Здравствуйте! Я Homiwork, ваш ИИ-ассистент. Давайте решим эти задания по порядку.

Задание 1. Сократите дробь:

1) $\frac{22p^3q^7}{99p^5q^4}$

Чтобы сократить дробь, нужно разделить числитель и знаменатель на их общие множители.

$\frac{22p^3q^7}{99p^5q^4} = \frac{2 \cdot 11 \cdot p^3 \cdot q^4 \cdot q^3}{9 \cdot 11 \cdot p^3 \cdot p^2 \cdot q^4} = \frac{2q^3}{9p^2}$

Ответ: $\frac{2q^3}{9p^2}$

2) $\frac{7a}{a^2+5a}$

Вынесем общий множитель $a$ в знаменателе:

$\frac{7a}{a^2+5a} = \frac{7a}{a(a+5)} = \frac{7}{a+5}$

Ответ: $\frac{7}{a+5}$

3) $\frac{x^2-y^2}{4x+4y}$

Разложим числитель как разность квадратов: $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$. Вынесем общий множитель в знаменателе: $4x+4y = 4(x+y)$.

$\frac{x^2-y^2}{4x+4y} = \frac{(x-y)(x+y)}{4(x+y)} = \frac{x-y}{4}$

Ответ: $\frac{x-y}{4}$

Задание 2. Представьте в виде дроби:

1) $\frac{y-20}{4y} + \frac{5y-2}{y^2}$

Приведем дроби к общему знаменателю $4y^2$:

$\frac{y-20}{4y} + \frac{5y-2}{y^2} = \frac{(y-20) \cdot y}{4y \cdot y} + \frac{(5y-2) \cdot 4}{y^2 \cdot 4} = \frac{y^2 - 20y}{4y^2} + \frac{20y - 8}{4y^2} = \frac{y^2 - 20y + 20y - 8}{4y^2} = \frac{y^2 - 8}{4y^2}$

Ответ: $\frac{y^2 - 8}{4y^2}$

2) $\frac{1}{5c-d} + \frac{1}{5c+d}$

Приведем дроби к общему знаменателю $(5c-d)(5c+d)$:

$\frac{1}{5c-d} + \frac{1}{5c+d} = \frac{1 \cdot (5c+d)}{(5c-d)(5c+d)} + \frac{1 \cdot (5c-d)}{(5c+d)(5c-d)} = \frac{5c+d + 5c-d}{(5c-d)(5c+d)} = \frac{10c}{(5c)^2 - d^2} = \frac{10c}{25c^2 - d^2}$

Ответ: $\frac{10c}{25c^2 - d^2}$

3) $\frac{7}{a+5} + \frac{7a-3}{a^2+5a}$

Приведем дроби к общему знаменателю $a(a+5)$:

$\frac{7}{a+5} + \frac{7a-3}{a^2+5a} = \frac{7}{a+5} + \frac{7a-3}{a(a+5)} = \frac{7 \cdot a}{(a+5) \cdot a} + \frac{7a-3}{a(a+5)} = \frac{7a + 7a - 3}{a(a+5)} = \frac{14a - 3}{a(a+5)}$

Ответ: $\frac{14a - 3}{a(a+5)}$

Задание 3. Найдите значение выражения:

$\frac{a^2-b}{a} - a$ при $a=0.2$, $b=-5$

Подставим значения $a$ и $b$ в выражение:

$\frac{a^2-b}{a} - a = \frac{(0.2)^2 - (-5)}{0.2} - 0.2 = \frac{0.04 + 5}{0.2} - 0.2 = \frac{5.04}{0.2} - 0.2 = 25.2 - 0.2 = 25$

Ответ: $25$

Ассистент: Конечно, вот подробное решение 3-го задания:

Задание 3. Найдите значение выражения:

$\frac{a^2-b}{a} - a$ при $a=0.2$, $b=-5$

1. Подстановка значений:
   Сначала подставим заданные значения $a = 0.2$ и $b = -5$ в выражение:

   $\frac{a^2-b}{a} - a = \frac{(0.2)^2 - (-5)}{0.2} - 0.2$

2. Вычисление квадрата:
   Вычислим квадрат числа $0.2$:

   $(0.2)^2 = 0.2 \times 0.2 = 0.04$

   Теперь выражение выглядит так:

   $\frac{0.04 - (-5)}{0.2} - 0.2$

3. Раскрытие скобок:
   Раскроем скобки, учитывая, что минус на минус дает плюс:

   $\frac{0.04 + 5}{0.2} - 0.2$

4. Сложение в числителе:
   Сложим числа в числителе:

   $0.04 + 5 = 5.04$

   Теперь выражение выглядит так:

   $\frac{5.04}{0.2} - 0.2$

5. Деление:
   Разделим $5.04$ на $0.2$:

   $\frac{5.04}{0.2} = 25.2$

   Теперь выражение выглядит так:

   $25.2 - 0.2$

6. Вычитание:
   Вычтем $0.2$ из $25.2$:

   $25.2 - 0.2 = 25$

Ответ: $25$

Ассистент: Конечно, вот теоретические основы и правила, которые использовались в 3-м задании:

Теоретические основы и правила, использованные в Задании 3

В этом задании мы использовали следующие математические концепции и правила:

1. Подстановка значений переменных:

   • В алгебраических выражениях можно заменять переменные их числовыми значениями. Это позволяет вычислить значение выражения при заданных значениях переменных.

2. Арифметические операции:

   • Квадрат числа: $a^2 = a \times a$
   • Сложение и вычитание: Основные арифметические операции, которые используются для упрощения выражений.
   • Деление: Деление одного числа на другое.

3. Правила знаков:

   • Минус на минус дает плюс: $-(-a) = a$

4. Порядок выполнения операций (PEMDAS/BODMAS):

   • Parentheses (Скобки)
   • Exponents (Степени)
   • Multiplication and Division (Умножение и Деление)
   • Addition and Subtraction (Сложение и Вычитание)

   В данном случае мы сначала вычислили квадрат, затем выполнили сложение в числителе, деление и, наконец, вычитание.

Пример:

Рассмотрим выражение $\frac{a^2 - b}{a} - a$ при $a = 0.2$ и $b = -5$.

1. Подставляем значения: $\frac{(0.2)^2 - (-5)}{0.2} - 0.2$
2. Вычисляем квадрат: $\frac{0.04 - (-5)}{0.2} - 0.2$
3. Раскрываем скобки: $\frac{0.04 + 5}{0.2} - 0.2$
4. Складываем в числителе: $\frac{5.04}{0.2} - 0.2$
5. Делим: $25.2 - 0.2$
6. Вычитаем: $25$

Таким образом, значение выражения равно $25$.

Ассистент: Продолжим решать задания.

Задание 4. Выполните действия:

1) $\frac{42x^3}{7y^2} \cdot \frac{y^2}{14x^5}$

Умножим дроби и сократим:

$\frac{42x^3}{7y^2} \cdot \frac{y^2}{14x^5} = \frac{42x^3y^2}{7 \cdot 14 x^5 y^2} = \frac{42}{7 \cdot 14} \cdot \frac{x^3}{x^5} \cdot \frac{y^2}{y^2} = \frac{6}{14} \cdot \frac{1}{x^2} \cdot 1 = \frac{3}{7x^2}$

Ответ: $\frac{3}{7x^2}$

2) $\frac{63b^3}{c^2} : (18c^2b)$

Разделим дроби:

$\frac{63b^3}{c^2} : (18c^2b) = \frac{63b^3}{c^2} \cdot \frac{1}{18c^2b} = \frac{63b^3}{18c^4b} = \frac{63}{18} \cdot \frac{b^3}{b} \cdot \frac{1}{c^4} = \frac{7}{2} \cdot \frac{b^2}{c^4} = \frac{7b^2}{2c^4}$

Ответ: $\frac{7b^2}{2c^4}$

3) $\frac{4a^2-1}{a^2-9} : \frac{6a+3}{a+3}$

Разделим дроби:

$\frac{4a^2-1}{a^2-9} : \frac{6a+3}{a+3} = \frac{4a^2-1}{a^2-9} \cdot \frac{a+3}{6a+3} = \frac{(2a-1)(2a+1)}{(a-3)(a+3)} \cdot \frac{a+3}{3(2a+1)} = \frac{(2a-1)(2a+1)(a+3)}{(a-3)(a+3)3(2a+1)} = \frac{2a-1}{3(a-3)}$

Ответ: $\frac{2a-1}{3(a-3)}$

4) $\frac{p-q}{p} \cdot (\frac{p}{p-q} + \frac{p}{q})$

Сначала упростим выражение в скобках:

$\frac{p}{p-q} + \frac{p}{q} = \frac{pq + p(p-q)}{(p-q)q} = \frac{pq + p^2 - pq}{(p-q)q} = \frac{p^2}{(p-q)q}$

Теперь умножим:

$\frac{p-q}{p} \cdot \frac{p^2}{(p-q)q} = \frac{(p-q)p^2}{p(p-q)q} = \frac{p}{q}$

Ответ: $\frac{p}{q}$

Задание 5. Упростите выражение:

a) $\frac{3}{x-3} - \frac{x+15}{x^2-9} - \frac{2}{x}$

Приведем дроби к общему знаменателю $x(x-3)(x+3)$:

$\frac{3}{x-3} - \frac{x+15}{x^2-9} - \frac{2}{x} = \frac{3}{x-3} - \frac{x+15}{(x-3)(x+3)} - \frac{2}{x} = \frac{3x(x+3) - x(x+15) - 2(x-3)(x+3)}{x(x-3)(x+3)} = \frac{3x^2+9x - x^2-15x - 2(x^2-9)}{x(x-3)(x+3)} = \frac{3x^2+9x - x^2-15x - 2x^2+18}{x(x-3)(x+3)} = \frac{(3x^2 - x^2 - 2x^2) + (9x - 15x) + 18}{x(x-3)(x+3)} = \frac{-6x + 18}{x(x-3)(x+3)} = \frac{-6(x-3)}{x(x-3)(x+3)} = \frac{-6}{x(x+3)}$

Ответ: $\frac{-6}{x(x+3)}$

Ассистент: Продолжим решать задания.

Задание 5. Упростите выражение:

б) $\frac{(b-1)^2}{b^2-2b+1} + \frac{1}{b^2-1} + \frac{2}{b+1}$

Сначала упростим знаменатели:
$b^2 - 2b + 1 = (b-1)^2$
$b^2 - 1 = (b-1)(b+1)$

Теперь выражение выглядит так:
$\frac{(b-1)^2}{(b-1)^2} + \frac{1}{(b-1)(b+1)} + \frac{2}{b+1}$

Упростим первую дробь:
$\frac{(b-1)^2}{(b-1)^2} = 1$

Приведем дроби к общему знаменателю $(b-1)(b+1)$:
$1 + \frac{1}{(b-1)(b+1)} + \frac{2}{b+1} = \frac{(b-1)(b+1)}{(b-1)(b+1)} + \frac{1}{(b-1)(b+1)} + \frac{2(b-1)}{(b+1)(b-1)} = \frac{(b^2-1) + 1 + 2(b-1)}{(b-1)(b+1)} = \frac{b^2 - 1 + 1 + 2b - 2}{(b-1)(b+1)} = \frac{b^2 + 2b - 2}{(b-1)(b+1)}$

Ответ: $\frac{b^2 + 2b - 2}{(b-1)(b+1)}$

Ассистент: Отлично, вижу новые задания. Давайте продолжим решать их по порядку.

Задание 1. Сократите дробь:

1) $\frac{75b^5c^3}{50b^8c^2}$

Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на общие множители:

$\frac{75b^5c^3}{50b^8c^2} = \frac{25 \cdot 3 \cdot b^5 \cdot c^2 \cdot c}{25 \cdot 2 \cdot b^5 \cdot b^3 \cdot c^2} = \frac{3c}{2b^3}$

Ответ: $\frac{3c}{2b^3}$

2) $\frac{2b}{b^2-9b}$

Вынесем общий множитель $b$ в знаменателе:

$\frac{2b}{b^2-9b} = \frac{2b}{b(b-9)} = \frac{2}{b-9}$

Ответ: $\frac{2}{b-9}$

3) $\frac{7x-7y}{x^2-y^2}$

Разложим знаменатель как разность квадратов: $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$.

$\frac{7x-7y}{x^2-y^2} = \frac{7(x-y)}{(x-y)(x+y)} = \frac{7}{x+y}$

Ответ: $\frac{7}{x+y}$

Задание 2. Представьте в виде дроби:

1) $\frac{3b+7}{3b} + \frac{b^2-5}{b^2}$

Приведем дроби к общему знаменателю $3b^2$:

$\frac{3b+7}{3b} + \frac{b^2-5}{b^2} = \frac{(3b+7) \cdot b}{3b \cdot b} + \frac{(b^2-5) \cdot 3}{b^2 \cdot 3} = \frac{3b^2 + 7b}{3b^2} + \frac{3b^2 - 15}{3b^2} = \frac{3b^2 + 7b + 3b^2 - 15}{3b^2} = \frac{6b^2 + 7b - 15}{3b^2}$

Ответ: $\frac{6b^2 + 7b - 15}{3b^2}$

2) $\frac{4}{4p+q} - \frac{4}{4p-q}$

Приведем дроби к общему знаменателю $(4p+q)(4p-q)$:

$\frac{4}{4p+q} - \frac{4}{4p-q} = \frac{4(4p-q)}{(4p+q)(4p-q)} - \frac{4(4p+q)}{(4p-q)(4p+q)} = \frac{16p - 4q - (16p + 4q)}{(4p+q)(4p-q)} = \frac{16p - 4q - 16p - 4q}{(4p)^2 - q^2} = \frac{-8q}{16p^2 - q^2}$

Ответ: $\frac{-8q}{16p^2 - q^2}$

3) $\frac{5-4y}{y^2-6y} + \frac{36}{3y-18} + \frac{d^2}{18-3a}$

Сначала упростим знаменатели:
$y^2 - 6y = y(y-6)$
$3y - 18 = 3(y-6)$
$18 - 3a$ - здесь, вероятно, опечатка, должно быть $18 - 3y = -3(y-6)$

Предположим, что последнее слагаемое $\frac{3a-18}{3a-18}$

$\frac{5-4y}{y(y-6)} + \frac{36}{3(y-6)} = \frac{5-4y}{y(y-6)} + \frac{12}{y-6} = \frac{5-4y}{y(y-6)} + \frac{12y}{y(y-6)} = \frac{5-4y+12y}{y(y-6)} = \frac{8y+5}{y(y-6)}$

Ответ: $\frac{8y+5}{y(y-6)}$

Задание 3. Найдите значение выражения:

$\frac{x-6y^2}{2y} + \frac{3y}{2y}$ при $x=-8$, $y=0.1$

Подставим значения $x$ и $y$ в выражение:

$\frac{x-6y^2}{2y} + \frac{3y}{2y} = \frac{-8 - 6(0.1)^2}{2(0.1)} + \frac{3(0.1)}{2(0.1)} = \frac{-8 - 6(0.01)}{0.2} + \frac{0.3}{0.2} = \frac{-8 - 0.06}{0.2} + 1.5 = \frac{-8.06}{0.2} + 1.5 = -40.3 + 1.5 = -38.8$

Ответ: $-38.8$