Язык задания: Russian

В тексте обнаружены следующие задания:

1. $\sqrt{6} \cdot \sqrt{10} \cdot \sqrt{15}$
2. $\sqrt{5} \cdot \sqrt{125} - \sqrt[3]{216}$
3. $\sqrt[4]{\frac{1}{8}} \cdot \sqrt{\frac{1}{4}}$
4. $\sqrt[3]{512} - \sqrt[5]{27} \cdot \sqrt[5]{9}$
5. $\sqrt{\frac{\sqrt[3]{125}}{125}}$
6. $0.27^{\frac{1}{3}} \cdot 0.1^{-\frac{1}{3}}$
7. $8^{-0.5} : 32^{1.5}$

Приступим к решению по порядку.

Задание 1

$\sqrt{6} \cdot \sqrt{10} \cdot \sqrt{15}$

Сначала объединим все под один корень:

$\sqrt{6 \cdot 10 \cdot 15} = \sqrt{2 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 3 \cdot 5} = \sqrt{2^2 \cdot 3^2 \cdot 5^2}$

Теперь извлечем квадратный корень:

$\sqrt{2^2 \cdot 3^2 \cdot 5^2} = 2 \cdot 3 \cdot 5 = 30$

Ответ: 30

Задание 2

$\sqrt{5} \cdot \sqrt{125} - \sqrt[3]{216}$

Сначала упростим $\sqrt{125}$ и $\sqrt[3]{216}$:

$\sqrt{125} = \sqrt{5^3} = \sqrt{5^2 \cdot 5} = 5\sqrt{5}$
$\sqrt[3]{216} = 6$ (так как $6^3 = 216$)

Теперь подставим упрощенные значения в исходное выражение:

$\sqrt{5} \cdot 5\sqrt{5} - 6 = 5 \cdot (\sqrt{5})^2 - 6 = 5 \cdot 5 - 6 = 25 - 6 = 19$

Ответ: 19

Задание 3

$\sqrt[4]{\frac{1}{8}} \cdot \sqrt{\frac{1}{4}}$

Сначала упростим каждый корень отдельно:

$\sqrt[4]{\frac{1}{8}} = \sqrt[4]{\frac{1}{2^3}} = \frac{1}{\sqrt[4]{2^3}}$
$\sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{\sqrt{4}} = \frac{1}{2}$

Теперь перемножим:

$\frac{1}{\sqrt[4]{2^3}} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2\sqrt[4]{2^3}} = \frac{1}{2\sqrt[4]{8}}$

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, можно домножить числитель и знаменатель на $\sqrt[4]{2}$:

$\frac{1}{2\sqrt[4]{8}} \cdot \frac{\sqrt[4]{2}}{\sqrt[4]{2}} = \frac{\sqrt[4]{2}}{2\sqrt[4]{16}} = \frac{\sqrt[4]{2}}{2 \cdot 2} = \frac{\sqrt[4]{2}}{4}$

Ответ: $\frac{\sqrt[4]{2}}{4}$

Задание 4

$\sqrt[3]{512} - \sqrt[5]{27} \cdot \sqrt[5]{9}$

Сначала упростим $\sqrt[3]{512}$:

$\sqrt[3]{512} = 8$ (так как $8^3 = 512$)

Теперь упростим произведение корней:

$\sqrt[5]{27} \cdot \sqrt[5]{9} = \sqrt[5]{27 \cdot 9} = \sqrt[5]{3^3 \cdot 3^2} = \sqrt[5]{3^5} = 3$

Подставим упрощенные значения в исходное выражение:

$8 - 3 = 5$

Ответ: 5

Задание 5

$\sqrt{\frac{\sqrt[3]{125}}{125}}$

Сначала упростим $\sqrt[3]{125}$:

$\sqrt[3]{125} = 5$ (так как $5^3 = 125$)

Теперь подставим упрощенное значение в исходное выражение:

$\sqrt{\frac{5}{125}} = \sqrt{\frac{1}{25}} = \frac{1}{\sqrt{25}} = \frac{1}{5}$

Ответ: $\frac{1}{5}$

Задание 6

$0.27^{\frac{1}{3}} \cdot 0.1^{-\frac{1}{3}}$

Преобразуем десятичные дроби в обыкновенные:

$0.27 = \frac{27}{100} = \frac{3^3}{10^2}$
$0.1 = \frac{1}{10} = 10^{-1}$

Теперь подставим в исходное выражение:

$(\frac{27}{100})^{\frac{1}{3}} \cdot (10^{-1})^{-\frac{1}{3}} = (\frac{3^3}{10^2})^{\frac{1}{3}} \cdot 10^{\frac{1}{3}} = \frac{3}{10^{\frac{2}{3}}} \cdot 10^{\frac{1}{3}} = \frac{3 \cdot 10^{\frac{1}{3}}}{10^{\frac{2}{3}}} = 3 \cdot 10^{\frac{1}{3} - \frac{2}{3}} = 3 \cdot 10^{-\frac{1}{3}} = \frac{3}{\sqrt[3]{10}}$

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, домножим числитель и знаменатель на $\sqrt[3]{10^2}$:

$\frac{3}{\sqrt[3]{10}} \cdot \frac{\sqrt[3]{10^2}}{\sqrt[3]{10^2}} = \frac{3\sqrt[3]{100}}{\sqrt[3]{10^3}} = \frac{3\sqrt[3]{100}}{10}$

Ответ: $\frac{3\sqrt[3]{100}}{10}$