Решим систему уравнений способом сложения:

Задание 1

$\begin{cases}
7x + 2y = 9, \
5x + 2y = 11.
\end{cases}$

1. Вычтем из первого уравнения второе, чтобы исключить переменную $y$:
   $(7x + 2y) - (5x + 2y) = 9 - 11$
   $2x = -2$

2. Найдем значение $x$:
   $x = \frac{-2}{2} = -1$

3. Подставим найденное значение $x$ в первое уравнение, чтобы найти $y$:
   $7(-1) + 2y = 9$
   $-7 + 2y = 9$
   $2y = 9 + 7$
   $2y = 16$

4. Найдем значение $y$:
   $y = \frac{16}{2} = 8$

Ответ: $x = -1$, $y = 8$

Решим систему уравнений способом сложения:

Задание 2

$\begin{cases}
9x - 2y = -17, \
x - 2y = 7.
\end{cases}$

1. Вычтем из первого уравнения второе, чтобы исключить переменную $y$:
   $(9x - 2y) - (x - 2y) = -17 - 7$
   $8x = -24$

2. Найдем значение $x$:
   $x = \frac{-24}{8} = -3$

3. Подставим найденное значение $x$ во второе уравнение, чтобы найти $y$:
   $-3 - 2y = 7$
   $-2y = 7 + 3$
   $-2y = 10$

4. Найдем значение $y$:
   $y = \frac{10}{-2} = -5$

Ответ: $x = -3$, $y = -5$

Решим систему уравнений способом сложения:

Задание 3

$\begin{cases}
x + 7y = 19, \
x + 5y = 13.
\end{cases}$

1. Вычтем из первого уравнения второе, чтобы исключить переменную $x$:
   $(x + 7y) - (x + 5y) = 19 - 13$
   $2y = 6$

2. Найдем значение $y$:
   $y = \frac{6}{2} = 3$

3. Подставим найденное значение $y$ в первое уравнение, чтобы найти $x$:
   $x + 7(3) = 19$
   $x + 21 = 19$
   $x = 19 - 21$

4. Найдем значение $x$:
   $x = -2$

Ответ: $x = -2$, $y = 3$

Решим систему уравнений способом сложения:

Задание 4

$\begin{cases}
5x - 2y = 15, \
2x - y = 7.
\end{cases}$

1. Умножим второе уравнение на -2:
   $\begin{cases}
   5x - 2y = 15, \
   -4x + 2y = -14.
   \end{cases}$

2. Сложим первое и второе уравнения, чтобы исключить переменную $y$:
   $(5x - 2y) + (-4x + 2y) = 15 - 14$
   $x = 1$

3. Подставим найденное значение $x$ во второе уравнение, чтобы найти $y$:
   $2(1) - y = 7$
   $2 - y = 7$
   $-y = 7 - 2$
   $-y = 5$

4. Найдем значение $y$:
   $y = -5$

Ответ: $x = 1$, $y = -5$

Задание 3: Решение системы уравнений методом сложения

Дана система уравнений:

$\begin{cases}
x + 7y = 19, \
x + 5y = 13.
\end{cases}$

Цель: Найти значения переменных $x$ и $y$, которые одновременно удовлетворяют обоим уравнениям.

Метод решения: Метод сложения (в данном случае, вычитания).

Шаги решения:

1. Исключение переменной $x$:
   Чтобы исключить переменную $x$, вычтем второе уравнение из первого. Это позволит избавиться от $x$ и получить уравнение только с переменной $y$.
   $(x + 7y) - (x + 5y) = 19 - 13$
   $x + 7y - x - 5y = 6$
   $2y = 6$

2. Нахождение значения $y$:
   Разделим обе части уравнения $2y = 6$ на 2, чтобы найти значение $y$.
   $y = \frac{6}{2} = 3$

3. Подстановка значения $y$ в одно из уравнений:
   Подставим найденное значение $y = 3$ в первое уравнение $x + 7y = 19$, чтобы найти значение $x$.
   $x + 7(3) = 19$
   $x + 21 = 19$

4. Нахождение значения $x$:
   Вычтем 21 из обеих частей уравнения $x + 21 = 19$, чтобы найти значение $x$.
   $x = 19 - 21$
   $x = -2$

Проверка решения:

Подставим найденные значения $x = -2$ и $y = 3$ в оба уравнения, чтобы убедиться, что они удовлетворяют обоим уравнениям.

• Первое уравнение: $x + 7y = 19$
  $-2 + 7(3) = -2 + 21 = 19$ (верно)
• Второе уравнение: $x + 5y = 13$
  $-2 + 5(3) = -2 + 15 = 13$ (верно)

Ответ: $x = -2$, $y = 3$

Правила, использованные при решении:

• Правило вычитания уравнений: Если из одного уравнения вычесть другое, решение системы не изменится.
• Правило подстановки: Если найдено значение одной переменной, его можно подставить в любое из уравнений системы для нахождения значения другой переменной.

Задание 2: Решение системы уравнений методом сложения (вычитания)

Дана система уравнений:

$\begin{cases}
9x - 2y = -17, \
x - 2y = 7.
\end{cases}$

Цель: Найти значения переменных $x$ и $y$, которые одновременно удовлетворяют обоим уравнениям.

Метод решения: Метод сложения, в данном случае, вычитания.

Шаги решения:

1. Исключение переменной $y$:
   Чтобы исключить переменную $y$, вычтем второе уравнение из первого. Это позволит избавиться от $y$ и получить уравнение только с переменной $x$.
   $(9x - 2y) - (x - 2y) = -17 - 7$
   $9x - 2y - x + 2y = -24$
   $8x = -24$

2. Нахождение значения $x$:
   Разделим обе части уравнения $8x = -24$ на 8, чтобы найти значение $x$.
   $x = \frac{-24}{8} = -3$

3. Подстановка значения $x$ в одно из уравнений:
   Подставим найденное значение $x = -3$ во второе уравнение $x - 2y = 7$, чтобы найти значение $y$.
   $-3 - 2y = 7$

4. Нахождение значения $y$:
   Прибавим 3 к обеим частям уравнения $-3 - 2y = 7$, чтобы изолировать член с $y$.
   $-2y = 7 + 3$
   $-2y = 10$
   Разделим обе части уравнения $-2y = 10$ на -2, чтобы найти значение $y$.
   $y = \frac{10}{-2} = -5$

Проверка решения:

Подставим найденные значения $x = -3$ и $y = -5$ в оба уравнения, чтобы убедиться, что они удовлетворяют обоим уравнениям.

• Первое уравнение: $9x - 2y = -17$
  $9(-3) - 2(-5) = -27 + 10 = -17$ (верно)
• Второе уравнение: $x - 2y = 7$
  $-3 - 2(-5) = -3 + 10 = 7$ (верно)

Ответ: $x = -3$, $y = -5$

Правила, использованные при решении:

• Правило вычитания уравнений: Если из одного уравнения вычесть другое, решение системы не изменится.
• Правило подстановки: Если найдено значение одной переменной, его можно подставить в любое из уравнений системы для нахождения значения другой переменной.

Задание 4: Решение системы уравнений методом сложения

Дана система уравнений:

$\begin{cases}
5x - 2y = 15, \
2x - y = 7.
\end{cases}$

Цель: Найти значения переменных $x$ и $y$, которые одновременно удовлетворяют обоим уравнениям.

Метод решения: Метод сложения (преобразование уравнений для исключения переменной).

Шаги решения:

1. Преобразование уравнений:
   Чтобы исключить переменную $y$, умножим второе уравнение на -2. Это позволит получить в обоих уравнениях члены с $y$, имеющие противоположные знаки.
   Исходная система:
   $\begin{cases}
   5x - 2y = 15, \
   2x - y = 7.
   \end{cases}$
   Умножаем второе уравнение на -2:
   $2 * (2x - y) = 2 * 7$ => $-4x + 2y = -14$
   Новая система:
   $\begin{cases}
   5x - 2y = 15, \
   -4x + 2y = -14.
   \end{cases}$

2. Исключение переменной $y$:
   Сложим первое и второе уравнения, чтобы исключить переменную $y$.
   $(5x - 2y) + (-4x + 2y) = 15 + (-14)$
   $5x - 2y - 4x + 2y = 1$
   $x = 1$

3. Нахождение значения $x$:
   Из предыдущего шага мы получили значение $x = 1$.

4. Подстановка значения $x$ в одно из уравнений:
   Подставим найденное значение $x = 1$ во второе уравнение $2x - y = 7$, чтобы найти значение $y$.
   $2(1) - y = 7$
   $2 - y = 7$

5. Нахождение значения $y$:
   Вычтем 2 из обеих частей уравнения $2 - y = 7$, чтобы изолировать член с $y$.
   $-y = 7 - 2$
   $-y = 5$
   Умножим обе части уравнения $-y = 5$ на -1, чтобы найти значение $y$.
   $y = -5$

Проверка решения:

Подставим найденные значения $x = 1$ и $y = -5$ в оба уравнения, чтобы убедиться, что они удовлетворяют обоим уравнениям.

• Первое уравнение: $5x - 2y = 15$
  $5(1) - 2(-5) = 5 + 10 = 15$ (верно)
• Второе уравнение: $2x - y = 7$
  $2(1) - (-5) = 2 + 5 = 7$ (верно)

Ответ: $x = 1$, $y = -5$

Правила, использованные при решении:

• Правило умножения уравнения на константу: Если обе части уравнения умножить на одно и то же число, решение уравнения не изменится.
• Правило сложения уравнений: Если к одному уравнению прибавить другое, решение системы не изменится.
• Правило подстановки: Если найдено значение одной переменной, его можно подставить в любое из уравнений системы для нахождения значения другой переменной.

Задание 1: Решение системы уравнений методом подстановки

Дана система уравнений:

$\begin{cases}
y = 5x - 14, \
5x - 2y = 20.
\end{cases}$

Цель: Найти значения переменных $x$ и $y$, которые одновременно удовлетворяют обоим уравнениям.

Метод решения: Метод подстановки.

Шаги решения:

1. Выражение одной переменной через другую:
   В первом уравнении уже выражена переменная $y$ через $x$: $y = 5x - 14$.

2. Подстановка выражения в другое уравнение:
   Подставим выражение для $y$ из первого уравнения во второе уравнение: $5x - 2y = 20$.
   $5x - 2(5x - 14) = 20$

3. Решение уравнения с одной переменной:
   Раскроем скобки и упростим уравнение:
   $5x - 10x + 28 = 20$
   $-5x + 28 = 20$
   Перенесем 28 в правую часть уравнения:
   $-5x = 20 - 28$
   $-5x = -8$
   Разделим обе части уравнения на -5:
   $x = \frac{-8}{-5} = \frac{8}{5} = 1.6$

4. Нахождение значения другой переменной:
   Подставим найденное значение $x = 1.6$ в первое уравнение $y = 5x - 14$, чтобы найти значение $y$.
   $y = 5(1.6) - 14$
   $y = 8 - 14$
   $y = -6$

Проверка решения:

Подставим найденные значения $x = 1.6$ и $y = -6$ в оба уравнения, чтобы убедиться, что они удовлетворяют обоим уравнениям.

• Первое уравнение: $y = 5x - 14$
  $-6 = 5(1.6) - 14$
  $-6 = 8 - 14$
  $-6 = -6$ (верно)
• Второе уравнение: $5x - 2y = 20$
  $5(1.6) - 2(-6) = 20$
  $8 + 12 = 20$
  $20 = 20$ (верно)

Ответ: $x = 1.6$, $y = -6$

Правила, использованные при решении:

• Правило подстановки: Если одна переменная выражена через другую, это выражение можно подставить в другое уравнение.
• Основные алгебраические преобразования: Раскрытие скобок, приведение подобных слагаемых, перенос членов уравнения.