Решим систему уравнений:

Задание 1

$\begin{cases} x + y = 7 \ 3x + 2y = 16 \end{cases}$

1. Выразим $x$ через $y$ из первого уравнения: $x = 7 - y$.

2. Подставим это выражение во второе уравнение: $3(7 - y) + 2y = 16$.

3. Раскроем скобки и упростим: $21 - 3y + 2y = 16$.

4. Приведем подобные слагаемые: $-y = 16 - 21$, то есть $-y = -5$.

5. Найдем $y$: $y = 5$.

6. Подставим значение $y$ в выражение для $x$: $x = 7 - 5$.

7. Найдем $x$: $x = 2$.

Ответ: $x = 2$, $y = 5$ ✅

Решим систему уравнений:

Задание 2

$\begin{cases} 5x + y = -2 \ 7x + 4y = 5 \end{cases}$

1. Выразим $y$ через $x$ из первого уравнения: $y = -2 - 5x$.

2. Подставим это выражение во второе уравнение: $7x + 4(-2 - 5x) = 5$.

3. Раскроем скобки и упростим: $7x - 8 - 20x = 5$.

4. Приведем подобные слагаемые: $-13x = 5 + 8$, то есть $-13x = 13$.

5. Найдем $x$: $x = -1$.

6. Подставим значение $x$ в выражение для $y$: $y = -2 - 5(-1)$.

7. Найдем $y$: $y = -2 + 5 = 3$.

Ответ: $x = -1$, $y = 3$ ✅

Решим систему уравнений:

Задание 3

$\begin{cases} 2x - 7y = 20 \ 4x + y = 10 \end{cases}$

1. Выразим $y$ через $x$ из второго уравнения: $y = 10 - 4x$.

2. Подставим это выражение в первое уравнение: $2x - 7(10 - 4x) = 20$.

3. Раскроем скобки и упростим: $2x - 70 + 28x = 20$.

4. Приведем подобные слагаемые: $30x = 20 + 70$, то есть $30x = 90$.

5. Найдем $x$: $x = \frac{90}{30} = 3$.

6. Подставим значение $x$ в выражение для $y$: $y = 10 - 4(3)$.

7. Найдем $y$: $y = 10 - 12 = -2$.

Ответ: $x = 3$, $y = -2$ ✅

Задание 1: Решение системы уравнений методом подстановки

Дана система уравнений:

$\begin{cases} x + y = 7 \ 3x + 2y = 16 \end{cases}$

Шаг 1: Выражение одной переменной через другую

Из первого уравнения выразим $x$ через $y$. Это означает, что мы хотим получить уравнение вида $x = ...$, где вместо многоточия будет выражение, содержащее только $y$. Для этого вычтем $y$ из обеих частей первого уравнения:

$x = 7 - y$

Шаг 2: Подстановка

Теперь, когда мы выразили $x$ через $y$, мы можем подставить это выражение во второе уравнение. Вместо $x$ во втором уравнении мы пишем $(7 - y)$. Это дает нам:

$3(7 - y) + 2y = 16$

Шаг 3: Упрощение и решение уравнения относительно y

Раскроем скобки и упростим уравнение:

$21 - 3y + 2y = 16$

Соберем подобные члены (члены с $y$ вместе):

$21 - y = 16$

Теперь вычтем 21 из обеих частей уравнения, чтобы изолировать член с $y$:

$-y = 16 - 21$

$-y = -5$

Умножим обе части на -1, чтобы найти $y$:

$y = 5$

Шаг 4: Нахождение значения x

Теперь, когда мы знаем значение $y$, мы можем подставить его в уравнение $x = 7 - y$, чтобы найти $x$:

$x = 7 - 5$

$x = 2$

Шаг 5: Проверка решения

Чтобы убедиться, что наше решение верно, подставим значения $x = 2$ и $y = 5$ в оба исходных уравнения:

Первое уравнение: $2 + 5 = 7$ (верно)

Второе уравнение: $3(2) + 2(5) = 6 + 10 = 16$ (верно)

Так как оба уравнения верны, наше решение $x = 2$ и $y = 5$ является правильным.

Ответ: $x = 2$, $y = 5$ ✅

Задание 2: Решение системы уравнений методом подстановки

Дана система уравнений:

$\begin{cases} 5x + y = -2 \ 7x + 4y = 5 \end{cases}$

Шаг 1: Выражение одной переменной через другую

Из первого уравнения выразим $y$ через $x$. Это означает, что мы хотим получить уравнение вида $y = ...$, где вместо многоточия будет выражение, содержащее только $x$. Для этого вычтем $5x$ из обеих частей первого уравнения:

$y = -2 - 5x$

Шаг 2: Подстановка

Теперь, когда мы выразили $y$ через $x$, мы можем подставить это выражение во второе уравнение. Вместо $y$ во втором уравнении мы пишем $(-2 - 5x)$. Это дает нам:

$7x + 4(-2 - 5x) = 5$

Шаг 3: Упрощение и решение уравнения относительно x

Раскроем скобки и упростим уравнение:

$7x - 8 - 20x = 5$

Соберем подобные члены (члены с $x$ вместе):

$-13x - 8 = 5$

Теперь прибавим 8 к обеим частям уравнения, чтобы изолировать член с $x$:

$-13x = 5 + 8$

$-13x = 13$

Разделим обе части на -13, чтобы найти $x$:

$x = -1$

Шаг 4: Нахождение значения y

Теперь, когда мы знаем значение $x$, мы можем подставить его в уравнение $y = -2 - 5x$, чтобы найти $y$:

$y = -2 - 5(-1)$

$y = -2 + 5$

$y = 3$

Шаг 5: Проверка решения

Чтобы убедиться, что наше решение верно, подставим значения $x = -1$ и $y = 3$ в оба исходных уравнения:

Первое уравнение: $5(-1) + 3 = -5 + 3 = -2$ (верно)

Второе уравнение: $7(-1) + 4(3) = -7 + 12 = 5$ (верно)

Так как оба уравнения верны, наше решение $x = -1$ и $y = 3$ является правильным.

Ответ: $x = -1$, $y = 3$ ✅

Задание 3: Решение системы уравнений методом подстановки

Дана система уравнений:

$\begin{cases} 2x - 7y = 20 \ 4x + y = 10 \end{cases}$

Шаг 1: Выражение одной переменной через другую

Из второго уравнения выразим $y$ через $x$. Это означает, что мы хотим получить уравнение вида $y = ...$, где вместо многоточия будет выражение, содержащее только $x$. Для этого вычтем $4x$ из обеих частей второго уравнения:

$y = 10 - 4x$

Шаг 2: Подстановка

Теперь, когда мы выразили $y$ через $x$, мы можем подставить это выражение в первое уравнение. Вместо $y$ в первом уравнении мы пишем $(10 - 4x)$. Это дает нам:

$2x - 7(10 - 4x) = 20$

Шаг 3: Упрощение и решение уравнения относительно x

Раскроем скобки и упростим уравнение:

$2x - 70 + 28x = 20$

Соберем подобные члены (члены с $x$ вместе):

$30x - 70 = 20$

Теперь прибавим 70 к обеим частям уравнения, чтобы изолировать член с $x$:

$30x = 20 + 70$

$30x = 90$

Разделим обе части на 30, чтобы найти $x$:

$x = \frac{90}{30}$

$x = 3$

Шаг 4: Нахождение значения y

Теперь, когда мы знаем значение $x$, мы можем подставить его в уравнение $y = 10 - 4x$, чтобы найти $y$:

$y = 10 - 4(3)$

$y = 10 - 12$

$y = -2$

Шаг 5: Проверка решения

Чтобы убедиться, что наше решение верно, подставим значения $x = 3$ и $y = -2$ в оба исходных уравнения:

Первое уравнение: $2(3) - 7(-2) = 6 + 14 = 20$ (верно)

Второе уравнение: $4(3) + (-2) = 12 - 2 = 10$ (верно)

Так как оба уравнения верны, наше решение $x = 3$ и $y = -2$ является правильным.

Ответ: $x = 3$, $y = -2$ ✅