Задание 33.41a: Преобразовать выражение $(x-1)^3$ в многочлен стандартного вида

Решение:
Используем формулу куба разности: $(a-b)^3 = a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$

Где $a=x$ и $b=1$:
1) $a^3 = x^3$
2) $-3a^2b = -3x^2\cdot1 = -3x^2$
3) $3ab^2 = 3x\cdot1^2 = 3x$
4) $-b^3 = -1^3 = -1$

Ответ: $(x-1)^3 = x^3-3x^2+3x-1$

Задание 33.41б: Преобразовать выражение $(2a+3b)^3$ в многочлен стандартного вида

Решение:
Используем формулу куба суммы: $(a+b)^3 = a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$

Где $a=2a$ и $b=3b$:
1) $a^3 = (2a)^3 = 8a^3$
2) $3a^2b = 3(2a)^2(3b) = 3\cdot4a^2\cdot3b = 36a^2b$
3) $3ab^2 = 3(2a)(3b)^2 = 3\cdot2a\cdot9b^2 = 54ab^2$
4) $b^3 = (3b)^3 = 27b^3$

Ответ: $(2a+3b)^3 = 8a^3+36a^2b+54ab^2+27b^3$

Задание 33.41в: Преобразовать выражение $(2y+5)^3$ в многочлен стандартного вида

Решение:
Используем формулу куба суммы: $(a+b)^3 = a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$

Где $a=2y$ и $b=5$:
1) $a^3 = (2y)^3 = 8y^3$
2) $3a^2b = 3(2y)^2\cdot5 = 3\cdot4y^2\cdot5 = 60y^2$
3) $3ab^2 = 3(2y)\cdot5^2 = 3\cdot2y\cdot25 = 150y$
4) $b^3 = 5^3 = 125$

Ответ: $(2y+5)^3 = 8y^3+60y^2+150y+125$

Задание 33.42a: Преобразовать выражение $(0,5a^2+2b)^3$ в многочлен стандартного вида

Решение:
Используем формулу куба суммы: $(a+b)^3 = a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$

Где $a=0,5a^2$ и $b=2b$:
1) $a^3 = (0,5a^2)^3 = 0,125a^6$
2) $3a^2b = 3(0,5a^2)^2(2b) = 3\cdot0,25a^4\cdot2b = 1,5a^4b$
3) $3ab^2 = 3(0,5a^2)(2b)^2 = 3\cdot0,5a^2\cdot4b^2 = 6a^2b^2$
4) $b^3 = (2b)^3 = 8b^3$

Ответ: $(0,5a^2+2b)^3 = 0,125a^6+1,5a^4b+6a^2b^2+8b^3$

Задание 33.42б: Преобразовать выражение $(3xy-\frac{1}{3}x^2y^2)^3$ в многочлен стандартного вида

Решение:
Используем формулу куба разности: $(a-b)^3 = a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$

Где $a=3xy$ и $b=\frac{1}{3}x^2y^2$:
1) $a^3 = (3xy)^3 = 27x^3y^3$
2) $-3a^2b = -3(3xy)^2(\frac{1}{3}x^2y^2) = -3\cdot9x^2y^2\cdot\frac{1}{3}x^2y^2 = -9x^4y^4$
3) $3ab^2 = 3(3xy)(\frac{1}{3}x^2y^2)^2 = 3\cdot3xy\cdot\frac{1}{9}x^4y^4 = x^5y^5$
4) $-b^3 = -(\frac{1}{3}x^2y^2)^3 = -\frac{1}{27}x^6y^6$

Ответ: $(3xy-\frac{1}{3}x^2y^2)^3 = 27x^3y^3-9x^4y^4+x^5y^5-\frac{1}{27}x^6y^6$