Конечно, давай решим это неравенство.

Задание 1

Решим неравенство:

$9x^{\log_6 x} \leq 4 \cdot 54^{\log_6 x}$

1. Преобразуем неравенство:

Разделим обе части на 9:

$x^{\log_6 x} \leq \frac{4}{9} \cdot 54^{\log_6 x}$

2. Логарифмируем обе части по основанию 6:

$\log_6 (x^{\log_6 x}) \leq \log_6 \left(\frac{4}{9} \cdot 54^{\log_6 x}\right)$

Используем свойства логарифмов:

$\log_6 x \cdot \log_6 x \leq \log_6 \frac{4}{9} + \log_6 (54^{\log_6 x})$

$(\log_6 x)^2 \leq \log_6 \frac{4}{9} + \log_6 x \cdot \log_6 54$

3. Введем замену переменной:

Пусть $t = \log_6 x$. Тогда неравенство примет вид:

$t^2 \leq \log_6 \frac{4}{9} + t \cdot \log_6 54$

4. Преобразуем логарифмы:

$\log_6 \frac{4}{9} = \log_6 4 - \log_6 9 = \log_6 2^2 - \log_6 3^2 = 2\log_6 2 - 2\log_6 3$

$\log_6 54 = \log_6 (6 \cdot 9) = \log_6 6 + \log_6 9 = 1 + \log_6 3^2 = 1 + 2\log_6 3$

5. Перепишем неравенство с заменой:

$t^2 \leq 2\log_6 2 - 2\log_6 3 + t(1 + 2\log_6 3)$

$t^2 - t(1 + 2\log_6 3) - 2\log_6 2 + 2\log_6 3 \leq 0$

6. Решим квадратное неравенство:

Найдем корни квадратного уравнения:

$t^2 - t(1 + 2\log_6 3) - 2\log_6 2 + 2\log_6 3 = 0$

Используем формулу для корней квадратного уравнения:

$t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

$t = \frac{(1 + 2\log_6 3) \pm \sqrt{(1 + 2\log_6 3)^2 - 4(1)(-2\log_6 2 + 2\log_6 3)}}{2}$

$t = \frac{(1 + 2\log_6 3) \pm \sqrt{1 + 4\log_6 3 + 4(\log_6 3)^2 + 8\log_6 2 - 8\log_6 3}}{2}$

$t = \frac{(1 + 2\log_6 3) \pm \sqrt{1 - 4\log_6 3 + 4(\log_6 3)^2 + 8\log_6 2}}{2}$

$t = \frac{(1 + 2\log_6 3) \pm \sqrt{(1 - 2\log_6 3)^2 + 8\log_6 2}}{2}$

Заметим, что $\log_6 2 + \log_6 3 = \log_6 6 = 1$, поэтому $\log_6 2 = 1 - \log_6 3$. Подставим это в выражение под корнем:

$t = \frac{(1 + 2\log_6 3) \pm \sqrt{(1 - 2\log_6 3)^2 + 8(1 - \log_6 3)}}{2}$

$t = \frac{(1 + 2\log_6 3) \pm \sqrt{1 - 4\log_6 3 + 4(\log_6 3)^2 + 8 - 8\log_6 3}}{2}$

$t = \frac{(1 + 2\log_6 3) \pm \sqrt{9 - 12\log_6 3 + 4(\log_6 3)^2}}{2}$

$t = \frac{(1 + 2\log_6 3) \pm \sqrt{(3 - 2\log_6 3)^2}}{2}$

$t = \frac{(1 + 2\log_6 3) \pm (3 - 2\log_6 3)}{2}$

Получаем два корня:

$t_1 = \frac{1 + 2\log_6 3 + 3 - 2\log_6 3}{2} = \frac{4}{2} = 2$

$t_2 = \frac{1 + 2\log_6 3 - 3 + 2\log_6 3}{2} = \frac{-2 + 4\log_6 3}{2} = -1 + 2\log_6 3 = -1 + \log_6 9 = \log_6 \frac{9}{6} = \log_6 \frac{3}{2}$

7. Решаем неравенство относительно t:

$t \in \left[ \log_6 \frac{3}{2}; 2 \right]$

8. Возвращаемся к переменной x:

$\log_6 \frac{3}{2} \leq \log_6 x \leq 2$

$\frac{3}{2} \leq x \leq 6^2$

$\frac{3}{2} \leq x \leq 36$

Ответ: $x \in \left[ \frac{3}{2}; 36 \right]$