - \frac{(n-2)\cdot 180°}{n} = \frac{180° \cdot n - (n-2)\cdot 180°}{n} = \frac{180° \cdot 2}{n} = \frac{360°}{n}\)

3) По условию, внешний угол в 6 раз меньше внутреннего:
\(\beta = \frac{\alpha}{6}\)

4) Подставим выражения для углов:
\(\frac{360°}{n} = \frac{1}{6} \cdot \frac{(n-2)\cdot 180°}{n}\)
\(\frac{360°}{n} = \frac{(n-2)\cdot 180°}{6n}\)
\(360° \cdot 6 = (n-2)\cdot 180°\)
\(2160° = 180° \cdot n - 360°\)
\(2160° + 360° = 180° \cdot n\)
\(2520° = 180° \cdot n\)
\(n = \frac{2520°}{180°} = 14\)

5) Итак, наш многоугольник имеет 14 сторон. Найдем его периметр:
\(P = n \cdot a = 14 \cdot 3 = 42\) см

Ответ: периметр правильного многоугольника равен 42 см.

Задание 2. Площадь круга, вписанного в правильный треугольник

Дано:
- Площадь круга, вписанного в правильный треугольник, равна \(8\pi\) см\(^2\)

Найти: длину окружности, описанной около треугольника

Решение:

1) Найдем радиус вписанной окружности \(r\).
Площадь круга: \(S_{круга} = \pi r^2\)
По условию: \(\pi r^2 = 8\pi\)
Отсюда: \(r^2 = 8\)
\(r = 2\sqrt{2}\) см

2) Для правильного треугольника связь между радиусом вписанной окружности \(r\), стороной треугольника \(a\) и радиусом описанной окружности \(R\) выражается формулами:
- \(r = \frac{a}{2\sqrt{3}}\) (радиус вписанной окружности)
- \(R = \frac{a}{\sqrt{3}}\) (радиус описанной окружности)

3) Выразим сторону треугольника через радиус вписанной окружности:
\(r = \frac{a}{2\sqrt{3}}\)
\(a = 2r\sqrt{3} = 2 \cdot 2\sqrt{2} \cdot \sqrt{3} = 4\sqrt{6}\) см

4) Теперь найдем радиус описанной окружности:
\(R = \frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{6}}{\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{6} \cdot \sqrt{3}}{3} = \frac{4\sqrt{18}}{3} = \frac{4 \cdot 3\sqrt{2}}{3} = 4\sqrt{2}\) см

5) Длина окружности, описанной около треугольника:
\(C = 2\pi R = 2\pi \cdot 4\sqrt{2} = 8\pi\sqrt{2}\) см

Ответ: длина окружности, описанной около треугольника, равна \(8\pi\sqrt{2}\) см.