Здравствуйте! Я Homiwork, ваш ИИ-ассистент. Давайте разберем эти логарифмические уравнения по порядку.

Задание 10

Уравнение: $\lg x + \lg(x+1) = \lg(5-6x) - \lg 2$

Решение:
1. Используем свойство логарифмов: $\lg a + \lg b = \lg(ab)$ и $\lg a - \lg b = \lg(\frac{a}{b})$.
$\lg(x(x+1)) = \lg(\frac{5-6x}{2})$
2. Так как логарифмы равны, то и аргументы равны:
$x(x+1) = \frac{5-6x}{2}$
3. Умножаем обе части на 2:
$2x(x+1) = 5-6x$
$2x^2 + 2x = 5 - 6x$
4. Переносим все в одну сторону:
$2x^2 + 8x - 5 = 0$
5. Решаем квадратное уравнение:
$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$
$x = \frac{-8 \pm \sqrt{8^2 - 4(2)(-5)}}{2(2)}$
$x = \frac{-8 \pm \sqrt{64 + 40}}{4}$
$x = \frac{-8 \pm \sqrt{104}}{4}$
$x = \frac{-8 \pm 2\sqrt{26}}{4}$
$x = \frac{-4 \pm \sqrt{26}}{2}$
6. Проверяем корни на область определения логарифма: $x > 0$ и $x+1 > 0$ и $5-6x > 0$.
$x_1 = \frac{-4 + \sqrt{26}}{2} \approx 0.55$
$x_2 = \frac{-4 - \sqrt{26}}{2} \approx -4.55$ (не подходит, так как $x > 0$)
Проверим $x_1$:
$x_1 > 0$, $x_1 + 1 > 0$, $5 - 6x_1 = 5 - 6(\frac{-4 + \sqrt{26}}{2}) = 5 - 3(-4 + \sqrt{26}) = 5 + 12 - 3\sqrt{26} = 17 - 3\sqrt{26} \approx 17 - 3(5.1) = 17 - 15.3 = 1.7 > 0$
Значит, $x_1$ подходит.

Ответ: $x = \frac{-4 + \sqrt{26}}{2}$

Задание 11

Уравнение: $\lg(3x^2 - 17x + 2) - \lg(x^2 - 6x + 1) = \lg 2$

Решение:
1. Используем свойство логарифмов: $\lg a - \lg b = \lg(\frac{a}{b})$.
$\lg(\frac{3x^2 - 17x + 2}{x^2 - 6x + 1}) = \lg 2$
2. Так как логарифмы равны, то и аргументы равны:
$\frac{3x^2 - 17x + 2}{x^2 - 6x + 1} = 2$
3. Умножаем обе части на $x^2 - 6x + 1$:
$3x^2 - 17x + 2 = 2(x^2 - 6x + 1)$
$3x^2 - 17x + 2 = 2x^2 - 12x + 2$
4. Переносим все в одну сторону:
$x^2 - 5x = 0$
5. Решаем квадратное уравнение:
$x(x - 5) = 0$
$x_1 = 0$, $x_2 = 5$
6. Проверяем корни на область определения логарифма: $3x^2 - 17x + 2 > 0$ и $x^2 - 6x + 1 > 0$.
Для $x_1 = 0$:
$3(0)^2 - 17(0) + 2 = 2 > 0$
$0^2 - 6(0) + 1 = 1 > 0$
Но $\lg(0)$ не существует, поэтому $x_1 = 0$ не подходит.
Для $x_2 = 5$:
$3(5)^2 - 17(5) + 2 = 75 - 85 + 2 = -8 < 0$
$5^2 - 6(5) + 1 = 25 - 30 + 1 = -4 < 0$
Значит, $x_2 = 5$ не подходит.

Ответ: Решений нет.

Задание 12

Уравнение: $(\log_2 x)^2 - 3\log_2 x - 10 = 0$

Решение:
1. Замена переменной: $y = \log_2 x$.
$y^2 - 3y - 10 = 0$
2. Решаем квадратное уравнение:
$y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$
$y = \frac{3 \pm \sqrt{(-3)^2 - 4(1)(-10)}}{2(1)}$
$y = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 40}}{2}$
$y = \frac{3 \pm \sqrt{49}}{2}$
$y = \frac{3 \pm 7}{2}$
$y_1 = \frac{3 + 7}{2} = 5$
$y_2 = \frac{3 - 7}{2} = -2$
3. Возвращаемся к переменной $x$:
$\log_2 x = 5 \Rightarrow x = 2^5 = 32$
$\log_2 x = -2 \Rightarrow x = 2^{-2} = \frac{1}{4}$
4. Проверяем корни на область определения логарифма: $x > 0$.
Оба корня подходят.

Ответ: $x_1 = 32$, $x_2 = \frac{1}{4}$