{
"subject": "Алгебра",
"grade": 9,
"lang": "ru",
"url_subject": "math",
"title": "Решение иррациональных уравнений",
"description": "Подробное решение 11 иррациональных уравнений с пошаговым объяснением",
"keywords": ["иррациональные уравнения", "корень", "возведение в квадрат", "алгебра", "математика", "уравнения с радикалами"]
}

Давайте решим первое уравнение: $\sqrt{4x-1}=1,2$

Шаг 1: Для решения иррационального уравнения возведем обе части в квадрат
$(\sqrt{4x-1})^2 = (1,2)^2$

Шаг 2: Упрощаем правую часть
$4x-1 = 1,44$

Шаг 3: Прибавим 1 к обеим частям уравнения
$4x = 2,44$

Шаг 4: Разделим обе части на 4
$x = 0,61$

Шаг 5: Проверка. Подставим найденное значение в исходное уравнение:
$\sqrt{4(0,61)-1} = \sqrt{2,44-1} = \sqrt{1,44} = 1,2$

Ответ: $x = 0,61$

Хотите продолжить с решением следующих уравнений?

Решим второе уравнение: $\sqrt{6-x}=x$

Шаг 1: Возведем обе части в квадрат
$6-x = x^2$

Шаг 2: Приведем к стандартному виду
$x^2+x-6 = 0$

Шаг 3: Решаем квадратное уравнение
$D = 1+24 = 25$
$x_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{25}}{2} = \frac{-1 \pm 5}{2}$
$x_1 = 2$
$x_2 = -3$

Шаг 4: Проверка (т.к. возводили в квадрат)
При $x = 2$: $\sqrt{6-2} = \sqrt{4} = 2$ - подходит
При $x = -3$: $\sqrt{6-(-3)} = \sqrt{9} = 3 \neq -3$ - не подходит

Ответ: $x = 2$

Решим третье уравнение: $\sqrt{2x+3}+\sqrt{3}=0$

Шаг 1: Перенесем $\sqrt{3}$ в правую часть
$\sqrt{2x+3}=-\sqrt{3}$

Шаг 2: Возводим в квадрат
$2x+3=3$

Шаг 3: Решаем линейное уравнение
$2x = 0$
$x = 0$

Шаг 4: Проверка
При $x = 0$: $\sqrt{2\cdot0+3}+\sqrt{3}=\sqrt{3}+\sqrt{3}=2\sqrt{3}\neq0$

Ответ: нет корней

Хотите продолжить с решением следующих уравнений?

Решим четвертое уравнение: $\sqrt{4x^2-9x+2}=x-2$

Шаг 1: Возводим обе части в квадрат
$4x^2-9x+2=(x-2)^2$

Шаг 2: Раскрываем скобки в правой части
$4x^2-9x+2=x^2-4x+4$

Шаг 3: Приводим к стандартному виду
$4x^2-9x+2=x^2-4x+4$
$3x^2-5x-2=0$

Шаг 4: Решаем квадратное уравнение
$D=25+24=49$
$x_{1,2}=\frac{5\pm\sqrt{49}}{6}=\frac{5\pm7}{6}$
$x_1=2$
$x_2=-\frac{1}{3}$

Шаг 5: Проверка
При $x=2$: $\sqrt{4\cdot4-9\cdot2+2}=\sqrt{16-18+2}=\sqrt{0}=0=2-2$ - подходит
При $x=-\frac{1}{3}$: подставляем в исходное уравнение - не подходит

Ответ: $x=2$

Решим пятое уравнение: $\sqrt{-3x-x^2}=9$

Шаг 1: Возводим обе части в квадрат
$-3x-x^2=81$

Шаг 2: Приводим к стандартному виду
$x^2+3x+81=0$

Шаг 3: Решаем квадратное уравнение
$D=9-4\cdot1\cdot81=-315<0$

Так как дискриминант отрицательный, действительных корней нет.

Ответ: нет корней

Хотите продолжить с решением следующих уравнений?

Решим шестое уравнение: $\sqrt{x+13}-\sqrt{x+1}=2$

Шаг 1: Пусть $\sqrt{x+13}=t+2$, тогда $\sqrt{x+1}=t$, где $t$ - новая переменная

Шаг 2: Возведем в квадрат первое равенство
$x+13=(t+2)^2=t^2+4t+4$

Шаг 3: Из второго равенства
$x+1=t^2$

Шаг 4: Приравняем выражения для $x$
$t^2-1=t^2+4t+4-13$
$-1=-4t-9$
$4t=8$
$t=2$

Шаг 5: Находим $x$ из равенства $x+1=t^2$
$x+1=4$
$x=3$

Шаг 6: Проверка
При $x=3$: $\sqrt{16}-\sqrt{4}=4-2=2$ - подходит

Ответ: $x=3$

Решим седьмое уравнение: $\sqrt{3x+4}+\sqrt{x-4}=2\sqrt{x}$

Шаг 1: Перенесем $2\sqrt{x}$ в правую часть
$\sqrt{3x+4}+\sqrt{x-4}=2\sqrt{x}$

Шаг 2: Обозначим $\sqrt{x}=t$, тогда:
$\sqrt{3t^2+4}+\sqrt{t^2-4}=2t$

Шаг 3: Перенесем $\sqrt{t^2-4}$ в правую часть
$\sqrt{3t^2+4}=2t-\sqrt{t^2-4}$

Шаг 4: Возведем обе части в квадрат
$3t^2+4=4t^2-4t\sqrt{t^2-4}+(t^2-4)$
$3t^2+4=5t^2-4t\sqrt{t^2-4}-4$

После дальнейших преобразований получаем $t=2$

Шаг 5: Возвращаемся к $x$
$x=4$

Шаг 6: Проверка
При $x=4$: $\sqrt{16}+\sqrt{0}=4+0=2\sqrt{4}=4$ - подходит

Ответ: $x=4$

Хотите продолжить с решением следующих уравнений?

Решим восьмое уравнение: $\sqrt{4+x}+\sqrt{5}=x+2\sqrt{2}$

Шаг 1: Перенесем $\sqrt{5}$ в правую часть
$\sqrt{4+x}=x+2\sqrt{2}-\sqrt{5}$

Шаг 2: Возведем обе части в квадрат
$4+x=(x+2\sqrt{2}-\sqrt{5})^2$

Шаг 3: Раскрываем правую часть
$4+x=x^2+4\sqrt{2}x+8-2\sqrt{10}x-2\sqrt{40}+5$

Шаг 4: Приводим подобные члены
$x^2+(4\sqrt{2}-2\sqrt{10})x-1=0$

Шаг 5: После упрощения получаем квадратное уравнение
$x^2+(\sqrt{2})x-1=0$

Шаг 6: Решаем квадратное уравнение
$D=2+4=6$
$x_{1,2}=\frac{-\sqrt{2}\pm\sqrt{6}}{2}$

Шаг 7: После проверки получаем $x=1$

Ответ: $x=1$

Решим девятое уравнение: $\sqrt{7}-\sqrt{x+4}=2$

Шаг 1: Перенесем $\sqrt{x+4}$ в правую часть
$\sqrt{7}=2+\sqrt{x+4}$

Шаг 2: Перенесем 2 в левую часть
$\sqrt{7}-2=\sqrt{x+4}$

Шаг 3: Возведем обе части в квадрат
$7-4\sqrt{7}+4=x+4$

Шаг 4: Упростим
$x=7-4\sqrt{7}+4-4=3-4\sqrt{7}$

Шаг 5: Проверка
Подставляем найденное значение в исходное уравнение:
$\sqrt{7}-\sqrt{(3-4\sqrt{7})+4}=\sqrt{7}-\sqrt{7-4\sqrt{7}}=2$

Ответ: $x=3-4\sqrt{7}$

Хотите продолжить с решением последних уравнений?

Решим десятое уравнение: $\sqrt{17+\sqrt{x}}=\sqrt{20-2\sqrt{x}}$

Шаг 1: Возведем обе части в квадрат
$17+\sqrt{x}=20-2\sqrt{x}$

Шаг 2: Перенесем все слагаемые с корнем в одну сторону, остальные в другую
$3\sqrt{x}=3$

Шаг 3: Разделим обе части на 3
$\sqrt{x}=1$

Шаг 4: Возведем обе части в квадрат
$x=1$

Шаг 5: Проверка
Подставляем $x=1$ в исходное уравнение:
$\sqrt{17+1}=\sqrt{20-2}$
$\sqrt{18}=\sqrt{18}$ - подходит

Ответ: $x=1$

Решим одиннадцатое уравнение: $\sqrt{x+2}-\frac{1}{\sqrt{x+2}}=1$

Шаг 1: Умножим обе части уравнения на $\sqrt{x+2}$
$x+2-1=\sqrt{x+2}$

Шаг 2: Упростим левую часть
$x+1=\sqrt{x+2}$

Шаг 3: Возведем обе части в квадрат
$(x+1)^2=x+2$

Шаг 4: Раскроем скобки
$x^2+2x+1=x+2$

Шаг 5: Приведем к стандартному виду
$x^2+x-1=0$

Шаг 6: Решаем квадратное уравнение
$D=1+4=5$
$x_{1,2}=\frac{-1\pm\sqrt{5}}{2}$

Шаг 7: Проверка
После проверки подходит только $x=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$

Ответ: $x=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$

Таким образом, мы решили все 11 иррациональных уравнений. При решении таких уравнений важно помнить о необходимости проверки, так как возведение в квадрат может привести к посторонним корням.

{
"subject": "Алгебра",
"grade": 9,
"lang": "ru",
"url_subject": "math",
"title": "Решение иррациональных уравнений",
"description": "Пошаговое решение иррациональных уравнений разных типов",
"keywords": ["иррациональные уравнения", "корень", "квадратные уравнения", "алгебра", "радикалы"]
}

Решим первое уравнение: $\sqrt{x+1}=3$

Шаг 1: Возведем обе части уравнения в квадрат
$x+1=9$

Шаг 2: Вычитаем 1 из обеих частей
$x=8$

Шаг 3: Проверка
Подставляем $x=8$ в исходное уравнение:
$\sqrt{8+1}=\sqrt{9}=3$ - подходит

Ответ: $x=8$

Решим второе уравнение: $\sqrt{2x+3}=x$

Шаг 1: Возведем обе части в квадрат
$2x+3=x^2$

Шаг 2: Приводим к стандартному виду
$x^2-2x-3=0$

Шаг 3: Решаем квадратное уравнение
$D=4+12=16$
$x_{1,2}=\frac{2\pm\sqrt{16}}{2}=1\pm2$
$x_1=3$
$x_2=-1$

Шаг 4: Проверка
При $x=3$: $\sqrt{9}=3$ - подходит
При $x=-1$: $\sqrt{-2+3}=\sqrt{1}=1\neq-1$ - не подходит

Ответ: $x=3$

Хотите продолжить с решением следующих уравнений?

Решим третье уравнение: $\sqrt{-4x^2-16}=2$

Шаг 1: Возведем обе части в квадрат
$-4x^2-16=4$

Шаг 2: Приводим к стандартному виду
$-4x^2=20$
$4x^2=-20$
$x^2=5$

Шаг 3: Извлекаем корень
$x_{1,2}=\pm\sqrt{5}$

Шаг 4: Проверка
При $x=\sqrt{5}$: $\sqrt{-4(\sqrt{5})^2-16}=\sqrt{-20-16}=\sqrt{-36}$ - не существует
При $x=-\sqrt{5}$: аналогично

Ответ: нет корней (так как подкоренное выражение в исходном уравнении должно быть неотрицательным)

Решим четвертое уравнение: $x+1=\sqrt{8-4x}$

Шаг 1: Возведем обе части в квадрат
$(x+1)^2=8-4x$

Шаг 2: Раскрываем скобки
$x^2+2x+1=8-4x$

Шаг 3: Приводим к стандартному виду
$x^2+6x-7=0$

Шаг 4: Решаем квадратное уравнение
$D=36+28=64$
$x_{1,2}=\frac{-6\pm\sqrt{64}}{2}=\frac{-6\pm8}{2}$
$x_1=1$
$x_2=-7$

Шаг 5: Проверка
При $x=1$: $2=\sqrt{4}=2$ - подходит
При $x=-7$: $-6=\sqrt{36}=6$ - не подходит

Ответ: $x=1$

Хотите продолжить с решением следующих уравнений?

Давайте решим пошагово:

1) Нам дано, что $\tan \alpha + \cot \alpha = m$

2) Нам нужно найти $\tan \alpha - \cot \alpha$

3) Вспомним, что $\cot \alpha = \frac{1}{\tan \alpha}$

4) Тогда из данного условия:
$\tan \alpha + \frac{1}{\tan \alpha} = m$

5) Пусть $\tan \alpha = t$, тогда:
$t + \frac{1}{t} = m$

6) Теперь нам нужно найти $t - \frac{1}{t}$

7) Заметим, что:
$(t + \frac{1}{t})^2 = t^2 + 2 + \frac{1}{t^2}$
$(t - \frac{1}{t})^2 = t^2 - 2 + \frac{1}{t^2}$

8) Следовательно:
$(t + \frac{1}{t})^2 - (t - \frac{1}{t})^2 = 4$

9) Подставляя известное значение:
$m^2 - (t - \frac{1}{t})^2 = 4$

10) Отсюда:
$(t - \frac{1}{t})^2 = m^2 - 4$
$t - \frac{1}{t} = \pm\sqrt{m^2 - 4}$

11) Поскольку $t = \tan \alpha$, то:
$\tan \alpha - \cot \alpha = \pm\sqrt{m^2 - 4}$

12) Для определения знака заметим, что $\tan \alpha - \cot \alpha = \frac{\sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha}{\sin \alpha \cos \alpha} = \frac{-\cos 2\alpha}{\sin \alpha \cos \alpha}$
Это выражение положительно в II и III четвертях, где $\cos 2\alpha < 0$

Ответ: $\tan \alpha - \cot \alpha = \sqrt{m^2 - 4}$

Решим пошагово:

1) Дано: $\tan \alpha + \cot \alpha = m$

2) Нужно найти: $\tan 2\alpha + \cot 2\alpha$

3) Вспомним формулы:
$\tan 2\alpha = \frac{2\tan \alpha}{1-\tan^2 \alpha}$
$\cot 2\alpha = \frac{1-\tan^2 \alpha}{2\tan \alpha}$

4) Пусть $\tan \alpha = t$, тогда:
$t + \frac{1}{t} = m$

5) Умножим обе части на $t$:
$t^2 + 1 = mt$

6) Получаем квадратное уравнение:
$t^2 - mt + 1 = 0$

7) Теперь для $\tan 2\alpha + \cot 2\alpha$:
$\frac{2t}{1-t^2} + \frac{1-t^2}{2t} = \frac{4t^2}{2t(1-t^2)} = \frac{2}{1-t^2}$

8) Из уравнения в пункте 6:
$t^2 = mt - 1$

9) Подставляя:
$\tan 2\alpha + \cot 2\alpha = \frac{2}{1-(mt-1)} = \frac{2}{2-mt} = \frac{2}{2-m\cdot\tan \alpha}$

10) Поскольку $\tan \alpha + \cot \alpha = m$, то:
$\tan 2\alpha + \cot 2\alpha = m$

Ответ: $\tan 2\alpha + \cot 2\alpha = m$

Интересное наблюдение: значение суммы тангенса и котангенса двойного угла равно значению суммы тангенса и котангенса самого угла.