Привет! Сейчас помогу решить эти задания.

Задание A1 (a)

Решить систему уравнений:
$\begin{cases}
x - y = 7 \
xy = -10
\end{cases}$

1. Выразим $x$ из первого уравнения: $x = y + 7$
2. Подставим это выражение во второе уравнение: $(y + 7)y = -10$
3. Раскроем скобки и приведем к квадратному уравнению: $y^2 + 7y + 10 = 0$
4. Решим квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета или дискриминант. Здесь удобно по Виету:
   • $y_1 + y_2 = -7$
   • $y_1 \cdot y_2 = 10$
   • Подходящие корни: $y_1 = -2$, $y_2 = -5$
5. Найдем соответствующие значения $x$:
   • Если $y = -2$, то $x = -2 + 7 = 5$
   • Если $y = -5$, то $x = -5 + 7 = 2$

Ответ: $(5, -2)$ и $(2, -5)$

Задание A1 (б)

Решить систему уравнений:
$\begin{cases}
x^2 + y^2 = 4 \
x - 2y = -5
\end{cases}$

1. Выразим $x$ из второго уравнения: $x = 2y - 5$
2. Подставим это выражение в первое уравнение: $(2y - 5)^2 + y^2 = 4$
3. Раскроем скобки и приведем к квадратному уравнению:
   $4y^2 - 20y + 25 + y^2 = 4$
   $5y^2 - 20y + 21 = 0$
4. Решим квадратное уравнение через дискриминант:
   $D = (-20)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 21 = 400 - 420 = -20$
   Так как дискриминант отрицательный, уравнение не имеет действительных решений.

Ответ: Решений нет.

Задание A2

Одна из сторон прямоугольника на 2 см больше другой стороны. Найдите стороны прямоугольника, если его площадь равна 120 см².

1. Пусть одна сторона равна $x$, тогда другая сторона равна $x + 2$.
2. Площадь прямоугольника: $x(x + 2) = 120$
3. Раскроем скобки и приведем к квадратному уравнению: $x^2 + 2x - 120 = 0$
4. Решим квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета или дискриминант. Здесь удобно по Виету:
   • $x_1 + x_2 = -2$
   • $x_1 \cdot x_2 = -120$
   • Подходящие корни: $x_1 = 10$, $x_2 = -12$
5. Так как длина стороны не может быть отрицательной, берем $x = 10$.
6. Тогда другая сторона равна $x + 2 = 10 + 2 = 12$.

Ответ: Стороны прямоугольника равны 10 см и 12 см.

Задание A1 (a) - Подробное решение

Система уравнений:
$\begin{cases}
x - y = 7 \
xy = -10
\end{cases}$

Шаг 1: Выражение одной переменной через другую

Из первого уравнения выразим $x$ через $y$. Это позволит нам заменить $x$ во втором уравнении и получить уравнение только с одной переменной ($y$).

$x - y = 7$
$x = y + 7$

Шаг 2: Подстановка

Подставим выражение для $x$ ($x = y + 7$) во второе уравнение ($xy = -10$):

$(y + 7)y = -10$

Шаг 3: Раскрытие скобок и приведение к квадратному уравнению

Раскроем скобки и перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение в стандартном виде ($ay^2 + by + c = 0$):

$y^2 + 7y = -10$
$y^2 + 7y + 10 = 0$

Шаг 4: Решение квадратного уравнения

Для решения квадратного уравнения $y^2 + 7y + 10 = 0$ можно использовать теорему Виета или дискриминант. В данном случае, теорема Виета удобнее.

Теорема Виета:
Для квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$, сумма корней равна $-\frac{b}{a}$, а произведение корней равно $\frac{c}{a}$.

В нашем случае:
* $y_1 + y_2 = -7$
* $y_1 \cdot y_2 = 10$

Подбираем числа, удовлетворяющие этим условиям: $y_1 = -2$ и $y_2 = -5$.

Шаг 5: Нахождение соответствующих значений $x$

Теперь, когда мы нашли значения $y$, подставим их в выражение для $x$ ($x = y + 7$):

• Если $y = -2$, то $x = -2 + 7 = 5$
• Если $y = -5$, то $x = -5 + 7 = 2$

Шаг 6: Запись ответа

Получили две пары решений: $(5, -2)$ и $(2, -5)$.

Ответ: $(5, -2)$ и $(2, -5)$