Задание 1. Внешний угол правильного многоугольника в 6 раз меньше его внутреннего угла

Дано:
- Внешний угол правильного многоугольника в 6 раз меньше его внутреннего угла
- Сторона многоугольника равна 3 см

Найти: периметр многоугольника

Решение:

1) Обозначим количество сторон правильного многоугольника как $n$.

2) Найдем связь между внутренним и внешним углами многоугольника:
- Внутренний угол правильного $n$-угольника: $\alpha = \frac{(n-2)\cdot 180°}{n}$
- Внешний угол правильного $n$-угольника: $\beta = 180° - \alpha = 180° - \frac{(n-2)\cdot 180°}{n} = \frac{180° \cdot n - (n-2)\cdot 180°}{n} = \frac{180° \cdot 2}{n} = \frac{360°}{n}$

3) По условию, внешний угол в 6 раз меньше внутреннего:
$\beta = \frac{\alpha}{6}$

4) Подставим выражения для углов:
$\frac{360°}{n} = \frac{1}{6} \cdot \frac{(n-2)\cdot 180°}{n}$
$\frac{360°}{n} = \frac{(n-2)\cdot 180°}{6n}$
$360° \cdot 6 = (n-2)\cdot 180°$
$2160° = 180° \cdot n - 360°$
$2160° + 360° = 180° \cdot n$
$2520° = 180° \cdot n$
$n = \frac{2520°}{180°} = 14$

5) Итак, наш многоугольник имеет 14 сторон. Найдем его периметр:
$P = n \cdot a = 14 \cdot 3 = 42$ см

Ответ: периметр правильного многоугольника равен 42 см.

Задание 2. Площадь круга, вписанного в правильный треугольник

Дано:
- Площадь круга, вписанного в правильный треугольник, равна $8\pi$ см$^2$

Найти: длину окружности, описанной около треугольника

Решение:

1) Найдем радиус вписанной окружности $r$.
Площадь круга: $S_{круга} = \pi r^2$
По условию: $\pi r^2 = 8\pi$
Отсюда: $r^2 = 8$
$r = 2\sqrt{2}$ см

2) Для правильного треугольника связь между радиусом вписанной окружности $r$, стороной треугольника $a$ и радиусом описанной окружности $R$ выражается формулами:
- $r = \frac{a}{2\sqrt{3}}$ (радиус вписанной окружности)
- $R = \frac{a}{\sqrt{3}}$ (радиус описанной окружности)

3) Выразим сторону треугольника через радиус вписанной окружности:
$r = \frac{a}{2\sqrt{3}}$
$a = 2r\sqrt{3} = 2 \cdot 2\sqrt{2} \cdot \sqrt{3} = 4\sqrt{6}$ см

4) Теперь найдем радиус описанной окружности:
$R = \frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{6}}{\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{6} \cdot \sqrt{3}}{3} = \frac{4\sqrt{18}}{3} = \frac{4 \cdot 3\sqrt{2}}{3} = 4\sqrt{2}$ см

5) Длина окружности, описанной около треугольника:
$C = 2\pi R = 2\pi \cdot 4\sqrt{2} = 8\pi\sqrt{2}$ см

Ответ: длина окружности, описанной около треугольника, равна $8\pi\sqrt{2}$ см.