Задание 1

Условие: Найди наименьшее значение функции $y = |x + 1| - 2$ на отрезке $[-4; -1]$.

Решение:

Функция $y = |x + 1| - 2$ представляет собой преобразование графика функции $y = |x|$.

1. График функции $y = |x|$: Это "галочка" с вершиной в начале координат $(0,0)$.
2. График функции $y = |x + 1|$: График $y = |x|$ сдвигается на 1 единицу влево. Вершина перемещается в точку $(-1, 0)$.
3. График функции $y = |x + 1| - 2$: График $y = |x + 1|$ сдвигается на 2 единицы вниз. Вершина перемещается в точку $(-1, -2)$.

Вершина параболы $|x+1|$ находится в точке $x = -1$. На отрезке $[-4; -1]$, эта точка является крайней правой.

Рассмотрим поведение функции на заданном отрезке $[-4; -1]$:

• Определим знак выражения под модулем:
  $x + 1 \ge 0$ при $x \ge -1$.
  $x + 1 < 0$ при $x < -1$.

• Рассмотрим функцию на отрезке $[-4; -1]$:
  Поскольку весь отрезок $[-4; -1]$ находится левее или равен $-1$, то для всех $x$ из этого отрезка $x+1 \le 0$.
  Следовательно, $|x+1| = -(x+1) = -x - 1$.

  Тогда функция на этом отрезке принимает вид:
  $y = (-x - 1) - 2 = -x - 3$.

• Найдем наименьшее значение линейной функции $y = -x - 3$ на отрезке $[-4; -1]$:
  Линейная функция $y = -x - 3$ является убывающей, так как коэффициент при $x$ отрицательный (равен $-1$).
  Наименьшее значение убывающей функции на отрезке достигается в правом конце отрезка.
  Правый конец отрезка: $x = -1$.
  Подставим $x = -1$ в функцию:
  $y = -(-1) - 3 = 1 - 3 = -2$.

  Наибольшее значение достигается в левом конце отрезка: $x = -4$.
  Подставим $x = -4$ в функцию:
  $y = -(-4) - 3 = 4 - 3 = 1$.

• Сравним значения на концах отрезка:
  При $x = -4$, $y = 1$.
  При $x = -1$, $y = -2$.

Наименьшее значение функции на отрезке $[-4; -1]$ равно $-2$.

Ответ: $y_{\text{наим}} = -2$ при $x = -1$.

Задание 2

Условие: Запиши множество значений функции $y = |x + 1| - 2$. Выбери подходящие скобки.

Решение:

Множество значений функции (или область значений) - это все возможные значения, которые функция может принимать.

1. Анализ функции:
   Функция имеет вид $y = |x + 1| - 2$.
   Мы знаем, что модуль любого числа неотрицателен: $|x + 1| \ge 0$.

2. Преобразование неравенства:
   Вычтем 2 из обеих частей неравенства:
   $|x + 1| - 2 \ge 0 - 2$
   $y \ge -2$

3. Интерпретация результата:
   Это означает, что наименьшее значение, которое может принимать функция $y$, равно $-2$.
   Функция может принимать любые значения, которые больше или равны $-2$.

4. Запись множества значений:
   Множество значений функции $y$ обозначается как $E(y)$ или $D(f)$.
   В данном случае, $E(y)$ включает все числа от $-2$ до плюс бесконечности, причем $-2$ включительно.
   Это записывается как промежуток: $[-2; +\infty)$.

5. Выбор подходящих скобок:

   • Квадратная скобка [ означает, что левая граница (число $-2$) включается в множество.
   • Круглая скобка ) означает, что правая граница (плюс бесконечность) не включается (бесконечность никогда не включается).

Следовательно, подходящие скобки для записи множества значений $E(y) = -2; +\infty$ будут квадратная слева и круглая справа.

Ответ:
$E(y) = [-2; +\infty)$